九年级数学上册全册教案人教版1Word文件下载.docx
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理解二次根式的概念,并利用(a≥0)的意义解答具体题目.
提出问题,根据问题给出概念,应用概念解决实际问题.
教学重难点关键
1.重点:
形如(a≥0)的式子叫做二次根式的概念;
2.难点与关键:
利用“(a≥0)”解决具体问题.
教学过程
一、复习引入
(学生活动)请同学们独立完成下列三个问题:
问题1:
已知反比例函数y=,那么它的图象在第一象限横、纵坐标相等的点的坐标是___________.
问题2:
如图,在直角三角形ABC中,AC=3,BC=1,∠C=90°
,那么AB边的长是__________.
问题3:
甲射击6次,各次击中的环数如下:
8、7、9、9、7、8,那么甲这次射击的方差是S2,那么S=_________.
老师点评:
问题1:
横、纵坐标相等,即x=y,所以x2=3.因为点在第一象限,所以x=,所以所求点的坐标(,).
问题2:
由勾股定理得AB=
由方差的概念得S=.
二、探索新知
很明显、、,都是一些正数的算术平方根.像这样一些正数的算术平方根的式子,我们就把它称二次根式.因此,一般地,我们把形如(a≥0)的式子叫做二次根式,“”称为二次根号.
(学生活动)议一议:
1.-1有算术平方根吗?
2.0的算术平方根是多少?
3.当a<
0,有意义吗?
老师点评:
(略)
例1.下列式子,哪些是二次根式,哪些不是二次根式:
、、、(x>
0)、、、-、、(x≥0,y≥0).
分析:
二次根式应满足两个条件:
第一,有二次根号“”;
第二,被开方数是正数或0.
解:
二次根式有:
、(x>
0)、、-、(x≥0,y≥0);
不是二次根式的有:
、、、.
例2.当x是多少时,在实数范围内有意义?
由二次根式的定义可知,被开方数一定要大于或等于0,所以3x-1≥0,才能有意义.
由3x-1≥0,得:
x≥
当x≥时,在实数范围内有意义.
三、巩固练习
教材P练习1、2、3.
四、应用拓展
例3.当x是多少时,+在实数范围内有意义?
要使+在实数范围内有意义,必须同时满足中的≥0和中的x+1≠0.
依题意,得
由①得:
x≥-
由②得:
x≠-1
当x≥-且x≠-1时,+在实数范围内有意义.
例4
(1)已知y=++5,求的值.(答案:
2)
(2)若+=0,求a2004+b2004的值.(答案:
五、归纳小结(学生活动,老师点评)
本节课要掌握:
1.形如(a≥0)的式子叫做二次根式,“”称为二次根号.
2.要使二次根式在实数范围内有意义,必须满足被开方数是非负数.
六、布置作业
1.教材P8复习巩固1、综合应用5.
2.选用课时作业设计.
3.课后作业:
《同步训练》
第一课时作业设计
一、选择题
1.下列式子中,是二次根式的是()
A.-B.C.D.x
2.下列式子中,不是二次根式的是()
A.B.C.D.
3.已知一个正方形的面积是5,那么它的边长是()
A.5B.C.D.以上皆不对
二、填空题
1.形如________的式子叫做二次根式.
2.面积为a的正方形的边长为________.
3.负数________平方根.
三、综合提高题
1.某工厂要制作一批体积为1m3的产品包装盒,其高为0.2m,按设计需要,底面应做成正方形,试问底面边长应是多少?
2.当x是多少时,+x2在实数范围内有意义?
3.若+有意义,则=_______.
4.使式子有意义的未知数x有()个.
A.0B.1C.2D.无数
5.已知a、b为实数,且+2=b+4,求a、b的值.
第一课时作业设计答案:
一、1.A2.D3.B
二、1.(a≥0)2.3.没有
三、1.设底面边长为x,则0.2x2=1,解答:
x=.
2.依题意得:
,
∴当x>
-且x≠0时,+x2在实数范围内没有意义.
3.
4.B
5.a=5,b=-4
21.1二次根式
(2)
第二课时
1.(a≥0)是一个非负数;
2.()2=a(a≥0).
理解(a≥0)是一个非负数和()2=a(a≥0),并利用它们进行计算和化简.
