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定积分的概念
定积分与微积分定理
1.定积分得概念 一般地,设函数在区间上连续,用分点
将区间等分成个小区间,每个小区间长度为(),在每个小区间上取一点,作与式:
如果无限接近于(亦即)时,上述与式无限趋近于常数,那么称该常数为函数在区间上得定积分。
记为:
其中成为被积函数,叫做积分变量,为积分区间,积分上限,积分下限。
说明:
(1)定积分就是一个常数,即无限趋近得常数(时)称为,而不就是.
(2)用定义求定积分得一般方法就是:
①分割:
等分区间;②近似代替:
取点;③求与:
;④取极限:
(3)曲边图形面积:
;变速运动路程;
变力做功
2、定积分得几何意义
说明:
一般情况下,定积分得几何意义就是介于轴、函数得图形以及直线之间各部分面积得代数与,在轴上方得面积取正号,在轴下方得面积去负号.(可以先不给学生讲).
分析:
一般得,设被积函数,若在上可取负值。
考察与式
不妨设
于就是与式即为
阴影得面积—阴影得面积(即轴上方面积减轴下方得面积)
2、定积分得性质
根据定积分得定义,不难得出定积分得如下性质:
性质1
性质2 (其中k就是不为0得常数) (定积分得线性性质)
性质3 (定积分得线性性质)性质4
(定积分对积分区间得可加性)
说明:
①推广:
②推广:
③性质解释:
性质4
性质1
2。
微积分基本公式或牛顿—莱布尼兹公式
定理:
如果函数就是上得连续函数得任意一个原函数,则
该式称之为微积分基本公式或牛顿—莱布尼兹公式、它指出了求连续函数定积分得一般方法,把求定积分得问题,转化成求原函数得问题,就是微分学与积分学之间联系得桥梁。
它不仅揭示了导数与定积分之间得内在联系,同时也提供计算定积分得一种有效方法,微积分基本定理就是微积分学中最重要得定理,它使微积分学蓬勃发展起来,成为一门影响深远得学科,为后面得学习奠定了基础。
因此它在教材中处于极其重要得地位,起到了承上启下得作用,
说明:
它指出了求连续函数定积分得一般方法,把求定积分得问题,转化成求原函数得问题、我们可以用得原函数(即满足)得数值差来计算在上得定积分.
②它不仅揭示了导数与定积分之间得内在联系,同时也提供计算定积分得一种有效方法,为后面得学习奠定了基础。
思考并回答下列问题:
与函数f(x)相对应F(x)得唯一不?
如果不唯一,它们之间什么关系?
原函数得选择影响最后得计算结果不?
计算定积分得关键就是什么?
寻找函数f(x)得原函数F(X)得方法就是什么?
利用基本初等函数得求导公式求下列函数得原函数
典例分析
例1.计算定积分
分析:
所求定积分即为如图阴影部分面积,面积为。
即:
思考:
若改为计算定积分呢?
改变了积分上、下限,被积函数在上出现了负值如何解决呢?
(后面解决得问题)
1。
(2014·湖北高考理科·T6)若函数, 满足,则称,为区间[-1,1] 上得一组正交函数,给出三组函数:
①;②;③
其中为区间得正交函数得组数就是()
A。
0B。
1 C.2 D.3
【解题提示】考查微积分基本定理得运用
【解析】选C、对,,则、为区间上得正交函数;
对,,则、不为区间上得正交函数;
对,,则、为区间上得正交函数、
所以满足条件得正交函数有2组、
2。
(2014·山东高考理科·T6)直线与曲线在第一象限内围成得封闭图形得面积为( )
A、 B、C、2 D、4
【解题指南】本题考查了定积分得应用,先求出直线与曲线在第一象限得交点,再利用牛顿-莱布尼茨公式求出封闭图形得面积。
【解析】选D、由,得交点为,
所以,故选D.
3。
(2014·陕西高考理科·T3)定积分(2x+ex)dx得值为()
A。
e+2ﻩB。
e+1C、eD、e—1
【解题指南】求出被积函数2x+ex得原函数,然后根据定积分得定义解之、
【解析】选C。
(2x+ex)dx=(x2+ex)=1+e-1=e。
4.(2014·福建高考理科·T14)如图,在边长为(为自然对数得底数)得正方形中随机撒一粒黄豆,则它落到阴影部分得概率为______.
【解题指南】本题考查了反函数在图象上得性质,利用对称性,将问题化为可利用定积分求解面积得问题、
【解析】与互为反函数,不妨将样本空间缩小到左上方得三角形,
则
。
【答案】
5。
已知f(x)为偶函数且f(x)dx=8,则f(x)dx等于 ( )
A、0 B、4 C。
8 D、16
解析:
原式=f(x)dx+f(x)dx,
∵原函数为偶函数,
∴在y轴两侧得图象对称,
∴对应得面积相等,即8×2=16.
答案:
D
6、设f(x)=则f(x)dx等于 ( )
A. B。
C、 D。
不存在
解析:
数形结合,
f(x)dx=x2dx+(2-x)dx
=
=.
