4最值系列之费马点Word格式文档下载.docx

4最值系列之费马点Word格式文档下载.docx

《4最值系列之费马点Word格式文档下载.docx》由会员分享，可在线阅读，更多相关《4最值系列之费马点Word格式文档下载.docx（12页珍藏版）》请在冰豆网上搜索。

接下来讨论3个问题：

（1）如何作三角形的费马点？

（2）为什么是这个点？

（3）费马点怎么考？

一、如何作费马点

问题要从初一学到的全等说起：

（1）如图，分别以△ABC中的AB、AC为边，作等边△ABD、等边△ACE．

（2）连接CD、BE，即有一组手拉手全等：

△ADC≌△ABE．

（3）记CD、BE交点为P，点P即为费马点．（到这一步其实就可以了）

（4）以BC为边作等边△BCF，连接AF，必过点P，有∠PAB=∠BPC=∠CPA=120°

．

在图三的模型里有结论：

（1）∠BPD=60°

；

（2）连接AP，AP平分∠DPE．

有这两个结论便足以说明∠PAB=∠BPC=∠CPA=120°

．原来在“手拉手全等”就已经见过了呀，只是相逢何必曾相识！

但是在这里有个小小的要求，细心的同学会发现，这个图成立的一个必要条件是

∠BAC<

120°

，若

这个图就不是这个图了，会长成这个样子：

此时CD与BE交点P点还是我们的费马点吗？

显然这时候就不是了，显然P点到A、B、C距离之和大于A点到A、B、C距离之和．所以咧？

是的，你想得没错，此时三角形的费马点就是A点！

当然这种情况不会考的，就不多说了．

二、为什么是这个点

为什么P点满足∠PAB=∠BPC=∠CPA=120°

，PA+PB+PC值就会最小呢？

归根结底，还是要重组这里3条线段：

PA、PB、PC的位置，而重组的方法是构造旋转！

在上图3中，如下有△ADC≌△ABE，可得：

CD=BE．

类似的手拉手，在图4中有3组，可得：

AF=BE=CD．

巧的嘞，它们仨的长度居然一样长！

更巧的是，其长度便是我们要求的PA+PB+PC的最小值，这一点是可以猜想得到的，毕竟最小值这个结果，应该也是个特别的值！

接下来才是真正的证明：

考虑到∠APB=120°

，∴∠APE=60°

，则可以AP为边，在PE边取点Q使得PQ=AP，则△APQ是等边三角形．

△APQ、△ACE均为等边三角形，且共顶点A，故△APC≌△AQE，PC=QE．

以上两步分别转化PA=PQ，PC=QE，故PA+PB+PC=PB+PQ+QE=BE．

没有对比就没有差别，我们换个P点位置，如下右图，同样可以构造等边△APQ，同样有△APC≌△AQE，转化PA=PQ，PC=QE，

显然，PA+PB+PC=PB+PQ+QE>

BE．

还剩下第3个问题！

如果说费马点以前还算是课外的拓展内容，那现在，已经有人把它搬上了中考舞台！

三、费马点怎么考？

直接考，要不然还能怎么考？

看看2019武汉中考填空最后一题：

问题背景：

如图1，将△ABC绕点A逆时针旋转60°

得到△ADE，DE与BC交于点P，可推出结论：

PA+PC=PE．

问题解决：

如图2，在△MNG中，MN=6，∠M=75°

，MG=

，点O是△MNG内一点，则点O到△MNG三个顶点的距离和的最小值是______．

【分析】本题的问题背景实际上是提示了解题思路，构造60°

的旋转，当然如果已经了解了费马点问题，直接来解决就好了！

如图，以MG为边作等边△MGH，连接NH，则NH的值即为所求的点O到△MNG三个顶点的距离和的最小值．（此处不再证明）

过点H作HQ⊥NM交NM延长线于Q点，

根据∠NMG=75°

，∠GMH=60°

，可得∠HMQ=45°

，

∴△MHQ是等腰直角三角形，

∴MQ=HQ=4，

∴NH=

【练习】如图，在△ABC中，∠ACB=90°

，AB=AC=1，P是△ABC内一点，求PA+PB+PC的最小值．

【分析】如图，以AD为边构造等边△ACD，连接BD，BD的长即为PA+PB+PC的最小值．至于点P的位置？

这不重要！

如何求BD？

