初中数学圆的定理.docx
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初中数学圆的定理
垂径定理
垂径定理是数学几何(圆)中的一个定理,它的通俗的表达是:
垂直于弦的直径平分弦且平分这条弦所对的两条弧。
数学表达为:
如右图,直径DC垂直于弦AB,则AE=EB,劣弧AD等于劣弧BD,等弧CAD=优弧CBD。
垂直于弦的直径平分这条弦,并且平分弦所对的两条弧。
一条直线,在下列5条中只要具备其中任意两条作为条件,就可以推出其他三条结论。
称为知二推三
1.平分弦所对的优弧
2.平分弦所对的劣弧(前两条合起来就是:
平分弦所对的两条弧)
3.平分弦(不是直径)
4.垂直于弦
5.经过圆心
数学证明编辑
如图,在⊙O中,DC为直径,AB是弦,AB⊥DC于点E,AB、CD交于E,求证:
AE=BE,弧AC=弧BC,弧AD=弧BD
证明
图示
连接OA、OB分别交⊙O于点A、点B
∵OA、OB是⊙O的半径
∴OA=OB
∴△OAB是等腰三角形
∵AB⊥DC
∴AE=BE,∠AOE=∠BOE(等腰三角形的三线合一性质)
∴弧AD=弧BD,∠AOC=∠BOC
∴弧AC=弧BC
推导定理编辑
推论一:
平分弦(不是直径)的直径垂直于这条弦,并且平
原本命题,其中CD垂直于直线AB
分这条弦所对的两段弧。
几何语言:
因为DC是直径,AE=EB,所以直径DC垂直于弦AB,劣弧AD等于劣弧BD,优弧ACO=优弧BCO
推论二:
弦的垂直平分线经过圆心,并且平分这条弦所对的弧。
几何语言:
因为DC垂直AB,AE=EB,所以DC是圆的直径,劣弧AD等于劣弧BD,优弧ACO=优弧BCO
推论三:
平分弦所对的一条弧的直径垂直平分这条弦,并且平分这条弦所对的另一条弧。
推论四:
在同圆或者等圆中,两条平行弦所夹的弧相等。
韦达定理
韦达定理(Vietetheorem)为解析几何中的一个定理,说明了一元n次方程中根和系数之间的关系。
以一元二次方程两根之间的关系为例,方程aX²+bX+c=0中,两根X1、X2满足X1+X2=-b/a和X1×X2=c/a两个关系。
托勒密定理
在数学中,托勒密定理是欧几里得几何学中的一个关于四边形的定理。
托勒密定理指出凸四边形两组对边乘积之和不小于两条对角线的乘积,等号当且仅当四边形为圆内接四边形,或退化为直线取得(这时也称为欧拉定理)。
狭义的托勒密定理也可以叙述为:
圆内接凸四边形两对对边乘积的和等于两条对角线的乘积。
它的逆定理也是成立的:
若一个凸四边形两对对边乘积的和等于两条对角线的乘积,则这个凸四边形内接于一圆。
托勒密定理实际上可以看做一种判定圆内接四边形的方法。
指圆内接凸四边形两对对边乘积的和等于两条对角线的乘积。
射影定理
射影定理(right trianglealtitudetheorem)是指在直角三角形中,斜边上的高是两条直角边在斜边射影的比例中项,直角边是这条直角边在斜边的射影和斜边的比例中项。
直角三角形射影定理,又称“欧几里德定理”,定理内容是:
直角三角形中,斜边上的高是两直角边在斜边上射影的比例中项,每一条直角边是这条直角边在斜边上的射影和斜边的比例中项。
直角三角形
编辑
所谓射影,就是正投影。
直角三角形射影定理(又叫欧几里德(Euclid)定理):
直角三角形中,斜边上的高是两直角边在斜边上射影的比例中项。
每一条直角边是这条直角边在斜边上的射影和斜边的比例中项。
[2]
公式:
如图,Rt△ABC中,∠ABC=90°,BD是斜边AC上的高,则有射影定理如下:
(1)(BD)²=AD·DC,
(2)(AB)²=AD·AC,(3)(BC)²=CD·CA。
等积式(4)AB×BC=AC×BD(可用“面积法”或相似来证明)(5)(AB)²/(BC)²=AD/CD
直角三角形射影定理的证明:
(主要是从三角形的相似比推算来的)
一、在△BAD与△BCD中,∵∠ABD+∠CBD=90°,且∠CBD+∠C=90°,
射影定理简图(几何画板)∴∠ABD=∠C,
又∵∠BDA=∠BDC=90°
∴△BAD∽△CBD
∴AD/BD=BD/CD
即BD²=AD·DC。
其余同理可得可证
有射影定理如下:
AB²=AD·AC,BC²=CD·CA
两式相加得:
AB²+BC²=(AD·AC)+(CD·AC)=(AD+CD)·AC=AC²。
用勾股证射影
∵AD²=AB²-BD²=AC²-CD²,
∴2AD²=AB²+AC²-BD²-CD²=BC²-BD²-CD²=(BC+BD)(BC-BD)-CD²=(BC+BD)CD-CD²=(BC+BD-CD)CD=2BD×CD.
