学年八年级数学上册 第十二章 全等三角形导学案新版新人教版docWord文档下载推荐.docx
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对应边和对应角只能从两个三角形中找,所以需将△ABE和△ACD从复杂的图形中分离出来.
【自结自测文】
1、填空
点O是平行四边形ABCD的对角线的交点,△AOB绕O旋转180°
可以与△______重合,这说明△AOB≌△______.这两个三角形的对应边是AO与_____,OB与_____,BA与______;
对应角是∠AOB与________,∠OBA与________,∠BAO与________.
2、判断题
(1)全等三角形的对应边相等,对应角相等。
( )
(2)全等三角形的周长相等,面积也相等。
(3)面积相等的三角形是全等三角形。
( )
(4)周长相等的三角形是全等三角形。
( )
3、如图1所示,ΔABC≌ΔDCB.
(1)若∠D=74°
∠DBC=38°
,则∠A=_____,∠ABC=_____
(2)如果AC=DB,请指出其他的对应边_____;
图1
(3)如果ΔAOB≌ΔDOC,
请指出所有的对应边___ __,
对应角__ ___.
§
11.2三角形全等的条件
11.2.1三角形全等的条件-边边边
(一)
【学习目标】:
1、能记住三角形全等的“边边边”的条件.
2、作一个角等于已知角。
3、会运用“边边边”的条件来证明三角形全等。
【过程与方法】:
经历探索三角形全等条件的过程,体会利用操作、归纳获得数学结论的过程.
【情感态度价值观】:
体会探索全等的条件,通过合作交流,形成良好的思维。
三角形全等的条件.
【教学难点】:
寻求三角形全等的条件.
预习导航:
阅读教材P35-37
1、已知△ABC≌△A′B′C′,找出其中相等的边与角.
课前准备的三角形纸片,提出问题:
你能画一个三角形与它全等吗?
怎样画?
(可以先量出三角形纸片的各边长和各个角的度数,再作出一个三角形使它的边、角分别和已知的三角形纸片的对应边、对应角相等.这样作出的三角形一定与已知的三角形纸片全等).
2.以上是利用了全等三角形的定义来作图.那么是否一定需要六个条件呢?
条件能否尽可能少呢?
现在我们就来探究这个问题.
1、已知三角形三边如何作三角形?
2、如何判定三角形全等?
3、如何作一个角等于已知角?
活动1:
1.只给一个条件(一组边相等或一组角相等),画出的两个三角形一定全等吗?
2.给出两个条件画三角形时,有几种可能的情况,每种情况下作出的三角形一定全等吗?
分别按下列条件做一做.
①三角形一内角为30°
,一条边为3cm.
②三角形两内角分别为30°
和50°
.
③三角形两条边分别为4cm、6cm.
学生分组讨论、探索、归纳,最后以组为单位出示结果作补充交流.
活动2:
已知三边作三角形
已知一个三角形的三条边长分别为6cm、8cm、10cm.你能画出这个三角形吗?
把你画的三角形剪下与同伴画的三角形进行比较,它们全等吗?
1.画图方法:
,简写为“ ”或“ ”.
活动3:
定理的应用用上面的规律可以判断两个三角形全等.判断两个三角形全等的推理过程,叫做证明三角形全等.所以“SSS”是证明三角形全等的一个依据.请看例题.
[例]如图,△ABC是一个钢架,AB=AC,AD是连结点A与BC中点D的支架.
求证:
△ABD≌△ACD.
活动4:
有前面的结论还可以得到作一个角等于已知角的方法。
已知:
∠AOB。
求做:
∠A′B′C′,使∠A′B′C′=∠AOB
作法:
1.已知:
如图1,△RPQ中,RP=RQ,M为PQ的中点.
RM平分∠PRQ.
分析:
要证RM平分∠PRQ,即∠PRM=______,
只要证______≌______
证明:
∵M为PQ的中点(已知),
∴______=______
在△______和△______中,
∴______≌______().