考虑到△ABC和△ACD都是特殊的三角形，过点D作DH⊥BA交BA的延长线于H点，根据勾股定理，

即可得出结果．

【练习】如图，已知矩形ABCD，AB=4，BC=6，点M为矩形内一点，点E为BC边上任意一点，则MA+MD+ME的最小值为______．

【分析】依然构造60°

旋转，将三条折线段转化为一条直线段．

分别以AD、AM为边构造等边△ADF、等边△AMG，连接FG，

易证△AMD≌△AGF，∴MD=GF

∴ME+MA+MD=ME+EG+GF

过F作FH⊥BC交BC于H点，线段FH的长即为所求的最小值．

（2020•重庆）如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°

，AB＝AC，点D是BC边上一动点，连接AD，把AD绕点A逆时针旋转90°

，得到AE，连接CE，DE．点F是DE的中点，连接CF．

（1）求证：

CF

AD；

（2）如图2所示，在点D运动的过程中，当BD＝2CD时，分别延长CF，BA，相交于点G，猜想AG与BC存在的数量关系，并证明你猜想的结论；

（3）在点D运动的过程中，在线段AD上存在一点P，使PA+PB+PC的值最小．当PA+PB+PC的值取得最小值时，AP的长为m，请直接用含m的式子表示CE的长．

【答案】见解析。

【分析】

（1）由“SAS”可证△BAD≌△CAE，可得∠ABD＝∠ACE＝45°

，可求∠BCE＝90°

，由直角三角形的性质和等腰直角三角形的性质可得结论；

（2）过点G作GH⊥BC于H，设CD＝a，可得BD＝2a，BC＝3a，AB＝AC

a，由全等三角形的性质可得BD＝CE＝2a，由锐角三角函数可求GH＝2CH，可求CH＝a，可求BG的长，即可求AG

a

CD

BC；

（3）将△BPC绕点B顺时针旋转60°

得到△BNM，连接PN，可得当点A，点P，点N，点M共线时，PA+PB+PC值最小，由旋转的性质可得△BPN是等边三角形，△CBM是等边三角形，可得∠BPN＝∠BNP＝60°

，BM＝CM，由直角三角形的性质可求解．

证明：

（1）∵AB＝AC，∠BAC＝90°

∴∠ABC＝∠ACB＝45°

∵把AD绕点A逆时针旋转90°

，得到AE，

∴AD＝AE，∠DAE＝90°

＝∠BAC，

∴∠BAD＝∠CAE，DE

AD，

又∵AB＝AC，

∴△BAD≌△CAE（SAS），

∴∠ABD＝∠ACE＝45°

∴∠BCE＝∠BCA+∠ACE＝90°

∵点F是DE的中点，

∴CF

DE

（2）AG

BC，

理由如下：

如图2，过点G作GH⊥BC于H，

∵BD＝2CD，

∴设CD＝a，则BD＝2a，BC＝3a，

∵∠BAC＝90°

，AB＝AC，

∴AB＝AC

a，

由

（1）可知：

△BAD≌△CAE，

∴BD＝CE＝2a，

∵CF＝DF，

∴∠FDC＝∠FCD，

∴tan∠FDC＝tan∠FCD，

∴

2，

∴GH＝2CH，

∵GH⊥BC，∠ABC＝45°

∴∠ABC＝∠BGH＝45°

∴BH＝GH，

∴BG

BH

∵BH+CH＝BC＝3a，

∴CH＝a，BH＝GH＝2a，

∴BG＝2

∴AG＝BG﹣AB

（3）如图3﹣1，将△BPC绕点B顺时针旋转60°

得到△BNM，连接PN，

∴BP＝BN，PC＝NM，∠PBN＝60°

∴△BPN是等边三角形，

∴BP＝PN，

∴PA+PB+PC＝AP+PN+MN，

∴当点A，点P，点N，点M共线时，PA+PB+PC值最小，

此时，如图3﹣2，连接MC，

∵将△BPC绕点B顺时针旋转60°

得到△BNM，

∴BP＝BN，BC＝BM，∠PBN＝60°

＝∠CBM，

∴△BPN是等边三角形，△CBM是等边三角形，

∴∠BPN＝∠BNP＝60°

，BM＝CM，

∵BM＝CM，AB＝AC，

∴AM垂直平分BC，

∵AD⊥BC，∠BPD＝60°

∴BD

PD，

∵AB＝AC，∠BAC＝90°

，AD⊥BC，

∴AD＝BD，

PD＝PD+AP，

∴PD

m，

PD

CE＝BD

m．