信息安全数学基础考试复习题Word文档格式.docx
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29求最大公因数
(1)(2t-1,2t+1)
2t+1=(2t-1)*1+22t-1=2*(t-1)+1t-1=(t-1)*1所以(2t-1,2t+1)=1
(2)(2n,2(n+1))
2(n+1)=2n*1+22n=2*n所以(2n,2(n+1))=2
32运用广义欧几里得除法求整数s,t使得sa+tb=(a,b)
(1)1613,3589
3589=1613*2+3631613=363*4+161363=161*2+41161=41*3+3841=38*+338=3*12+23=2*1+12=1*1+1
所以(1613,3589)=1
1=3-1*2=3-1*(38-3*12)=14*4-14*(161-3*41)=-14*161+55*(363-2*161)=55*363+(-124)*(1613-4*363)
=(-124)*1613+551*(3589–2*1613)=551*3589+(-1226)*1613
所以S=-1226t=551
(2)2947,3772
50求最小公倍数
(1)8,60
(3)49,77
解:
77=49*1+2849=28*1+2128=21*1+721=7*3所以(49,77)=7
所以[49,77]=49*77/7=539
51求最大公因数与最小公倍数
(1)22335577,27355372
所以(22335577,27355372)=22335372[22335577,27355372]=27355577
(2)23571113,2*3*5*7*11*13
(23571113,2*3*5*7*11*13)=2*5*7
[23571113,2*3*5*7*11*13]=23*3*57*7*113*13
60求7x+4y=100的整数解
因为(7,4)|100所以该方程有解
当x=4,y=18时,7x+4y=100成立
所以方程的整数解为
X=4-4tt=0,+1,+-2,……
y=18+7t
第二章
62008年5月9日是星期五,问第220080509天是星期几?
8设p是素数,证明:
如果a2≡b2(modp)则p|a-b或p|a+b
10设整数a,b,c(c>
0),满足a≡b(modc),求证:
(a,c)=(b,c)
16计算232(mod47),247(mod47),2200(mod47)
1)设m=47,b=2,令a=1,将32写成二进制32=25
n0=0,a0=a=1b1=b2≡4(mod47)
n1=0,a1=a0=1b2=b12≡16(mod47)
n2=0,a2=a1=1b3=b22≡21(mod47)
n3=0,a3=a2=1b4=b32≡18(mod47)
n4=0,a4=a3=1b5=b42≡42(mod47)
n5=1,a5=a4*b5≡42(mod47)
2)由费马小定理得247≡2(mod47)
3)2200=24*47+12(mod47)=216(mod47)=18(mod47)
22运用wilson定理,求8*9*10*11*12*13(mod7)
24计算31000000(mod7)
因为36≡1mod7所以31000000=36*166666+4(mod7)≡34(mod7)≡4(mod7)
35证明:
如果p和q是不同的素数,则pq-1+qp-1≡1(modpq)
36证明:
如果m和n是互素的整数,则mΨ(n)+nΨ(m)≡1(modmn)
第三章
1求求出下列一次同余方程的所有解
(1)3x≡2(mod7)
(2)6x≡3(mod9)
因为(6,9)=313所以原同余式有解
同余式6x≡3(mod9)的一个特解x0≡2(mod9)所以所有解为x≡2+3t(mod9)t=0,1,2
即x≡2,5,8(mod9)
8求11的倍数,使得该数被2,3,5,7除的余数为1
由题意得:
x≡1mod2x≡1mod3x≡1mod5x≡1mod7x=11k①
M=2*3*5*7=210M1=3*5*7=105M1’M1≡1mod2→M1’=1
M2=2*5*7=70M2’M2≡1mod3→M2’=1
M3=2*3*7=42M3’M3≡1mod5→M3’=1
M4=2*3*5=30M4’M4≡1mod7→M4’=4
X=105*1*1+70*1*1+42*3*1+3*4*1(mod210)≡1②
由①②得x=2101……解非唯一
第四章
10计算下列勒让德符号
1)(17/37)2)(151/373)3)(191/397)4)(911/2003)
16判断下列同余方程是否有解
1)x2≡7(mod227)
25求所有素数p使得与5为模p的二次剩余
x2≡5(modp)
因为5/p=(-1)(5-1)(p-1)/(2*2)*(p/5)=(-1)p-1(p/5)
所以当p=2时,(5/2)=(1/2)=1即p=2成立当p=3时,(5/3)=(2/3)=-1,即p=3不成立
所以p=2.
连分数
连分数定理
使用Shanks小步大步法计算离散对数
2是F101的一个本原元,在F101中求log23
m=[
]=10
(mod101)
j
1
2
3
4
5
6
7
8
9
yj
16
32
64
27
54
7
y=3穷搜:
i
……
y*2-pi
94
50
18
59
98
所以y*2-10*6≡29→3=269→log23=69
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