162 矩形菱形与正方形的性质含答案Word下载.docx
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10.对于左栏的案例4,采用“补短法”还可以怎样作辅助线,证明出BE=BG+FC?
11.如图,E、F分别在正方形ABCD的边AD、CD上,且∠FBC=∠EBF,
求证:
BE=AE+CF.
二、课外演练
1.正方形具有而菱形不一定具有的特征是()
A.四条边都相等B.对角线互相垂直平分
C.对角线平分一组对角D.对角线相等
2.一个菱形的两条对角线长分别为7cm和8cm,则这个菱形的面积为()
A.56cm2B.28cm2C.14cm2D.36cm2
3.(05福州市中考·
课改卷)如图,EF为矩形ABCD对角线的交点O,且分别交AB、CD于E、F,那么阴影部分的面积是矩形ABCD面积的()
A.
B.
C.
D.
(第3题)(第6题)(第8题)
4.若矩形的一条对角线与一边的夹角是40°
,则两条对角线相交所成的锐角是()
A.20°
B.40°
C.80°
D.100°
5.菱形的一条对角线与一条边长相等,则这菱形锐角的度数为_______.
6.如图,已知矩形ABCD的对角线相交于点O,△AOD的周长比△AOB的周长大8cm,矩形周长是80cm,求矩形ABCD的面积.
7.如果矩形的两条对角线所成的角中有一个角为60°
,那么()
A.它的对角线长是长边长度的2倍B.它的对角线长是短边长度的2倍
C.它的长边是短边长度的2倍D.上述关系无法确定
8.如图,矩形ABCD中,AD=30,AB=20,E、F三等分对角线AC,则S△ABE=()
A.60B.100C.150D.200
9.能够在图形内找到一点,使该点到四边形的各边距离都相等,则该四边形一定是()
A.平行四边形、菱形;
B.矩形、正方形;
C.矩形、菱形;
D.菱形、正方形
10.如图16-2-21,在矩形ABCD中,AE⊥BD于E,∠DAE=3∠BAE,则∠EAC为()
A.30°
B.45°
C.60°
D.75°
(第10题)(第14题)(第15题)
11.矩形的一个角的平分线把矩形的一边分成5cm或8cm,此矩形周长为_____cm.
12.菱形的面积为24cm2,一条对角线的长为8cm,则另一条对角线的长是_____cm.
13.菱形的周长是20cm,那么一边上的中点到两条对角线交点的距离为______cm.
14.如图,若点P是正方形ABCD内任意一点,且正方形的边长为1,若S△ABP=0.4,则S△DCP=______.
15.如图,正方形ABCD的对角线相交于O点,点O是正方形A′B′C′O的一个顶点,如果两个正方形的边长都为1,那么正方形绕点O旋转,两个正方形重叠部分的面积()
A.
D.随着旋转而变化
16.如图,在矩形ABCD中,E、F分别在AB、CD上,BF∥DE,若AD=12cm,AB=7cm,AE:
EB=5:
2,则阴影部分的面积是_______cm2.
17.如图所示,它是由四个全等的直角三角形与中间的小正方形EFGH拼成的一个大正方形ABCD,若S正方形ABCD=13,S正方形EFGH=1,直角三角形较短直角边为a,较长的直角边为b,求(a+b)2的值.
18.有块如图,形状的钢板,如何用一条直线将其分成面积相等的两部分?
(至少用2种方法)
19.在如图所示的图形中,所有的四边形都是正方形,所有的三角形都是直角三角形,其中最大的正方形的边长为7cm,则正方形A、B、C、D的面积和是多少?
20.(05年资阳市中考·
课改卷)阅读以下短文,然后解决下列问题:
如果一个三角形和一个矩形满足条件:
三角形的一边与矩形的一边重合,且三角形的这边所对的顶点在矩形这边的对边上,则称这样的矩形为三角形的“友好矩形”,如图①所示,矩形ABEF即为△ABC的“友好矩形”.显然,当△ABC是钝角三角形时,其“友好矩形”只有一个.
(1)仿照以上叙述,说明什么是一个三角形的“友好平行四边形”.
(2)如图②,若△ABC为直角三角形,且∠C=90°
,在图16-2-28②中画出△ABC的所有“友好矩形”,并比较这些矩形面积的大小.