故AD²=BD×CD.
运用此结论可得:
AB²=BD²+AD²=BD²+BD×CD=BD×(BD+CD)=BD×BC,
AC²=CD²+AD²=CD²+BD×CD=CD(BD+CD)=CD×CB.
弦心距
圆心到弦的距离叫做弦心距。
圆心角、弧、弦、弦心距之间的相等关系:
在同圆或等圆中,相等的圆心角所对的弧相等,所对的弦相等,所对的圆心角也相等,所对弦的弦心距也相等。
4者有一个相等,则其他三个都相等。
圆心到弦的垂线段的长度称为这条弦的弦心距。
圆心到弦的距离叫做弦心距。
圆心角、弧、弦、弦心距之间的相等关系:
在同圆或等圆中,相等的圆心角所对的弧相等,所对的弦相等,所对弦的弦心距也相等.
弦切角
弦切角,是指顶点在圆上,一边和圆相交,另一边和圆相切的角。
定义
编辑
顶点在圆上,一边和圆相交,另一边和圆相切的角叫做弦切角。
2特征识别
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①顶点在圆上;
②一条边与圆周相交,另一条边与圆相切,切点在圆周上;
③弦切角的大小等于它所夹的弧所对的圆周角的大小。
3定理
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弦切角定理:
弦切角等于它所夹的弧所对的圆周角。
弦切角等于它所夹的弧所对的圆心角的一半。
两个弦切角所夹的弧相等,那么这两个弦切角也相等。
弦切角定理的证明:
如图2,AB为圆O的切线,因为BD是直径,所以内接三角形BCD是直角三角形,其中∠DCB是直角
所以∠BDC+∠1=90°
又因为∠1+∠CBA=90°
所以∠CBA=∠BDC.
4应用
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已知PA为圆O的切线,为切点,与⊙相交于.两点,求证:
PA^2=PB×PC。
证明:
∵∠PAB为弦切角
∴∠PAB=∠C
又∵∠P=∠P
∴△PAB∽△PCA
∴PA∶PC=PB∶PA
即PA^2=PC·PB
割线定理
割线定理是现代词,是一个专有名词,指的是从圆外一点引圆的两条割线,这一点到每条割线与圆交点的距离的积相等。
文字表达:
从圆外一点引圆的两条割线,这一点到每条割线与圆交点的距离的积相等。
数学语言:
从圆外一点L引两条割线与圆分别交于A.B.C.D则有LA·LB=LC·LD=LT^2。
几何语言:
∵割线LDC和LBA交于圆O于ABCD点
∴LA·LB=LC·LD=LT^2
证明一
如下图所示。
(LT为切线)
已知:
如图直线ABP和CDP是自点P引的⊙O的两条割线
求证:
PA·PB=PC·PD
证明:
连接AD、BC∵∠A和∠C都对弧BD
∴由圆周角定理,得∠A=∠C
又∵∠P=∠P
∴△ADP∽△CBP(A,A)
∴AP:
CP=DP:
BP
即AP·BP=CP·DP
证明二
既然圆内接四边形定理可以从割线定理而得,那么或许割线定理就可以从圆内接四边形定理而得。
如图所示。
已知:
从圆O外一点P引两条圆的割线,一条交圆于A、B,另一条交圆于C、D
求证:
AP·BP=CP·DP
证明:
连接AC、BD
由圆内接四边形定理得
∠ABD+∠DCA=∠CAB+∠BDC=180°
又∵∠ACP+∠DCA=∠DCP=180°,∠CAP+∠CAB=∠BAP=180°(平角的定义)
∴∠ABD=∠ACP,∠BDC=∠CAP(同角的补角相等)
∴△ACP∽△DBP(两角对应相等的三角形相似)
∴AP/DP=CP/BP(相似三角形对应边成比例)
∴AP·BP=CP·DP(比例基本性质)[1]
证明三
编辑
根据切割线定理求证。
已知:
从圆O外一点P引两条圆的割线,一条交圆于A、B,另一条交圆于C、D
求证:
AP·BP=CP·DP
过点P作圆O的切线,记切点为T
由切割线定理可知:
AP·BP=PT^2,CP·DP=PT^2
所以AP·BP=CP·DP:
相交弦定理
相交弦定理,是指圆内的两条相交弦,被交点分成的两条线段长的积相等。
1概念
编辑
定理
圆内的两条相交弦,被交点分成的两条线段长的积相等。
(经过圆内一点引两条弦,各弦被这点所分成的两段的积相等)
说明
几何语言:
若弦AB、CD交于点P
则PA·PB=PC·PD(相交弦定理)
概述
相交弦定理为圆幂定理之一,其他两条定理为:
切割线定理
割线定理
2证明
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证明:
连结AC,BD
由圆周角定理的推论,得∠A=∠D,∠C=∠B。
(圆周角推论2:
同(等)弧所对圆周角相等.)
