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xp,q()fxf(,)(f)x(f,)p()fqnmixmaxma2a2abf(x)f(p),f(q)f(x)f(p),f(q),,.xp,qmaxmaxminmin2abminfp()f,q()f(x),若
(2)当a<
0时,若,则xp,qinm2a
b,则,.f(x)maxf(p),f(q)f(x)minf(p),f(q)xp,qmaxmin2a10.一元二次方程的实根分布依据:
若,则方程在区间内至少有一个实根.f(m)f(n)0f(x)0(m,n)设,则f(x)xpxq22p4q0
(1)方程在区间内有根的充要条件为或;
f(x)0f(m)0(m,)pm2f(m)0f(n)0
(2)方程在区间内有根的充要条件为或f(x)0(m,n)f(m)f(n)02p4q0pmn2f(n)0f(m)0或或;
af(n)0af(m)02p4q0(3)方程在区间内有根的充要条件为或.f(x)0(,n)f(m)0pm211.定区间上含参数的二次不等式恒成立的条件依据
(1)在给定区间的子区间(形如,,不同)上含参数,,,L(,)的二次不等式(为参数)恒成立的充要条件是.f(x,t)0(xL)tf(x,t)0min
(2)在给定区间的子区间上含参数的二次不等式(为参数)恒成立t(,)f(x,t)0的充要条件是.f(x,t)0(xL)mana0a042(3)恒成立的充要条件是或.b0f(x)axbxc02b4ac0c012.真值表pq非pp或qp且q真真假真真真假假真假假真真真假假假真假假13.常见结论的否定形式原结论反设词原结论反设词是不是至少有一个一个也没有都是不都是至多有一个至少有两个n1n大于不大于至少有个至多有()个n小于不小于至多有个n1至少有()个xx对所有,存在某,或且qppq成立不成立xx对任何,存在某,且或qppq不成立成立
14.四种命题的相互关系原命题互逆逆命题若p则q若q则p互互互为为互否否逆逆否否否命题逆否命题若非p则非q互逆若非q则非p15.充要条件
(1)充分条件:
若,则是充分条件.pqqp
(2)必要条件:
若,则是必要条件.qpqp(3)充要条件:
若,且,则是充要条件.pqqpqp注:
如果甲是乙的充分条件,则乙是甲的必要条件;
反之亦然.16.函数的单调性
(1)设那么xxa,b,xx1212f(x)f(x)12上是增函数;
(xx)f(x)f(x)00f(x)在a,b1212xx12f(x)f(x)12上是减函数.(xx)f(x)f(x)00f(x)在a,b1212xx12
(2)设函数在某个区间内可导,如果,则为增函数;
如果yf(x)f(x)0f(x),则为减函数.f(x)0f(x)17.如果函数和都是减函数,则在公共定义域内,和函数也是减f(x)g(x)f(x)g(x)函数;
如果函数和在其对应的定义域上都是减函数,则复合函数yf(u)ug(x)是增函数.yf[g(x)]18.奇偶函数的图象特征奇函数的图象关于原点对称,偶函数的图象关于y轴对称;
反过来,如果一个函数的图象关于原点对称,那么这个函数是奇函数;
如果一个函数的图象关于y轴对称,那么这个函数是偶函数.19.若函数是偶函数,则;
若函数是偶函yf(x)f(xa)f(xa)yf(xa)数,则.f(xa)f(xa)20.对于函数(),恒成立,则函数的对称轴是xRyf(x)f(xa)f(bx)f(x)abab函数;
两个函数与的图象关于直线对称.xxyf(xa)yf(bx)22a21.若,则函数的图象关于点对称;
若(,0)f(x)f(xa)yf(x)22a,则函数为周期为的周期函数.f(x)f(xa)yf(x)nn122.多项式函数的奇偶性P(x)axaxann10多项式函数是奇函数的偶次项(即奇数项)的系数全为零.P(x)P(x)多项式函数是偶函数的奇次项(即偶数项)的系数全为零.P(x)P(x)23.函数的图象的对称性yf(x)xa