∴∠PRM=______(______).
即RM平分∠PRQ .
2.已知:
如图2,AB=DE,AC=DF,BE=CF.
∠A=∠D.
要证∠A=∠D,只要证______≌______.
∵BE=CF( ),
∴______+______=______+______,
即______=______.
在△ABC和△DEF中,
∴______≌______( ).
∴∠A=∠D(______).
3.如图3,CE=DE,EA=EB,CA=DB,
△ABC≌△BAD.
∵CE=DE,EA=EB,
在△ABC和△BAD中,
∴△ABC≌△BAD( ).
11.2.1三角形全等的条件-边角边
(二)
【学习目标】1.能记住三角形全等的“边角边”的条件.了解三角形的稳定性.
2.会运用“SAS”证明简单的三角形全等问题.
经历探索三角形全等条件的过程,体会利用操作、归纳获得数学结论的过程.
【情感态度与价值观】:
在探究三角形全等的过程中学生通过交流合作获取快乐。
【教学重点】:
三角形全等的“边角边”的条件(“SAS”)―――本节是易错点
能正确寻找三角形全等边角边的条件.注意对应条件的位置关系。
预习导航
:
阅读教材P37-39
1、怎样的两个三角形是全等三角形?
两个三角形全等后具有哪些性质?
2、前面学过三角形全等的判定方法是什么?
全等三角形具有“对应边相等、对应角相等”的性质.那么,怎样才能判定两个三角形全等呢?
也就是说,具备什么条件的两个三角形能全等?
是否需要已知“三条边相等和三个角对应相等”?
现在我们用图形变换的方法研究下面的问题:
如图2,AC、BD相交于O,AO、BO、CO、DO的长度如图所标,△ABO和△CDO是否能完全重合呢?
如果把△OAB绕着O点顺时针方向旋转,因为OA=OC,所以可以使OA与OC重合;
又因为∠AOB=∠COD,OB=OD,所以点B与点D重合.这样△ABO与△CDO就完全重合.
由此,我们得到启发:
判定两个三角形全等,不需要三条边对应相等和三个角对应相等.而且,从上面的例子可以引起我们猜想:
如果两个三角形有两边和它们的夹角对应相等,那么这两个三角形全等.
上述猜想是否正确呢?
不妨按上述条件画图并作如下的实验:
(1)读句画图:
①画∠DAE=45°
,②在AD、AE上分别取B、C,使AB=3.1cm,AC=2.8cm.③连结BC,得△ABC.④按上述画法再画一个△A'B'C'.
(2)把△A'B'C'剪下来放到△ABC上,观察△A'B'C'与△ABC是否能够完全重合?
边角边公理:
(简称“边角边”或“SAS”)
D
猜一猜:
是不是两条边和一个角对应相等,这样的两个三角形一定全等吗?
你能举例说明吗?
如图△ABC与△ABD中,AB=AB,AC=BD,∠B=∠B,他们全等吗?
填空
(1)如图3,已知AD∥BC,AD=CB,要用边角边公理证明△ABC≌△CDA,需要三个条件,这三个条件中,已具有两个条件,一是AD=CB(已知),二是___________;
还需要一个条件_____________(这个条件可以证得吗?
).
(2)如图4,已知AD=AC,AB=AE,∠1=∠2,要用边角边公理证明△ABD≌ACE,需要满足的三个条件中,还应具有一个条件:
_________________(这个条件可以证得吗?
已知:
AD∥BC,AD=CB (上图3).
△ADC≌△CBA.
变式:
如果把图3中的△ADC沿着CA方向平移到△ADF的位置(如图5),那么要
证明△ADF≌△CEB,除了AD∥BC、AD=CB的条件外,还需要一个什么条件?
怎样证明呢?
活动三:
探究,AD是的BC边是的中线,若AB=2,AC=4,则中线AD的取值范围是
活动四:
练习证明过程:
1已知:
如图,AB、CD相交于O点,AO=CO,OD=OB.