∴△PAC∽△PDB
∴PA∶PD=PC∶PB,PA·PB=PC·PD
注:
其逆定理可作为证明圆的内接四边形的方法.P点若选在圆内任意一点更具一般性。
其逆定理也可用于证明四点共圆。
3比较
编辑
相交弦定理、切割线定理及割线定理(切割线定理推论)以及他们的推论统称为圆幂定理。
一般用于求线段长度。
4推论
编辑
定理
如果弦与直径垂直相交,那么弦的一半是它所分直径所成的两条线段的比例中项。
说明
几何语言:
若AB是直径,CD垂直AB于点P,
则=PA·PB(相交弦定理推论)
切割线定理
圆幂定理的一种,具体如下:
从圆外一点引圆的切线和割线,切线长是这点到割线与圆交点的两条线段长的比例中项。
1定理
编辑
切割线定理:
切割线定理示意图几何语言:
∵PT切⊙O于点T,PBA是⊙O的割线
∴PT^2=PA·PB(切割线定理)
推论:
从圆外一点引圆的两条割线,这一点到每条割线与圆的交点的两条线段长的积相等
几何语言:
∵PT是⊙O切线,PBA,PDC是⊙O的割线
∴PD·PC=PA·PB(切割线定理推论)(割线定理)
由上可知:
PT∧2(平方)=PA·PB=PC·PD
2证明
编辑
切割线定理证明:
设ABP是⊙O的一条割线,PT是⊙O的一条切线,切点为T,则PT^2=PA·PB
证明:
连接AT,BT
∵∠PTB=∠PAT(弦切角定理)
切割线定理的证明∠P=∠P(公共角)
∴△PBT∽△PTA(两角对应相等,两三角形相似)
则PB:
PT=PT:
AP
即:
PT^2=PB·PA
3比较
编辑
相交弦定理、切割线定理及割线定理(切割线定理推论)以及他们的推论统称为圆幂定理。
一般用于求直线段长度。
四点共圆
如果同一平面内的四个点在同一个圆上,则称这四个点共圆,一般简称为“四点共圆”。
四点共圆有三个性质:
(1)共圆的四个点所连成同侧共底的两个三角形的顶角相等;
(2)圆内接四边形的对角互补;(3)圆内接四边形的外角等于内对角。
1定理介绍
编辑
判定定理
方法1:
把被证共圆的四个点连成共底边的两个三角形,且两三角形都在这底边的同侧,若能证明其顶角相等,从而即可肯定这四点共圆。
(可以说成:
若线段同侧二点到线段两端点连线夹角相等,
方法2:
把被证共圆的四点连成四边形,若能证明其对角互补或能证明其一个外角等于其邻补角的内对角时,即可肯定这四点共圆。
(可以说成:
若平面上四点连成四边形的对角互补或一个外角等于其内对角,
托勒密定理
若ABCD四点共圆(ABCD按顺序都在同一个圆上),那么AB*DC+BC*AD=AC*BD。
例题:
证明对于任意正整数n都存在n个点使得所有点间两两距离为整数。
解答:
归纳法。
我们用归纳法证明一个更强的定理:
对于任意n都存在n个点使得所有点间两两距离为整数,且这n个点共圆,并且有两点是一条直径的两端。
n=1,n=2很轻松。
当n=3时,一个边长为整数的勾股三角形即可:
比如说边长为3,4,5的三角形。
我们发现这样的三个点共圆,边长最长的边是一条直径。
假设对于n大于等于3成立,我们来证明n+1。
假设直径为r(整数)。
找一个不跟已存在的以这个直径为斜边的三角形相似的一个整数勾股三角形ABC(边长a
反证法证明
现就“若平面上四点连成四边形的对角互补。
那么这个四点共圆”
已知:
四边形ABCD中,
求证:
四边形ABCD内接于一个圆(A,B,C,
证明:
用反证法
过A,B,D作圆O,假设C不在圆O上,点C在圆外或圆内,
若点C在圆外,设BC交圆O于C’,连结DC’,根据圆内接四边形的性质得∠A+∠DC’B=180°,
∵∠A+∠C=180°∴∠DC’B=∠C