(3)若△ABC是锐角三角形,且BC>
AC>
AB.在图③中画出△ABC的所有“友好矩形”,指出其中周长最小的矩形并加以证明.
答案:
1.解:
∵四边形ABCD是矩形,
∴AC=BD,AO=CO=
AC,OB=OD=
BD(矩形对角线相等且互相平分).
∴AO=CO=OB=OD.
又∵∠AOD=120°
,∴∠AOB=60°
.
∴△AOB是等边三角形.
即AO=BO=AB=4(cm).
∴AC=2×
4=8(cm).
点拨:
根据矩形的对角线相等且互相平分的特征,矩形的两条对角线把矩形分成了四个等腰三角形,若矩形的两条对角线的夹角中,如果有60°
或120°
的角,则必有等边三角形.
2.解:
∵四边形ABCD为菱形,
∴AB=AD.
又∵∠A=60°
,∴△ABD为等边三角形.
∴AB=AD=BD=5.
∴菱形的周长为4AB=5×
4=20.
根据菱形的特征,四条边都相等,所以AB=AD,结合∠A=60°
,可得△ABD为等边三角形,从而求得菱形的边长,进而求得菱形的周长.
3.解:
(1)因为四边形ABCD是正方形.
所以∠BOE=∠AOF=90°
,OA=OB.
又因为AM⊥EB,
所以∠MAE+∠MEA=90°
=∠OBE+∠MEA.
所以∠MAE=∠OBE.
所以△AOF绕O点逆时针方向旋转90°
可与△BOE重合.
所以OE=OF.
(2)OE=OF仍成立,说明如下:
因为四边形ABCD是正方形,
,BO=AO.
因为AM⊥EB,所以∠OEB+∠OAM=90°
=∠OFA+∠OAM.
所以∠OEB=∠OFA.
所以△AOF绕O点逆时针旋转90°
后可与△BOE重合.
要使OE=OF,只需证明△AOF和△BOE重合,根据已知条件和正方形的特征易得到,“问题”的基本思路是先假设结论成立,然后用分析法探求其成立条件,若题设所给条件满足要求,则成立,反之则不成立.
4.解:
∵四边形ABCD是正方形.
∴AB=AD,∠BAF=∠DAF.
∴△ABF与△ADF全等.
∴∠AFD=∠AFB.
∵CB=CE,∴∠CBE=∠CEB.
∵∠BCE=∠BCD+∠DCE=90°
+60°
=150°
,
∴∠CBE=15°
∵∠ACB=45°
∴∠AFB=∠ACB+∠CBE=60°
∴∠AFD=60°
易得△ABF与△ADF全等,∠AFD=∠AFB,因此只要求出∠AFB的度数即可.由∠AFB=∠ACB+∠EBC,∠ACB=45°
,转化为求∠EBC的度数,在等腰△BCE中可求得.
5.
(1)解:
在矩形ABCD中,AD∥BC,
∴∠DEF=∠EFB,∠1+∠2=180°
又∵∠EFG=55°
由对称性可知∠GEF=∠DEF=55°
∴∠1=180°
-∠GEF-∠DEF=70°
∴∠2=180°
-∠1=110°
(2)解:
设DE=xcm,则有DE=BE=x.
∵AD=10cm,∴AE=(10-x)cm.
在Rt△ABE中,
BE2=AB2+AE2,
即x2=42+(10-x)2,
解得x=
∴BE的长为
cm.
(1)由矩形对边平行,知道∠DEF=∠EFG=55°
,而∠DEF与∠FEG是对应角,故∠FEG=∠DEF=55°
,进而由平角定义,求出∠1=180°
-∠DEF-∠FEG,而∠1与∠2互补,从而求出∠2.
(2)可设DE长度为xcm,由折叠可知DE=BE,从而AE=10-x,在Rt△ABE中,应用勾股定理列方程:
BE2=AB2+AE2,即x2=42-(10-x)2,从而求出x.
6.3cm提示:
△ABC为Rt△,AB为斜边,CD为斜边上的中线.
7.20cm
8.6cm提示:
在Rt△ABC中,∠C=30°
9.30cm2提示:
菱形对角线互相垂直,其面积为
×
5×
12.
10.如图,过点G作BC的平行线交DC的延长线于点H,则得矩形BGHC.
