数学必修第一册课件课后作业一元二次函数方程和不等式第二章232第2课时人教A版.docx
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数学必修第一册课件课后作业一元二次函数方程和不等式第二章232第2课时人教A版
第2课时 一元二次不等式的应用
1.会解简单的分式不等式.
2.会解不等式恒成立问题.
3.会利用一元二次不等式解决一些实际问题.
1.如何判断二次函数y=ax2+bx+c(a>0)的图象与x轴的相关位置?
[答案] 二次函数y=ax2+bx+c(a>0)的图象与x轴的相关位置,分为三种情况,这可以由一元二次方程ax2+bx+c=0的判别式Δ=b2-4ac三种取值情况(Δ>0,Δ=0,Δ<0)来确定
2.若一元二次不等式ax2+x-1>0的解集为R,则实数a应满足什么条件?
[答案] 结合二次函数图象可知,若一元二次不等式ax2+x-1>0的解集为R,则,解得a∈∅,所以不存在a使不等式ax2+x-1>0的解集为R
题型一解简单的分式不等式
【典例1】 解下列不等式:
(1)<0;
(2)≤2.
[思路导引] 等价转化为一元二次不等式或一元一次不等式组求得.
[解]
(1)由<0,得>0,
此不等式等价于(x+2)(x-1)>0,
∴原不等式的解集为{x|x<-2或x>1}.
(2)解法一:
移项得-2≤0,
左边通分并化简得≤0,即≥0,
它的同解不等式为
∴x<2或x≥5.
∴原不等式的解集为{x|x<2或x≥5}.
解法二:
原不等式可化为≥0,
此不等式等价于①或②
解①得x≥5,解②得x<2,
∴原不等式的解集为{x|x<2或x≥5}.
(1)对于比较简单的分式不等式,可直接转化为一元二次不等式或一元一次不等式组求解,但要注意分母不为零.
(2)对于不等号右边不为零的较复杂的分式不等式,先移项再通分(不要去分母),使之转化为不等号右边为零,然后再用上述方法求解.
[针对训练]
1.解下列不等式:
(1)≥0;
(2)>1.
[解]
(1)原不等式可化为
解得
∴x<-或x≥,
∴原不等式的解集为.
(2)解法一:
原不等式可化为
或
解得或
∴-3 ∴原不等式的解集为. 解法二: 原不等式可化为>0, 化简得>0,即<0, ∴(2x+1)(x+3)<0,解得-3 ∴原不等式的解集为. 题型二有关一元二次不等式恒成立的问题 【典例2】 已知不等式ax2+(a-1)x+a-1<0对于所有的实数x都成立,求a的取值范围. [思路导引] 原不等式对所有的实数x都成立,即原不等式(关于x)的解集为R.注意到二次项的系数为参数a,故应分a=0与a≠0两种情况分类讨论. [解] 若a=0,则原不等式为-x-1<0,即x>-1,不合题意,故a≠0. 令y=ax2+(a-1)x+a-1, ∵原不等式对任意x∈R都成立, ∴二次函数y=ax2+(a-1)x+a-1的图象在x轴的下方, ∴a<0且Δ=(a-1)2-4a(a-1)<0, 即 ∴a<-. [变式] 若将本例改为: 不等式ax2+(a-1)x+a-1≥0的解集为空集,如何求a的取值范围? [解] 不等式ax2+(a-1)x+a-1≥0的解集为空集, 即不等式ax2+(a-1)x+a-1<0的解集为R,也就是不等式ax2+(a-1)x+a-1<0对任意的x∈R恒成立.故a的取值范围是a<-. 不等式对任意实数x恒成立,就是不等式的解集为R,对于一元二次不等式ax2+bx+c>0,它的解集为R的条件为 一元二次不等式ax2+bx+c≥0,它的解集为R的条件为 一元二次不等式ax2+bx+c>0的解集为∅的条件为 [针对训练] 2.设a≠0,不等式ax2-x+a>0的解集为R,求实数a的取值范围. [解] 由题意得, 解得: a>.∴a的取值范围为a>. 题型三一元二次不等式的实际应用 【典例3】 某农贸公司按每担200元收购某农产品,并按每100元纳锐10元(又称征税率为10个百分点),计划可收购a万担,政府为了鼓励收购公司多收购这种农产品,决定将征税率降低x(x≠0)个百分点,预测收购量可增加2x个百分点. (1)写出税收y(万元)与x的函数关系式; (2)要使此项税收在税率调节后,不少于原计划税收的83.2%,试确定x的取值范围. [思路导引] (1)按“税收=收购总金额×税率”可建立y与x的函数关系式; (2)将不等关系用不等式表示,从而求解. [解] (1)降低税率后的税率为(10-x)%, 农产品的收购量为a(1+2x%)万担, 收购总金额为200a(1+2x%)万元. 依题意: y=200a(1+2x%)(10-x)% =a(100+2x)(10-x)(0 (2)原计划税收为200a·10%=20a(万元). 依题意得: a(100+2x)(10-x)≥20a×83.2%, 化简得,x2+40x-84≤0, ∴-42≤x≤2. 又∵0 ∴x的取值范围是0 一元二次不等式应用题常以二次函数为模型,解题时要弄清题意,准确找出其中的不等关系,再利用一元二次不等式求解,确定答案时应注意变量具有的“实际含义”. [针对训练] 3.在一个限速40km/h以内的弯道上,甲,乙两辆汽车相向而行,发现情况不对,同时刹车,但还是相碰了,事发后现场测得甲车的刹车距离略超过12m,乙车的刹车距离略超过10m.又知甲、乙两种车型的刹车距离Sm与车速xkm/h之间分别有如下关系: S甲=0.1x+0.01x2,S乙=0.05x+0.005x2.