这与三角形外角定理矛盾,故C不可能在圆外。
类似地可证C不可能在圆内。
∴C在圆O上,也即A,B,C,D四点共圆。
2判定与性质
编辑
圆内接四边形的对角和为180°,并且任何一个外角都等于它的内对角。
【如图A:
四点共圆的图片】
四边形ABCD内接于圆O,延长AB和DC交至E,过点E作圆O的切线EF,AC、BD交于P,
(1)∠A+∠C=π,
(2)∠DBC=∠DAC(同弧所对的圆周角相等)。
(3)∠ADE=∠CBE(外角等于内对角,
(4)△ABP∽△DCP(两三角形三个内角对应相等,
(5)AP*CP=BP*DP(相交弦定理)
(6)EB*EA=EC*ED(割线定理)
(7)EF²=EB*EA=EC*ED(切割线定理)
(8)AB*CD+AD*CB=AC*BD(托勒密定理)
说明:
切割线定理,割线定理,
其他定理:
弦切角定理:
弦切角的度数等于它所夹的弧的圆心角的度数的一半。
3证明方法
编辑
方法1
从被证共圆的四点中先选出三点作一圆,然后证另一点也在这个圆周上,若能证明这一点,
方法2
把被证共圆的四个点连成共底边的两个三角形,且两三角形都在这底边的同侧,若能证明其顶角相等(同弧所对的圆周角相等),从而即可肯定这四点共圆。
几何描述:
四边形ABCD中,∠BAC=∠BDC,则ABCD四点共圆。
证明:
过ABC作一个圆,明显D一定在圆上。
若不在圆上,可设射线BD与圆的交点为D',那么∠BD'C=∠BAC=∠BDC,与外角定理矛盾。
方法3
把被证共圆的四点连成四边形,若能证明其对角互补或能证明其一个外角等于其邻补角的内对角时,即可肯定这四点共圆。
证法见上
方法4
把被证共圆的四点两两连成相交的两条线段,若能证明它们各自被交点分成的两线段之积相等,即可肯定这四点共圆(相交弦定理的逆定理);或把被证共圆的四点两两连结并延长相交的两线段,若能证明自交点至一线段两个端点所成的两线段之积等于自交点至另一线段两端点所成的两线段之积,
上述两个定理统称为圆幂定理的逆定理,即ABCD四个点,分别连接AB和CD,它们(或它们的延长线)交点为P,若PA*PB=PC*PD,则ABCD四点共圆。
证明:
连接AC,BD,
∴PA/PC=PD/PB
∵∠APC=∠BPD
∴△APC∽△DPB
当P在AB,CD上时,由相似得∠A=∠D,且A和D在BC同侧。
根据方法2可知ABCD四点共圆。
当P在AB,CD的延长线上时,由相似得∠PAC=∠D,根据方法3可知ABCD四点共圆。
方法5
证被证共圆的点到某一定点的距离都相等,从而确定它们共圆.即连成的四边形三边中垂线有交点,
方法6
四边形ABCD中,若有AB*CD+AD*BC=AC*BD,即两对边乘积之和等于对角线乘积,则ABCD四点共圆。
该方法可以由托勒密定理逆定理得到。
托勒密定理逆定理:
对于任意一个凸四边形ABCD,总有AB*CD+AD*BC≥AC*BD,等号成立的条件是ABCD四点共圆。
如图,
由相似得∠ABP=∠DBC,
∴∠ABP+∠PBD=∠DBC+∠PBD
即∠ABD=∠PBC
又由相似得AB:
BD=PB:
CB=AP:
CD
∴AB*CD=BD*AP,
∴AD:
BD=PC:
BC,
两个等式相加,
而APC共线意味着∠BAP=∠BAC,而∠BAP=∠BDC,
根据方法2,
方法7
若一点在一三角形三边上的射影共线,则该点在三角形外接圆上。
设有一△ABC,P是平面内与ABC不同的点,过P作三边垂线,垂足分别为L,M,N,若L,M,N共线,则P在△ABC的外接圆上。
如图,PM⊥AC,PN⊥AB,PL⊥BC,且L,N,M在一条线上。