通过复习二次根式的概念,用逻辑推理的方法推出(a≥0)是一个非负数,用具体数据结合算术平方根的意义导出()2=a(a≥0);
最后运用结论严谨解题.
(a≥0)是一个非负数;
()2=a(a≥0)及其运用.
2.难点、关键:
用分类思想的方法导出(a≥0)是一个非负数;
用探究的方法导出()2=a(a≥0).
(学生活动)口答
1.什么叫二次根式?
2.当a≥0时,叫什么?
当a<
0时,有意义吗?
老师点评(略).
二、探究新知
议一议:
(学生分组讨论,提问解答)
(a≥0)是一个什么数呢?
根据学生讨论和上面的练习,我们可以得出
(a≥0)是一个非负数.
做一做:
根据算术平方根的意义填空:
()2=_______;
()2=______;
()2=_______.
是4的算术平方根,根据算术平方根的意义,是一个平方等于4的非负数,因此有()2=4.
同理可得:
()2=2,()2=9,()2=3,()2=,()2=,()2=0,所以
()2=a(a≥0)
例1计算
1.()22.(3)23.()24.()2
我们可以直接利用()2=a(a≥0)的结论解题.
解:
()2=,(3)2=32·
()2=32·
5=45,
()2=,()2=.
计算下列各式的值:
()2()2()2()2(4)2
例2计算
1.()2(x≥0)2.()23.()2
4.()2
分析:
(1)因为x≥0,所以x+1>
0;
(2)a2≥0;
(3)a2+2a+1=(a+1)≥0;
(4)4x2-12x+9=(2x)2-2·
2x·
3+32=(2x-3)2≥0.
所以上面的4题都可以运用()2=a(a≥0)的重要结论解题.
()2=x+1
(2)∵a2≥0,∴()2=a2
(3)∵a2+2a+1=(a+1)2
又∵(a+1)2≥0,∴a2+2a+1≥0,∴=a2+2a+1
(4)∵4x2-12x+9=(2x)2-2·
3+32=(2x-3)2
又∵(2x-3)2≥0
∴4x2-12x+9≥0,∴()2=4x2-12x+9
例3在实数范围内分解下列因式:
(1)x2-3
(2)x4-4(3)2x2-3
五、归纳小结
本节课应掌握:
2.()2=a(a≥0);
反之:
a=()2(a≥0).
1.教材P8复习巩固2.
(1)、
(2)P97.
第二课时作业设计
1.下列各式中、、、、、,二次根式的个数是().
A.4B.3C.2D.1
2.数a没有算术平方根,则a的取值范围是().
A.a>
0B.a≥0C.a<
0D.a=0
1.(-)2=________.
2.已知有意义,那么是一个_______数.
1.计算
(1)()2
(2)-()2(3)()2(4)(-3)2
(5)
2.把下列非负数写成一个数的平方的形式:
(1)5
(2)3.4(3)(4)x(x≥0)
3.已知+=0,求xy的值.
4.在实数范围内分解下列因式:
(1)x2-2
(2)x4-93x2-5
第二课时作业设计答案:
一、1.B2.C
二、1.32.非负数
三、1.
(1)()2=9
(2)-()2=-3(3)()2=×
6=
(4)(-3)2=9×
=6(5)-6
2.
(1)5=()2
(2)3.4=()2
(3)=()2(4)x=()2(x≥0)
3.xy=34=81
4.
(1)x2-2=(x+)(x-)
(2)x4-9=(x2+3)(x2-3)=(x2+3)(x+)(x-)
(3)略
21.1二次根式(3)
第三课时
=a(a≥0)
理解=a(a≥0)并利用它进行计算和化简.
通过具体数据的解答,探究=a(a≥0),并利用这个结论解决具体问题.
=a(a≥0).
2.难点:
探究结论.
3.关键:
讲清a≥0时,=a才成立.
老师口述并板收上两节课的重要内容;
1.形如(a≥0)的式子叫做二次根式;
2.(a≥0)是一个非负数;
3.()2=a(a≥0).
那么,我们猜想当a≥0时,=a是否也成立呢?
下面我们就来探究这个问题.
(学生活动)填空:
=_______;
=______;
=________;
=_______.
(老师点评):
根据算术平方根的意义,我们可以得到:
=2;
=0.01;
=;
=0;
=.