(1)函数的图象关于直线对称yf(x)f(ax)f(ax).f(2ax)f(x)
ab
(2)函数的图象关于直线对称xyf(x)f(amx)f(bmx)2.f(abmx)f(mx)24.两个函数图象的对称性
(1)函数与函数的图象关于直线(即轴)对称.x0yf(x)yf(x)yab
(2)函数与函数的图象关于直线对称.xyf(mxa)yf(bmx)2m1(3)函数和的图象关于直线y=x对称.yf(x)yf(x)25.若将函数的图象右移、上移个单位,得到函数的图bayf(x)yf(xa)b象;
若将曲线的图象右移、上移个单位,得到曲线的图baf(x,y)0f(xa,yb)0象.26.互为反函数的两个函数的关系1.f(a)bf(b)a1127.若函数存在反函数,则其反函数为,并不是[fy(x)b]yf(kxb)k111,而函数是的反函数.y[f(x)b]y[f(kxb)y[f(kxb)k28.几个常见的函数方程
(1)正比例函数,.f(x)cxf(xy)f(x)f(y),f
(1)cx
(2)指数函数,.f(x)af(xy)f(x)f(y),f
(1)a0(3)对数函数,.f(x)logxf(xy)f(x)f(y),f(a)1(a0,a1)a'
(4)幂函数,.f(xy)f(x)f(y),f
(1)f(x)x(5)余弦函数,正弦函数,,f(x)cosxg(x)sinxf(xy)f(x)f(y)g(x)g(y)g(x).f(0)1,lim1xx029.几个函数方程的周期(约定a>
0)
(1),则的周期T=a;
f(x)f(xa)f(x)
(2),f(x)f(xa)01或,f(xa)(f(x)0)f(x)1或,f(xa)(f(x)0)f(x)12或,则的周期T=2a;
f(x)f(x)f(xa),(f(x)0,1)f(x)21(3),则的周期T=3a;
f(x)1(f(x)0)f(x)f(xa)f(x)f(x)12(4)且,则f(a)1(f(x)f(x)1,0|xx|2a)f(xx)1212121f(x)f(x)12的周期T=4a;
f(x)(5)f(x)f(xa)f(x2a)f(x3a)f(x4a),则的周期T=5a;
f(x)f(xa)f(x2a)f(x3a)f(x4a)f(x)(6),则的周期T=6a.f(xa)f(x)f(xa)f(x)30.分数指数幂
m1
(1)(,且).n1naa0,m,nNnmam1
(2)(,且).n1naa0,m,nNmna31.根式的性质nn
(1).(a)ann
(2)当为奇数时,;
aana,a0nn当为偶数时,.na|a|a,a032.有理指数幂的运算性质rsrs
(1).aaa(a0,r,sQ)rsrs
(2).(a)a(a0,r,sQ)rrr(3).(ab)ab(a0,b0,rQ)p注:
若a>0,p是一个无理数,则a表示一个确定的实数.上述有理指数幂的运算性质,对于无理数指数幂都适用.33.指数式与对数式的互化式b(a0,a1,N0)logNbaN.a34.对数的换底公式logNm(,且,,且,).logNa0a1m0m1N0alogamnn(,且,,且,,).推论logblogbm,n0a0a1m1n1N0maam35.对数的四则运算法则若a>0,a≠1,M>0,N>0,则
(1);
log(MN)logMlogNaaaM
(2);
loglogMlogNaaaNn.(3)nlogM(nR)logMaa2236.设函数,记.若的定义域为f(x)log(axbxc)(a0)b4acf(x)m,则,且;
若的值域为,则,且.对于的情形,需要a00a00a0RRf(x)单独检验.37.对数换底不等式及其推广1若,,,,则函数ylog(bx)a0b0x0xaxa11
(1)当时,在和上为增函数.ylog(bx)ab(0,)(,)axaa11上为减函数.