连接PB,PC,
∴PLBN四点共圆
∴∠PLN=∠PBN,
同理,∠PLM=∠PCM,
根据方法2,
圆的基本知识
圆
圆的定义
几何说:
平面上到定点的距离等于定长的所有点组成的图形叫做圆。
定点称为 圆心,定长称为 半径。
轨迹说:
平面上一动点以一定点为中心,一定长为距离运动一周的轨迹称为 圆周,简称圆。
集合说:
到定点的距离等于定长的点的集合叫做圆。
概括
把一个圆按一条直线对折过去,并且完全重合,展开再换个方向对折,折出后,这些折痕相交的一个点,叫做圆心,用字母O表示。
连接圆心和 圆上的任意一点的线段叫做半径,用字母r表示。
通过圆心并且两端都在 圆上的线段叫做直径,用字母d表示。
圆心决定圆的位置,半径和直径决定圆的大小。
在同一个圆或 等圆中,半径都相等,直径也都相等,直径是半径的2倍,半径是直径的1/2。
用字母表示是:
d=2r或r=d/2
圆的相关量
圆周率:
圆周长度与圆的直径长度的比值叫做圆周率,它是一个无限不循环的小数通常用π表示,π=3.1415926535...,在实际应用中我们只取它的近似值,即π≈3.14(在 奥数中一般π只取3、3.1416或3.14159)
圆弧和弦:
圆上任意两点间的部分叫做圆弧,简称弧(arc)。
大于半圆的弧称为优弧,小于半圆的弧称为劣弧。
连接 圆上任意两点的 线段叫做弦(chord)。
圆中最长的弦为直径(diameter)。
圆心角和 圆周角:
顶点在圆心上的角叫做圆心角。
顶点在 圆周上,且它的两边分别与圆有另一个交点的角叫做圆周角。
内心和 外心:
和三角形三边都相切的圆叫做这个 三角形的内切圆,其圆心称为内心。
过三角形的三个顶点的圆叫做三角形的 外接圆,其圆心叫做三角形的 外心。
扇形:
在 圆上,由两条半径和一段弧围成的图形叫做扇形。
圆锥侧面展开图是一个 扇形。
这个 扇形的半径称为圆锥的母线。
【圆和圆的相关量字母表示方法】
圆—⊙ 半径—r或R(在环形圆中外环半径表示的字母)弧—⌒直径—d
扇形弧长/ 圆锥母线—l 周长—C面积—S
圆和其他图形的位置关系
圆和点的位置关系:
以点P与圆O的为例(设P是一点,则PO是点到 圆心的距离),P在⊙O外,PO>r;P在⊙O上,PO=r;P在⊙O内,0≤PO 直线与圆有3种位置关系: 无公共点为相离;有两个公共点为相交,这条直线叫做圆的 割线;圆与直线有唯一公共点为相切,这条直线叫做圆的切线,这个唯一的公共点叫做切点。 以直线AB与圆O为例(设OP⊥AB于P,则PO是AB到圆心的距离): AB与⊙O相离,PO>r;AB与⊙O相切,PO=r;AB与⊙O相交,0≤PO 两圆之间有5种位置关系: 无公共点的,一圆在另一圆之外叫外离,在之内叫内含;有唯一公共点的,一圆在另一圆之外叫 外切,在之内叫内切;有两个公共点的叫相交。 两圆圆心之间的距离叫做 圆心距。 两圆的半径分别为R和r,且R≥r, 圆心距为P: 外离P>R+r; 外切P=R+r;相交R-r圆的对称性质: 圆是 轴对称图形,其 对称轴是任意一条通过圆心的直线。 圆也是 中心对称图形,其 对称中心是圆心。 垂径定理: 垂直于弦的直径平分这条弦,并且平分弦所对的2条弧。 逆定理: 平分弦(不是直径)的直径垂直于弦,并且平分弦所对的2条弧。 ⑵有关 圆周角和 圆心角的性质和定理在同圆或 等圆中,如果两个 圆心角,两个 圆周角,两组弧,两条弦,两条 弦心距中有一组量相等,那么他们所对应的其余各组量都分别相等。 一条弧所对的 圆周角等于它所对的 圆心角的一半。 直径所对的 圆周角是 直角。 90度的 圆周角所对的弦是直径。 