因此,一般地:
=a(a≥0)
例1化简
(1)
(2)(3)(4)
因为
(1)9=-32,
(2)(-4)2=42,(3)25=52,
(4)(-3)2=32,所以都可运用=a(a≥0)去化简.
(1)==3
(2)==4
(3)==5(4)==3
教材P7练习2.
例2填空:
当a≥0时,=_____;
0时,=_______,并根据这一性质回答下列问题.
(1)若=a,则a可以是什么数?
(2)若=-a,则a可以是什么数?
(3)>
a,则a可以是什么数?
∵=a(a≥0),∴要填第一个空格可以根据这个结论,第二空格就不行,应变形,使“()2”中的数是正数,因为,当a≤0时,=,那么-a≥0.
(1)根据结论求条件;
(2)根据第二个填空的分析,逆向思想;
(3)根据
(1)、
(2)可知=│a│,而│a│要大于a,只有什么时候才能保证呢?
a<
0.
(1)因为=a,所以a≥0;
(2)因为=-a,所以a≤0;
(3)因为当a≥0时=a,要使>
a,即使a>
a所以a不存在;
0时,=-a,要使>
a,即使-a>
a,a<
0综上,a<
例3当x>
2,化简-.
=a(a≥0)及其运用,同时理解当a<
0时,=-a的应用拓展.
1.教材P8习题21.13、4、6、8.
2.选作课时作业设计.
第三课时作业设计
1.的值是().
A.0B.C.4D.以上都不对
2.a≥0时,、、-,比较它们的结果,下面四个选项中正确的是().
A.=≥-B.>
>
-
C.<
<
-D.->
=
1.-=________.
2.若是一个正整数,则正整数m的最小值是________.
1.先化简再求值:
当a=9时,求a+的值,甲乙两人的解答如下:
甲的解答为:
原式=a+=a+(1-a)=1;
乙的解答为:
原式=a+=a+(a-1)=2a-1=17.
两种解答中,_______的解答是错误的,错误的原因是__________.
2.若│1995-a│+=a,求a-19952的值.
(提示:
先由a-2000≥0,判断1995-a的值是正数还是负数,去掉绝对值)
3.若-3≤x≤2时,试化简│x-2│++。
答案:
一、1.C2.A
二、1.-0.022.5
三、1.甲甲没有先判定1-a是正数还是负数
2.由已知得a-2000≥0,a≥2000
所以a-1995+=a,=1995,a-2000=19952,
所以a-19952=2000.
3.10-x
21.2二次根式的乘除
·
=(a≥0,b≥0),反之=·
(a≥0,b≥0)及其运用.
理解·
(a≥0,b≥0),并利用它们进行计算和化简
由具体数据,发现规律,导出·
=(a≥0,b≥0)并运用它进行计算;
利用逆向思维,得出=·
(a≥0,b≥0)并运用它进行解题和化简.
重点:
·
(a≥0,b≥0)及它们的运用.
难点:
发现规律,导出·
=(a≥0,b≥0).
关键:
要讲清(a<
0,b<
0)=,如=或==×
.
(学生活动)请同学们完成下列各题.
1.填空
(1)×
=_______,=______;
(2)×
=_______,=________.
(3)×
=________,=_______.
参考上面的结果,用“>
、<
或=”填空.
×
_____,×
________
2.利用计算器计算填空
______,
(2)×
______,
______,(4)×
(5)×
______.
老师点评(纠正学生练习中的错误)
(学生活动)让3、4个同学上台总结规律.
(1)被开方数都是正数;
(2)两个二次根式的乘除等于一个二次根式,并且把这两个二次根式中的数相乘,作为等号另一边二次根式中的被开方数.
一般地,对二次根式的乘法规定为
·
=.(a≥0,b≥0)
反过来:
=·
(a≥0,b≥0)
例1.计算
(4)×
直接利用·
=(a≥0,b≥0)计算即可.
(1)×
(2)×
==
(3)×
==9
(4)×
例2化简
(1)
(2)(3)
(4)(5)
利用=·
(a≥0,b≥0)直接化简即可.
(1)=×
=3×
4=12
(2)=×
=4×
9=36
(3)=×
=9×
10=90
(4)=×
=×
×
=3xy
(5)==×
=3
(1)计算(学生练习,老师点评)
①×
②3×
2③·
(2)化简:
;
;
教材P11练习全部
例3.判断下列各式是否正确,不正确的请予以改正:
(1)
=4=8
(1)不正确.