∠D=∠B.
要证∠D=∠B,只要证______≌______
在△AOD与△COB中,
∴△AOD≌△______( ).
∴∠D=∠B(____ __).
如图,AB∥CD,AB=CD.求证:
AD∥BC.
要证AD∥BC,只要证∠______=∠______,
又需证______≌______.
∵AB∥CD( ),
∴∠______=∠______( ),
∴Δ______≌Δ______( ).
∴∠______=∠______( ).
∴______∥______( ).
如图,AB=AC,F、E分别是AB、AC的中点.
△ABE≌△ACF.
2.已知:
点A、F、E、C在同一条直线上,AF=CE,BE∥DF,BE=DF.
△ABE≌△CDF.
1.根据边角边公理判定两个三角形全等,要找出两边及夹角对应相等的三个条件.
2.找使结论成立所需条件,要充分利用已知条件(包括给出图形中的隐含条件,如公共边、公共角等),并要善于运用学过的定义、公理、定理.
11.2.3三角形全等的条件(三)
教学目标:
1、掌握三角形全等的“角边角”“角角边”条件
2、能运用全等三角形的条件,解决简单的推理证明问题
过程与方法:
通过作图、对比、发现,小结得出三角形的判定方法。
情感态度价值观:
在探究中感受推理的魅力,在成功中获得喜悦,在分析中提升思维能力。
教学重点:
已知两角一边(位置不确定)的三角形全等探究.
教学难点:
灵活运用三角形全等条件证明.特别注意“两角一边”与“两边一角”的区别(认清边与角的位置关系)
预习导航阅读教材P39-41 :
1探究已知两角一边是否可以判断两三角形全等?
会利用新的判定方法判定两个三角形全等。
2.复习:
(1)三角形中已知三个元素,包括哪几种情况?
(2)到目前为止,可以作为判别两三角形全等的方法有几种?
各是什么?
今天我们接着探究已知两角一边是否可以判断两三角形全等呢?
问题1:
三角形中已知两角一边有几种可能?
问题2:
三角形的两个内角分别是60°
和80°
,它们的夹边为4cm,你能画一个三角形同时满足这些条件吗?
将你画的三角形剪下,与同伴比较,观察它们是不是全等,你能得出什么规律?
我们刚才做的三角形是一个特殊三角形,画任意一个三角形ABC,能不能作一个△A′B′C′,使∠A=∠A′、∠B=∠B′、AB=A′B′呢?
提炼规律:
(可以简写成“ ”或“ ”).
思考:
在一个三角形中两角确定,第三个角一定确定.我们是不是可以不作图,用“ASA”推出“两角和其中一角的对边对应相等的两三角形全等”呢?
如下图,D在AB上,E在AC上,AB=AC,∠B=∠C.
AD=AE.
[分析]AD和AE分别在△ADC和△AEB中,所以要证AD=AE,只需证明△ADC≌△AEB即可.
如图,在△ABC和△DEF中,∠A=∠D,∠B=∠E,BC=EF,△ABC与△DEF全等吗?
能利用角边角条件证明你的结论吗?
探究:
对于三个角对应相等的两个三角形全等吗?
△ABC和△ADE中,如果DE∥BC,则∠DAE=∠BAC,∠B=∠ADE,
∠C=∠AED,△ABC和△ADE一定全等吗?
随堂练习
图中的两个三角形全等吗?
请说明理由.
1、.已知:
如图1,PM=PN,∠M=∠N.求证:
AM=BN.
∵PM=PN,∴要证AM=BN,只要证PA=______,
只要证______≌______.
在△______与△______中,
∴△______≌△______().
∴PA=______( ).
∵PM=PN( ),
∴PM-______=PN-______,即AM=______.
如图2,AC
BD.求证:
OA=OB,OC=OD.
要证OA=OB,OC=OD,只要证______≌______.
∵AC∥BD,∴∠C=______.
∴______≌______().