(2)当时,在和ylog(bx)ab,)(0,)(,axaa推论:
设,,,且,则nm1a0a1p0
(1).log(np)lognmpm
mn2
(2).logmlognlogaaa238.平均增长率的问题如果原来产值的基础数为N,平均增长率为,则对于时间的总产值,有xpyx.yN(1p)39.数列的同项公式与前n项的和的关系n1s,1(数列的前n项的和为).asaaa{a}nn12nnss,n2nn140.等差数列的通项公式*;
aa(n1)ddnad(nN)n11其前n项和公式为n(aa)n(n1)1nsnadn122d12.n(ad)n12241.等比数列的通项公式an1n*1;
aaqq(nN)n1q其前n项的和公式为na(1q)1,q1s1qnna,q11aaq1n,q1或.1qsnna,q1142.等比差数列:
的通项公式为aaqad,ab(q0)nn1n1b(n1)d,q1nn1a;
bq(db)qdn,q1q1其前n项和公式为nbn(n1)d,(q1)ns.d1qdn(b)n,(q1)1qq11q43.分期付款(按揭贷款)nab(1b)ban每次还款元(贷款元,次还清,每期利率为).xn(1b)144.常见三角不等式sinxxtanx
(1)若,则.x(0,)2
(2)若,则.1sinxcosx2x(0,)2(3).|sinx||cosx|145.同角三角函数的基本关系式sin22,.,=tancot1tansincos1cos46.正弦、余弦的诱导公式n2
(1)sin,(n为偶数)nsin()n122
(1)cos,(n为奇数)(n为偶数)n2s,
(1)concos()(n为奇数)n122sin,
(1)47.和角与差角公式;
sin()sincoscossin;
cos()coscossinsintantan.tan()1tantan22(平方正弦公式);
sin()sin()sinsin22.cos()cos()cossin22=(辅助角所在象限由点的象限决asinbcosabsin()(a,b)b定,).tana48.二倍角公式.sin2sincos2222.cos2cossin2cos112sin2tan.tan221tan49.三倍角公式3.sin33sin4sin4sinsin()sin()333.cos34cos3cos4coscos()cos()3333tantan.tan3tantan()tan()213tan3350.三角函数的周期公式函数,x∈R及函数,x∈R(A,ω,为常数,且A≠0,ysin(x)ycos(x)2ω>0)的周期;
函数(A,ω,为常数,且ATxk,kZytan(x),2≠0,ω>0)的周期.T
51.正弦定理abc.2RsinAsinBsinC52.余弦定理222;
abc2bccosA222;
bca2cacosB222.cab2abcosC53.面积定理111
(1)(分别表示a、b、c边上的高).h、h、hSahbhchabcabc222111
(2).ScasinBabsinCbcsinA222122(3).S(|OA||OB|)(OAOB)OAB254.三角形内角和定理在△ABC中,有ABCC(AB)CAB.2C22(AB)22255.简单的三角方程的通解k.sinxaxk
(1)arcsina(kZ,|a|1).cosxax2karccosa(kZ,|a|1).tanxaxkarctana(kZ,aR)特别地,有k.sinsink
(1)(kZ).coscos2k(kZ).tantank(kZ)56.最简单的三角不等式及其解集.sinxa(|a|1)x(2karcsina,2karcsina),kZ.sinxa(|a|1)x(2karcsina,2karcsina),kZ.cosxa(|a|1)x(2karccosa,2karccosa),kZ.cosxa(|a|1)x(2karccosa,2k2arccosa),kZ.tanxa(aR)x(karctana,k),kZ2.tanxa(aR)x(k,karctana),kZ257.实数与向量的积的运算律设λ、μ为实数,那么
(1)结合律:
λ(μa)=(λμ)a;
(2)第一分配律:
(λ+μ)a=λa+μa;
(3)第二分配律:
λ(a+b)=λa+λb.58.向量的数量积的运算律:
aa
(1)·
b=b·
(交换律);
aaaa
(2)()·
b=(·
b)=·
b=·
(b);
aa(3)(+b)·
c=·
c+b·
c.59.平面向量基本定理如果e、e是同一平面内的两个不共线向量,那么对于这一平面内的任一向量,有且12
只有一对实数λ、λ,使得a=λe+λe.121122不共线的向量e、e叫做表示这一平面内所有向量的一组基底.1260.向量平行的坐标表示设a=,b=,且b0,则ab(b0).(x,y)xyxy0(x,y)11122122a53.与b的数量积(或内积)aa·