改正:
==×
=2×
3=6
(2)不正确.
改正:
====4
(1)·
==(a≥0,b≥0),=·
1.课本P151,4,5,6.
(1)
(2).
1.若直角三角形两条直角边的边长分别为cm和cm,那么此直角三角形斜边长是().
A.3cmB.3cmC.9cmD.27cm
2.化简a的结果是().
A.B.C.-D.-
3.等式成立的条件是()
A.x≥1B.x≥-1C.-1≤x≤1D.x≥1或x≤-1
4.下列各等式成立的是().
A.4×
2=8B.5×
4=20
C.4×
3=7D.5×
4=20
1.=_______.
2.自由落体的公式为S=gt2(g为重力加速度,它的值为10ms2),若物体下落的高度为720m,则下落的时间是_________.
1.一个底面为30cm×
30cm长方体玻璃容器中装满水,现将一部分水例入一个底面为正方形、高为10cm铁桶中,当铁桶装满水时,容器中的水面下降了20cm,铁桶的底面边长是多少厘米?
2.探究过程:
观察下列各式及其验证过程.
(1)2=
验证:
2=×
(2)3=
3=×
4
5,……
通过上述探究你能猜测出:
a=_______(a>
0),并验证你的结论.
一、1.B2.C3.A4.D
二、1.132.12s
三、1.设:
底面正方形铁桶的底面边长为x,
则x2×
10=30×
30×
20,x2=30×
2,
x=×
=30.
2.a=
a=
==.
=(a≥0,b>
0),反过来=(a≥0,b>
0)及利用它们进行计算和化简.
理解=(a≥0,b>
0)和=(a≥0,b>
0)及利用它们进行运算.
利用具体数据,通过学生练习活动,发现规律,归纳出除法规定,并用逆向思维写出逆向等式及利用它们进行计算和化简.
理解=(a≥0,b>
2.难点关键:
发现规律,归纳出二次根式的除法规定.
(学生活动)请同学们完成下列各题:
1.写出二次根式的乘法规定及逆向等式.
2.填空
(1)=________,=_________;
(2)=________,=________;
(3)=________,=_________;
(4)=________,=________.
规律:
______;
_______;
_______.
3.利用计算器计算填空:
(1)=_________,
(2)=_________,(3)=______,(4)=________.
规律:
_____;
_____。
每组推荐一名学生上台阐述运算结果.
(老师点评)
刚才同学们都练习都很好,上台的同学也回答得十分准确,根据大家的练习和回答,我们可以得到:
一般地,对二次根式的除法规定:
0),
反过来,=(a≥0,b>
0)
下面我们利用这个规定来计算和化简一些题目.
例1.计算:
(1)
(2)(3)(4)
上面4小题利用=(a≥0,b>
0)便可直接得出答案.
(1)===2
(2)==×
=2
(3)===2
(4)===2
例2.化简:
直接利用=(a≥0,b>
0)就可以达到化简之目的.
(1)=
(2)=
(3)=
(4)=
教材P14练习1.
例3.已知,且x为偶数,求(1+x)的值.
式子=,只有a≥0,b>
0时才能成立.
因此得到9-x≥0且x-6>
0,即6<
x≤9,又因为x为偶数,所以x=8.
由题意得,即
∴6<
x≤9
∵x为偶数
∴x=8
∴原式=(1+x)
=(1+x)
=(1+x)=
∴当x=8时,原式的值==6.
本节课要掌握=(a≥0,b>
0)及其运用.
1.教材P15习题21.22、7、8、9.
1.计算的结果是().
2.阅读下列运算过程:
数学上将这种把分母的根号去掉的过程称作“分母有理化”,那么,化简的结果是().
A.2B.6C.D.
1.分母有理化:
(1)=_________;
(2)=________;
(3)=______.
2.已知x=3,y=4,z=5,那么的最后结果是_______.
1.有一种房梁的截面积是一个矩形,且矩形的长与宽之比为:
1,现用直径为3cm的一种圆木做原料加工这种房梁,那么加工后的房染的最大截面积是多少?
2.计算
(1)·
(-)÷
(m>
0,n>
(2)-3÷
()×
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