∴OA=OB,OC=OD().
3.能确定△ABC≌△DEF的条件是( )
A.AB=DE,BC=EF,∠A=∠EB.AB=DE,BC=EF,∠C=∠E
C.∠A=∠E,AB=EF,∠B=∠DD.∠A=∠D,AB=DE,∠B=∠E
4.如图3,已知△ABC的六个元素,则下面甲、乙、丙三个三角形中,和△ABC全等的图形是()
图3
A.甲和乙B.乙和丙C.只有乙D.只有丙
5.AD是△ABC的角平分线,作DE⊥AB于E,DF⊥AC于F,下列结论错误的是()
A.DE=DFB.AE=AFC.BD=CDD.∠ADE=∠ADF
6.如图21:
AB∥CD,∠B=∠D,求证:
AD∥BC。
全等三角形的判定练习课
(一)
课堂练习:
一.填空题:
1.如图1,若△ABC≌△ADE,∠EAC=35°
,则∠BAD=_________度.
图2
2.如图2,AB∥CD,AD∥BC,OE=OF,图中全等三角形共有______对.
3.已知:
如图3,∠ABC=∠DEF,AB=DE,要说明△ABC≌△DEF,
(1)若以“SAS”为依据,还须添加的一个条件为________________.
(2)若以“ASA”为依据,还须添加的一个条件为________________.
(3)若以“AAS”为依据,还须添加的一个条件为________________.
4.如图,AE=AD,要使ΔABD≌ΔACE,请你增加一个条件是
二.选择题
5.在
和
中,下列各组条件中,不能保证:
的是()
①
②
③
④
⑤
⑥
A.具备①②③B.具备①②④ C.具备③④⑤D.具备②③⑥
6.如果两个三角形中两条边和其中一边上的高对应相等,那么这两个三角形的第
三条边所对的角的关系是()
A.相等B.不相等C.互余或相等D.互补或相等
7.如图,已知AB=DC,AD=BC,E.F在DB上两点且BF=DE,
若∠AEB=120°
,∠ADB=30°
,则∠BCF=()
A.150°
B.40°
C.80°
D.90°
三.解答题
8、已知,如图,点B、F、C、E在同一直线上,AC、DF相交于点G,AB⊥BE,垂足为B,DE⊥BE,垂足为E,且AB=DE,BF=CE。
求证:
△ABC≌△DEF;
9、如图(16)AD∥BC,AD=BC,AE=CF。
(1)DE=DF,
(2)AB∥CD。
10、如图:
在△ABC中,AD⊥BC于D,AD=BD,CD=DE,E是AD上一点,连结BE并延长交AC于点F。
求证:
(1)BE=AC,
(2)BF⊥AC。
课堂检测:
1.如图1,在△ABC中,∠C=90°
,AD平分∠BAC,DE⊥AB于E,则△______≌△_______..
2.如图2,AB=CD,AD=BC,O为BD中点,过O点作直线与DA、BC延长线交于E、F,若
,EO=10,则∠DBC=,FO=.
3、如图3,
,
△ABD≌△BAC.
4.已知如图4,E.F在BD上,且AB=CD,BF=DE,AE=CF,求证:
AC与BD互相平分.
C
图4
5.已知:
如图5,AB⊥AE,AD⊥AC,∠E=∠B,DE=CB.
AD=AC.
图5
11.2.3三角形全等的条件---直角三角形全等的判定(四)
教学目标1、经历探索直角三角形全等条件的过程,
体会利用操作、归纳获得数学结论的过程;
2、能记住直角三角形全等的条件,并能运用其解决一些实际问题
教学重点 运用直角三角形全等的条件解决一些实际问题。
教学难点 熟练运用直角三角形全等的条件(前提是在直角三角形中)解决一些
实际问题。
并注意与 一般三角形 的“边角边”判定相区别。
阅读教材P
直角三角形的判定方法有哪些?
直角三角形的判定方法中哪种方法是直角三角形所独有的?