b=|||b|cosθ.61.a·
b的几何意义数量积a·
b等于a的长度|a|与b在a的方向上的投影|b|cosθ的乘积.62.平面向量的坐标运算
(1)设a=,b=,则a+b=.(x,y)(x,y)(xx,yy)11221212
(2)设a=,b=,则a-b=.(x,y)(x,y)(xx,yy)11221212(3)设A,B,则.ABOBOA(xx,yy)(x,y)(x,y)11222121(4)设a=,则a=.(x,y),R(x,y)(5)设a=,b=,则a·
b=.(x,y)(xxyy)(x,y)1112122263.两向量的夹角公式xxyya1212(=,b=).(x,y)(x,y)cos11222222xyxy112264.平面两点间的距离公式=d|AB|ABABA,B22(A,B).(xx)(yy)(x,y)(x,y)2121112265.向量的平行与垂直设a=,b=,且b0,则(x,y)(x,y)1122A||bb=λa.xyxy01221aab(a0)·
b=0.xxyy0121266.线段的定比分公式设,,是线段的分点,是实数,且,则PPPPPPP(x,y)P(x,y)P(x,y)1211122212xx12xOPOP112OPyy112y11().OPtOP(1t)OPt12167.三角形的重心坐标公式△ABC三个顶点的坐标分别为、、,则△ABC的重心的坐B(x,y)C(x,y)A(x,y)223311xxxyyy123123标是.G(,)3368.点的平移公式'
'
xxhxxh'
.OPOPPP'
yykyyk'
注:
图形F上的任意一点P(x,y)在平移后图形上的对应点为,且的PPP(x,y)F坐标为.(h,k)69.“按向量平移”的几个结论
(1)点按向量a=平移后得到点.P(xh,yk)P(x,y)(h,k)'
(2)函数的图象按向量a=平移后得到图象,则的函数解析式CCCyf(x)(h,k)为.yf(xh)k'
(3)图象按向量a=平移后得到图象,若的解析式,则的函数CCCC(h,k)yf(x)解析式为.yf(xh)k'
(4)曲线:
按向量a=平移后得到图象,则的方程为CCCf(x,y)0(h,k).f(xh,yk)0(5)向量m=按向量a=平移后得到的向量仍然为m=.(x,y)(h,k)(x,y)70.三角形五“心”向量形式的充要条件设为所在平面上一点,角所对边长分别为,则OABCA,B,Ca,b,c222
(1)为的外心.OABCOAOBOC
(2)为的重心.OABCOAOBOC0(3)为的垂心.OABCOAOBOBOCOCOA(4)为的内心.OABCaOAbOBcOC0的的旁心.(5)为OABCaOAbOBcOCA71.常用不等式:
22
(1)(当且仅当a=b时取“=”号).ab2aba,bRab
(2)(当且仅当a=b时取“=”号).aba,bR2333(3)abc3abc(a0,b0,c0).(4)柯西不等式22222(ab)(cd)(acbd),a,b,c,dR.(5).ababab72.极值定理已知都是正数,则有x,y
(1)若积是定值,则当时和有最小值;
2pxyxypxy12
(2)若和是定值,则当时积有最大值.sxysxyxy422推广已知,则有(xy)(xy)2xyx,yR
(1)若积是定值,则当最大时,最大;
|xy||xy|xy当最小时,最小.|xy||xy|
(2)若和是定值,则当最大时,最小;
|xy||xy||xy|当最小时,最大.|xy||xy|22a73.一元二次不等式,如果与axbxc0(或0)(a0,b4ac0)22a同号,则其解集在两根之外;
如果与异号,则其解集在两根之axbxcaxbxc间.简言之:
同号两根之外,异号两根之间.;
xxx(xx)(xx)0(xx)121212.xx,或xx(xx)(xx)0(xx)12121274.含有绝对值的不等式当a>
0时,有22.xaxaaxa
22或.xaxaxaxa75.无理不等式f(x)0
(1).f(x)g(x)g(x)0f(x)g(x)f(x)0f(x)0
(2).f(x)g(x)或g(x)0g(x)02f(x)[g(x)]f(x)0(3).f(x)g(x)g(x)02f(x)[g(x)]76.指数不等式与对数不等式
(1)当时,a1f(x)g(x);
aaf(x)g(x)f(x)0.logf(x)logg(x)g(x)0aaf(x)g(x)
(2)当时,0a1f(x)g(x);
aaf(x)g(x)f(x)0logf(x)logg(x)g(x)0aaf(x)g(x)77.斜率公式yy12(、).P(x,y)P(x,y)k111222xx2178.直线的五种方程
(1)点斜式(直线过点,且斜率为).lkyyk(xx)P(x,y)11111
(2)斜截式(b为直线在y轴
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