如果一条弧的长是另一条弧的2倍,那么其所对的 圆周角和圆心角是另一条弧的2倍。 ⑶有关 外接圆和 内切圆的性质和定理 ①一个三角形有唯一确定的 外接圆和 内切圆。 外接圆圆心是三角形各边 垂直平分线的交点,到三角形三个顶点距离相等; ② 内切圆的圆心是三角形各内 角平分线的交点,到三角形三边距离相等。 ③R=2S△÷L(R: 内切圆半径,S: 三角形面积,L: 三角形周长) ④两相切圆的 连心线过切点(连心线: 两个 圆心相连的直线) ⑤圆O中的弦PQ的中点M,过点M任作两弦AB,CD,弦AD与BC分别交PQ于X,Y,则M为XY之中点。 (4)如果两圆相交,那么连接两圆圆心的 线段(直线也可)垂直平分 公共弦。 (5) 圆心角的度数等于它所对的弧的度数。 (6) 圆周角的度数等于它所对的弧的度数的一半。 (7) 弦切角的度数等于它所夹的弧的度数的一半。 (8)圆内角的度数等于这个角所对的弧的度数之和的一半。 (9) 圆外角的度数等于这个角所截两段弧的度数之差的一半。 有关切线的性质和定理 圆的切线垂直于过 切点的半径;经过半径的一端,并且垂直于这条半径的直线,是这个圆的切线。 切线的判定方法: 经过半径外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线。 切线的性质: (1)经过 切点垂直于过切点的 半径的直线是圆的切线。 (2)经过 切点垂直于切线的直线必经过圆心。 (3)圆的切线垂直于经过切点的半径。 切线长定理: 从圆外一点到圆的两条切线的长相等,那点与圆心的连线平分切线的 夹角。 〖有关圆的计算公式〗 1.圆的周长C=2πr=πd2.圆的面积S=πr^2;3. 扇形弧长l=nπr/180 4. 扇形面积S=(nπr^2)/360=lr/2(l为扇形的弧长)5.圆锥侧面积S=πrl6.圆锥侧面展开图(扇形)的 圆心角n=360r/l(r是底面半径,l是母线长) 切割线定理圆的一条切线与一条割线相交于p点,切线交圆于C点,割线交圆于AB两点,则有pC^2=pA·pB 割线定理与切割线定理相似两条割线交于p点,割线m交圆于A1B1两点,割线n交圆于A2B2两点 则pA1·pB1=pA2·pB2 圆的解析几何性质和定理 圆的解析几何方程 圆的标准方程: 在平面直角坐标系中,以点O(a,b)为圆心,以r为半径的圆的标准方程是(x-a)^2+(y-b)^2=r^2。 圆的一般方程: 把 圆的标准方程展开, 移项, 合并同类项后,可得圆的一般方程是x^2+y^2+Dx+Ey+F=0(其中D^2+E^2-4F>0)。 其中和标准 方程对比,其实D=-2a,E=-2b,F=a^2+b^2-r^2。 该圆圆心坐标为(-D/2,-E/2),半径r=0.5√D^2+E^2-4F。 圆的 参数方程: 以点O(a,b)为圆心,以r为半径的圆的 参数方程是x=a+r*cosθ,y=b+r*sinθ,(其中θ为参数) 圆的 端点式: 若已知两点A(a1,b1),B(a2,b2),则以线段AB为直径的圆的方程为(x-a1)(x-a2)+(y-b1)(y-b2)=0 圆的离心率e=0,在 圆上任意一点的 曲率半径都是r。 经过圆x^2+y^2=r^2上一点M(a0,b0)的 切线方程为a0*x+b0*y=r^2 在圆(x^2+y^2=r^2)外一点M(a0,b0)引该圆的两条切线,且两 切点为A,B,则A,B两点所在直线的 方程也为a0*x+b0*y
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- 初中 数学 定理