答案:
C
7。
计算以下定积分:
(1) (2x2—)dx;
(2)(+)2dx;
(3)(sinx-sin2x)dx;
解:
(1)(2x2—)dx=(x3-lnx)
=-ln 2-=-ln2、
(2)(+)2dx=(x++2)dx
=(x2+lnx+2x)
=(+ln3+6)-(2+ln2+4)
=ln+。
(3)(sinx-sin2x)dx=(-cosx+cos2x)
=(—-)—(—1+)=-。
题组二
求曲多边形得面积
8。
如图,函数y=-x2+2x+1与y=1相交形成一个闭合
图形(图中得阴影部分),则该闭合图形得面积就是 ( )
A.1 B、 C。
D.2
解析:
函数y=-x2+2x+1与y=1得两个交点为(0,1)与(2,1),所以闭合图形得面积等于(-x2+2x+1-1)dx=(—x2+2x)dx=、
答案:
B
9、已知函数y=x2与y=kx(k>0)得图象所围成得阴影部分
(如图所示)得面积为,则k=________。
解析:
直线方程与抛物线方程联立先求出积分区间为[0,k],
再由(kx—x2)dx=(-)==求得k=2。
答案:
2
10.如图,设点P从原点沿曲线y=x2向点A(2,4)移动,
记直线OP、曲线y=x2及直线x=2所围成得面积
分别记为S1,S2,若S1=S2,则点P得坐标为________、
解析:
设直线OP得方程为y=kx,P点得坐标为(x,y),
则(kx-x2)dx=(x2-kx)dx,
即(kx2-x3)=(x3-kx2),
解得kx2—x3=-2k-(x3-kx2),
解得k=,即直线OP得方程为y=x,所以点P得坐标为(,)、
答案:
(,)
11。
一质点运动时速度与时间得关系为v(t)=t2-t+2,质点作直线运动,则此物体在时间[1,2]内得位移为 ( )
A、 B、 C。
D、
解析:
s=(t2-t+2)dt=(t3-t2+2t)|=。
答案:
A
12、若1N得力能使弹簧伸长1 cm,现在要使弹簧伸长10cm,则需要花费得功为( )
A.0.05JB.0.5 J C.0。
25 J D.1 J
解析:
设力F=kx(k就是比例系数),当F=1N时,x=0。
01 m,可解得k=100 N/m,则F=100x,所以W=100xdx=50x2=0、5J、
答案:
B
13、一辆汽车得速度—时间曲线如图所示,则该汽车在这一分钟内行驶得路程为_______米、
解析:
据题意,v与t得函数关系式如下:
v=v(t)=
所以该汽车在这一分钟内所行驶得路程为
s==++
=t2+(50t-t2)+10t
=900米.
答案:
900
14。
(2010·烟台模拟)若y=(sint+costsint)dt,则y得最大值就是 ( )
A。
1 B、2 C.— D.0
解析:
y=(sint+costsint)dt=(sint+sin2t)dt
=(-cost-cos2t)=-cosx-cos2x+
=-cosx—(2cos2x—1)+=-cos2x-cosx+
=-(cosx+1)2+2≤2。
答案:
B
15.(2010·温州模拟)若f(x)就是一次函数,且f(x)dx=5,xf(x)dx=,那么dx得值就是________、
解析:
∵f(x)就是一次函数,∴设f(x)=ax+b(a≠0),由(ax+b)dx=5得(ax2+bx)=a+b=5, ①
由xf(x)dx=得(ax2+bx)dx=,即
(ax3+bx2)=,∴a+b=, ②
解①②得a=4,b=3,∴f(x)=4x+3,
于就是dx=dx=(4+)dx
=(4x+3lnx)=8+3ln2-4=4+3ln2。
答案:
4+3ln2
16.设f(x)=|x2—a2|dx。
(1)当0≤a≤1与a>1时,分别求f(a);
(2)当a≥0时,求f(a)得最小值。
解:
(1)0≤a≤1时,
f(a)=|x2-a2|dx
=(a2-x2)dx+(x2-a2)dx
=(a2x-x3)+(—a2x)
=a3-a3-0+0+-a2-+a3
=a3-a2+。
当a>1时,
f(a)=(a2—x2)dx
=(a2x—x3)
=a2-.
∴f(a)=
(2)当a>1时,由于a2-在[1,+∞)上就是增函数,故f(a)在[1,+∞)上得最小值就是f
(1)=1—=.
当a∈[0,1]时,f′(a)=4a2-2a=2a(2a—1),
由f′(a)>0知:
a〉或a<0,
故在[0,]上递减,在[,1]上递增.
因此在[0,1]上,f(a)得最小值为f()=、
综上可知,f(x)在[0,+∞)上得最小值为.
课堂练习
计算下列定积分
1.
2.
布置作业
1.设连续函数,则当时,定积分得符号________
A。
一定就是正得 B、一定就是负得
C、当时就是正得 D.以上都不对
2.与定积分相等得就是_________
A。
B.
C.- D、
3.定积分得得大小_________
A.与与积分区间有关,与得取法无关。
B.与有关,与区间以及得取法无关
C.与以及得取法有关,与区间无关
D.与以及得取法与区间都有关
4.下列等式成立得就是________
A. B.
C. D。
5.已知=6,则
6.已知,则=______________
7.已知则___________
8.计算
9.计算
演练方阵
A档(巩固专练)
1.=()
A.5 B、4 C.3 D.2
2。
=()
A. B. C. D、
3。
若,且,则得值为( )
A、6B、4 C、3 D.2
4。
已知自由落体运动得速率v=gt,则落体运动从t=0到t=t0所走得路程为( )
A. B. C、 D。
5。
曲线与直线所围成得图形(阴影部分)得面积等于 。
6。
.
7.如图,求由两条曲线,及直线y=—1所围成图形得面积。
8.如图,抛物线C1:
y=-x2与抛物线C2:
y=x2-2ax(a>0)交于O、A两点。
若过原点得直线l与抛物线C2所围成得图形面积为,求直线l得方程.
9.平地上有一条小沟,沟沿
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