问超速行驶谁应负主要责任. [解] 由题意列出不等式 S甲=0.1x+0.01x2>12, S乙=0.05x+0.005x2>10. 分别求解,得 x<-40,或x>30. x<-50,或x>40. 由于x>0,从而得x甲>30km/h,x乙>40km/h. 经比较知乙车超过限速,应负主要责任. 课堂归纳小结 1.解不等式的过程实际上就是不断转化的过程,是同解不等式的逐步代换,基本思路是: 代数化、分式整式化、有理化、低次化、低维化,最后转化到可解的常见一元一次不等式、一元二次不等式上来. 2.当一元二次不等式ax2+bx+c>0(a>0)的解集为R时,意味着ax2+bx+c>0恒成立.由图象可知: 关于这类恒成立问题只需考虑开口方向与判别式Δ即可. 1.不等式>0的解集是( ) A.{x|-3 C.{x|x<-3或x>2}D.{x|x<-2或x>3} [解析] 不等式>0⇔(x-2)(x+3)>0的解集是{x|x<-3或x>2},所以C选项是正确的. [答案] C 2.若集合A={x|-1≤2x+1≤3},B=,则A∩B=( ) A.{x|-1≤x<0}B.{x|0 C.{x|0≤x≤2}D.{x|0≤x≤1} [解析] ∵A={x|-1≤x≤1},B={x|0 [答案] B 3.若不等式x2+mx+>0的解集为R,则实数m的取值范围是( ) A.m>2B.m<2 C.m<0或m>2D.0 [解析] 由题意得Δ=m2-4×<0,即m2-2m<0,解得0 [答案] D 4.已知不等式x2+ax+4<0的解集为空集,则a的取值范围是( ) A.-4≤a≤4B.-4 C.a≤-4或a≥4D.a<-4或a>4 [解析] 依题意应有Δ=a2-16≤0,解得-4≤a≤4,故选A. [答案] A 5.某产品的总成本y(万元)与产量x(台)之间的函数关系式为y=3000+20x-0.1x2(0 A.100台B.120台C.150台D.180台 [解析] 3000+20x-0.1x2≤25x ⇔x2+50x-30000≥0, 解得x≤-200(舍去)或x≥150. [答案] C 课后作业(十四) 复习巩固 一、选择题 1.不等式>0的解集是( ) A. B. C. D. [解析] >0⇔(4x+2)(3x-1)>0⇔x>或x<-,此不等式的解集为. [答案] A 2.不等式<1的解集是( ) A.{x|x>1}B.{x|-1 C.D. [解析] 原不等式等价于-1<0⇔<0⇔(x+1)·(1-2x)<0⇔(2x-1)(x+1)>0,解得x<-1或 x>. [答案] C 3.不等式≥2的解集是( ) A. B. C. D. [解析] ∵原不等式等价于 ∴∴ 即. [答案] D 4.在如图所示的锐角三角形空地中,欲建一个面积不小于300m2的内接矩形花园(阴影部分),则其边长x(单位: m)的取值范围是( ) A.15≤x≤30 B.12≤x≤25 C.10≤x≤30 D.20≤x≤30 [解析] 设矩形的另一边长为ym,则由三角形相似知,=,∴y=40-x,∵xy≥300,∴x(40-x)≥300,∴x2-40x+300≤0,∴10≤x≤30. [答案] C 5.设集合P={m|-4 A.PQB.QP C.P=QD.P∩Q=Q [解析] 对Q: 若mx2-mx-1<0对x∈R恒成立,则: ①当m=0时,-1<0恒成立.②当m≠0时,解得-4 由①②得Q={m|-4 [答案] A 二、填空题 6.不等式≤3的解集为________. [解析] ≤3⇔-3≤0⇔≥0⇒x(2x-1)≥0且x≠0,解得x<0或x≥. [答案] 7.若不等式x2-4x+3m<0的解集为空集,则实数m的取值范围是________. [解析] 由题意,知x2-4x+3m≥0对一切实数x恒成立,所以Δ=(-4)2-4×3m≤0,解得m≥. [答案] m≥ 8.若关于x的不等式x2-ax-a>0的解集为R,则实数a的取值范围是________;若关于x的不等式x2-ax-a≤-3的解集不是空集,则实数a的取值范围是________. [解析] 由Δ1<0即a2-4(-a)<0得-4 [答案] -4 三、解答题 9.解下列分式不等式: (1)≤1; (2)<0. [解] (1)∵≤1,∴-1≤0, ∴≤0,即≥0. 此不等式等价于(x-4)≥0且x-≠0, 解得x<或x≥4. ∴原不等式的解集为. (2)由<0得>0, 此不等式等价于(x-1)>0, 解得x<-或x>1, ∴原不等式的解集为. 10.若不等式(a-2)x2+2(a-2)x-4<0的解集为R,求实数a的取值范围. [解] 当a-2=0,即a=2时,原不等式为-4<0, 所以a=2时成立. 当a-2≠0时,由题意得 即解得-2 综上所述可知: -2 综合运用 11.在R上定义运算⊗: x⊗y=x(1-y).若不等式(x-a)⊗(x+a)<1对任意的实数x都成立,则a的取值范围是 ________. [解析] 根据定义得(x-a)⊗(x+a)=(x-a)[1-(x+a)]=-x2+x+a2-a,又(x-a)⊗(x+a)<1对任意的实数x都成立,所以x2-x+a+1-a2>0对任意的实数x都成立,所以Δ<0,即1-4(a+1-a2)<0,解得- [答案] - 12.若集合A={x|ax2-ax+1<0}
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