∴GH=BC=AB,BG=CH,
∵∠HGF+∠AGE=90°
,∠BAE+∠AGE=90°
∴∠BAE=∠HGF.
∵∠ABE=∠CHG=90°
,AB=GH,
∴△ABE≌△GHF.
∴BE=FH=FC+CH=FC+BG.
11.解:
延长DC至N,使CN=AE,连接BN,
则△ABE与△CBN全等.
∴∠ABE=∠CBN,BE=BN,
∵四边形ABCD为正方形,∴CD∥AB.
∴∠NFB=∠ABF,
∵∠ABF=∠ABE+∠EBF,∠NBF=∠NBC+∠CBF,∠EBF=∠FBC,
∴∠NBF=∠NFB,∴BN=NF=CN+CF,
∴BE=AE+CF.
1.D点拨:
菱形对角线是互相垂直平分,但不一定相等.
2.B点拨:
菱形面积等于两条对角线长度乘积的一半.
3.B点拨:
由矩形是中心对称图形,对称中心为O,则S△EOB=S△FOD.
4.C点拨:
利用矩形对角线相等且互相平分.
5.60°
菱形的一条对角线与两边组成一个等边三角形.
6.解:
在矩形ABCD中,OA=OB=OD,
∵△AOD的周长比△AOB的周长大8,
则AD-AB=8①,
又∵2(AD+AB)=80②,
解①②得AD=24,AB=16.
∴S矩形ABCD=24×
16=384(cm2).
利用矩形的对角线相等且互相平分.
7.B点拨:
当矩形两条对角线夹角中有一个为60°
时,一定有等边三角形.
8.B点拨:
S矩形=20×
30=600,S△ABC=
600=300.
9.D点拨:
由于菱形和正方形的对角线平分每一组内角,而角平分线上的点到角两边的距离相等,因此菱形和正方形对角线的交点即为满足题意的点.
10.B点拨:
由∠DAE=3∠BAE,得∠BAE=22.5°
∴∠ABE=67.5°
.∵OA=OB,∴∠OAB=∠ABE=67.5°
∴∠EAC=∠OAB-∠BAE=67.5°
-22.5°
=45°
11.36或42点拨:
矩形的宽可能是5cm或8cm.
12.6cm点拨:
注意菱形的面积等于两条对角线乘积的一半.
13.
由菱形特征和斜边上的中线等于斜边的一半可求得.
14.0.1点拨:
S△ABP+S△DCP=S△ADP+S△BCP=
S正方形ABCD.
15.A点拨:
由正方形可得△AOF和△BOE是旋转对称图形,
所以S阴=S△AOB=
16.24点拨:
解法一:
用矩形面积减去两个直角三角形面积;
解法二:
阴影部分为平行四边形,S
BEDF=BE·
AD=2×
12=24(cm)2.
17.解:
根据勾股定理,由图易得
a2+b2=13,①
正方形EFGH的边长为b-a,∴(b-a)2=1.
即b2+a2-2ab=1.②
把①代入②得2ab=12
而(a+b)2=a2+b2+2ab=13+12=25.
18.如图
19.解:
由勾股定理得
SA+SB+SC+SD=S最大正方形=49.
20.解:
(1)如果一个三角形和一个平行四边形满足条件:
三角形的一边与平行四边形的一边重合,三角形这边所对的顶点在平行四边形这边的对边上,则称这样的平行四边形为三角形的“友好平行四边形”.
(2)此时共有2个友好矩形,如图的BCAD、ABEF,易知矩形BCAD、ABEF的面积都等于△ABC面积的2倍,∴△ABC的“友好矩形”的面积相等.
(2)题(3)题
(3)此时共有3个友好矩形,如图的BCDE、CAFG及ABHK,其中的矩形ABHK的周长最小.
证明如下:
易知,这三个矩形的面积相等,令其为S,
设矩形BCDE、CAFG及ABHK的周长分别为L1、L2、L3.
△ABC的边长BC=a,CA=b,AB=c,
则L1=
+2a,L2=
+2b,L3=
+2c,
∴L1-L2=(
+2a)-(
+2b)=2(a-b)·
,而ab>
S,a>
b.
∴L1-L2>
0,即L1>
L2,同理可得L2>
L3.
∴L3最小,即矩形ABHK的周长最小.
根据矩形的特征、三角形面积的有关知识解决.
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