它独特之处是什么?
复习旧知:
1、判定两个三角形全等的方法:
、、、
2、如图,Rt△ABC中,直角边是、,斜边是
3、如图,AB⊥BE于C,DE⊥BE于E,
(1)若∠A=∠D,AB=DE,
则△ABC与△DEF(填“全等”或“不全等”)
根据(用简写法)
(2)若∠A=∠D,BC=EF,
则△ABC与△DEF(填“全等”或“不全等”)
(3)若AB=DE,BC=EF,则△ABC与△DEF(填“全等”或“不全等”)根据(用简写法)
(4)若AB=DE,BC=EF,AC=DF,则△ABC与△DEF(填“全等”或“不全等”)
探索练习(动手操作):
已知线段a,c(a<
c)和一个直角
利用尺规作一个Rt△ABC,使∠C=∠
AB=c,CB=a
1、按步骤作图:
ac
作∠MCN=∠
=90°
,
在射线CM上截取线段CB=a,
以B为圆心,C为半径画弧,
交射线CN于点A,
④连结AB
2、与同桌重叠比较,是否重合?
3、从中你发现了什么?
.(简写:
)
4.直角三角形的判定方法有哪些?
具有一般三角形判定全等
的方法:
、 、 、 。
还有直角三角形特殊的判定方法——“ ”
如图,B、E、F、C在同一直线上,AF⊥BC于F,DE⊥BC于E,
AB=DC,BE=CF,你认为AB平行于CD吗?
说说你的理由
答:
理由:
∵AF⊥BC,DE⊥BC(已知)
∴∠AFB=∠DEC=°
(垂直的定义)
在Rt△和Rt
△中
∴≌()
∴∠=∠()
∴( 相等,两直线平行)
巩固练习:
如图,△ABC中,AB=AC,AD是高,
则△ADB与△ADC(填“全等”或“不全等”)
如图,CE⊥AB,DF⊥AB,垂足分别为E、F,
(1)若AC//DB,且AC=DB,则△ACE≌△BDF,
根据
(2)若AC//DB,且AE=BF,则△ACE≌△BDF,根据
(3)若AE=BF,且CE=DF,则△ACE≌△BDF,根据
(4)若AC=BD,AE=BF,CE=DF。
则△ACE≌△BDF,根据
(5)若AC=BD,CE=DF(或AE=BF),则△ACE≌△BDF,根据
3、判断两个直角三角形全等的方法不正确的有()
(A)两条直角边对应相等(B)斜边和
一锐角对应相等
(C)斜边和一条直角边对应相等(D)两个锐角对应相等
4、如图,广场上有两根旗杆,已知太阳光线AB与DE是平行的,经过测量这两根旗杆在太阳光照射下的影子是一样长的,那么这两根旗杆高度相等吗?
说说你的理由。
5、判断题:
(1)一个锐角和这个锐角的对边对应相等的两个直角三角形全等。
()
(2)一个锐角和锐角相邻的一直角边对应相等的两个直角三角形全等()
(3)一个锐角与一斜边对应相等的两个直角三角形
全等()
(4)两直角边对应相等的两个直角三角形全等()
(5)两边对应相等的两个直角三角形全等()
(6)两锐角对应相等的两个直角三角形全等()
(7)一个锐角与一边对应相等的两个直角三角形全等()
(8)一直角边和斜边上的高对应相等的两个直角三角形全等()
一、填空题
1.判定两直角三角形全等的“HL”这种特殊方法指的是___ __.
2.直角三角形全等的判定方法有___ __(用简写).
3.如图,E、B、F、C在同一条直线上,若∠D=∠A=90°
,EB=FC,AB=DF.则ΔABC≌_____,全等的根据是_____.
4.判断满足下列条件的两个直角三角形是否全等,不全等的画“×
”,全等的注明理由:
(1)一个锐角和这个角的对边对应相等;
(2)一个锐角和这个角的邻
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