北京市东城区初三数学一模试题及答案Word下载.docx

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第8题图

二、填空题（4个小题，每小题4分，共16分）

9．如图，将三角尺的直角顶点放在直尺的一边上，∠1＝30°

，∠2＝50°

，则∠3＝________．

第9题图第11题图

10．在实数范围内分解因式：

x2y－6xy＋9y＝________．

11．如图，AB、CD是水平放置的轮盘（俯视图）上两条互相垂直的直径，一个小钢球在轮盘上自由滚动，该小钢球最终停在阴影区域的概率为________．

12．按一定规律排列的一列数依次为：

，

…，按此规律排列下去，这列数中的第9个数是________．

三、解答题（5个小题，每小题5分，共25分）

13．计算：

．

14．解不等式组

15．解方程：

16．如图，已知D是△ABC的边AB上一点，FC∥AB，DF交AC于点E，DE＝EF．求证：

E是AC的中点．

第16题图

17．已知：

x－2y＝0，求

的值．

四、解答题（2个小题，每小题5分，共10分）

18．如图，梯形ABCD中，AD∥BC，∠B＝45°

，∠D＝120°

，CD＝4

cm，求AB的长．

第18题图

19．阅读对人成长的影响是巨大的，一本好书往往能改变人的一生．每年的4月23日被联合国教科文组织确定为“世界读书日”．如图是某校全校三个年级学生人数分布扇形统计图，其中八年级人数为350人，表

（1）是该校学生阅读课外书籍情况统计表．请你根据图表中的信息，解答下列问题：

（1）求该校九年级的人数占全校总人数的百分率．

（2）求出表

（1）中A、B的值．

图书种类

频数

频率

科普常识

B

0.2

名人传记

500

0.25

漫画丛书

800

A

其他

300

0.15

（3）该校学生平均每人读多少本课外书?

第19题图

五、解答题（3个小题，每小题5分，共15分）

20．某商场用36万元购进A，B两种商品，销售完后共获利6万元，其进价和售价如下表：

进价（元／件）

1200

1000

售价（元／件）

1380

（注：

获利＝售价－进价）

求该商场购进A，B两种商品各多少件．

21．已知：

如图，在△ABC中，AB＝AC，点D是边BC的中点．以BD为直径作圆O，交边AB于点P，连结PC，交AD于点E．

（1）求证：

AD是圆O的切线；

（2）若PC是圆O的切线，BC＝8，求DE的长．

第21题图

22．如图，反比例函数

的图象过矩形OABC的顶点B，OA、OC分别在x轴、y轴的正半轴上，OA∶OC＝2∶1．

（1）设矩形OABC的对角线交于点E，求出E点的坐标；

（2）若直线y＝2x＋m平分矩形OABC面积，求m的值．

第22题图

六、解答题（3个小题，共22分）

23．（本题满分7分）已知：

关于x的一元二次方程x2－2（2m－3）x＋4m2－14m＋8＝0．

（1）若m＞0，求证：

方程有两个不相等的实数根；

（2）若12＜m＜40的整数，且方程有两个整数根，求m的值．

24．（本题满分7分）在平面直角坐标系中，现将一块等腰直角三角板ABC放在第二象限，斜靠在两坐标轴上，且点A（0，2），点C（－1，0），如图所示，抛物线y＝ax2＋ax－2经过点B．

（1）求点B的坐标；

（2）求抛物线的解析式；

（3）在抛物线上是否还存在点P（点B除外），使△ACP仍然是以AC为直角边的等腰直角三角形?

若存在，求所有点P的坐标；

若不存在，请说明理由．

第24题图

25．（本题满分8分）请阅读下列材料：

圆内的两条相交弦，被交点分成的两条线段长的积相等．即如图①，若弦AB、CD交于点P则PA·

PB＝PC·

PD．请你根据以上材料，解决下列问题．

已知⊙O的半径为2，P是⊙O内一点，且OP＝1，过点P任作一弦AC，过A、C两点分别作⊙O的切线m和n，作PQ⊥m于点Q，PR⊥n于点R．（如图②）

（1）若AC恰经过圆心O，请你在图③中画出符合题意的图形，并计算：

的值；

（2）若OP⊥AC，请你在图④中画出符合题意的图形，并计算：

（3）若AC是过点P的任一弦（图②），请你结合

（1）

（2）的结论，猜想：

的值，并给出证明．

①②

第25题图

答案

一、选择题

1.C2．B3．A4．B5．D6．D7．C8．A

二、填空题

9．20°

10．y（x－3）211．

12．

三、解答题

13．原式＝4－2－1＋1＝2

14．解：

解不等式①得x＜－1

解不等式②得x≥－4

∴原不等式组的解集为－4≤x＜－1．

15．解：

方程两边都乘以x（x－1），

得x2＋2（x－1）＝x（x－1），

解这个方程，得x＝

经检验，x＝

是原方程的根．

∴原方程的根是x＝

16．证明：

∵FC∥AB，∴∠ADF＝∠F．

又∵∠AED＝∠CEF，DE＝EF，∴△ADE≌△CEF（SAS）．∴AE＝CE．

即E是AC的中点．

17．解：

.

∵x＝2y，

∴原式

四、解答题

18．解：

过点A、D分别作AE⊥BC、DF⊥BC，垂足分别为点E、F．

∴∠AEB＝∠DFC＝90°

∵AD∥BC，∠D＝120°

∴∠C＝60°

在Rt△DFC中，∠DFC＝90°

，∠C＝60°

易证：

四边形AEFD为矩形．∴AE＝DF＝6．

在Rt△AEB中，∠AEB＝90°

，∠B＝45°

第18题答图

19．解：

（1）1－25％－35％＝40％

（2）A＝1－0.2－0.25－0.15＝0.4

500÷

0.25＝2000

B＝2000－500－800－300＝400

∴A的值为0.4，B的值400

（3）350÷

35％＝1000

2000÷

1000＝2

∴该校学生平均每人读2本课外书．

五、解答题

20．解：

（1）设购进A种商品x件，B种商品y件．

根据题意，得

化简，得

解得

答：

该商场购进A，B两种商品分别为200件和120件．

21．

（1）证明：

∵AB＝AC，点D是边BC的中点，

∴AD⊥BD．

又∵BD是圆O直径，

∴AD是圆O的切线．

（2）解：

连结OP，由BC＝8，得CD＝4，OC＝6，OP＝2．

∵PC是圆O的切线，O为圆心，

∴∠OPC＝90°

由勾股定理，得PC＝4

在△OPC中，

在△DEC中，∵

第21题答图

22．解：

（1）由题意，设B（2a，a）（a≠0），则a＝

∴a＝±

2．

∵B在第一象限，

∴a＝2，B（4，2），

∴矩形OABC对角线的交点E为（2，1）．

（2）∵直线y＝2x＋m平分矩形OABC必过点（2，1），

∴1＝2×

2＋m．∴m＝－3．

第22题答图

六、解答题

23．

（1）证明：

Δ＝[－2（2m－3）]2－4（4m2－14m＋8）＝8m＋4．

∵m＞0，∴8m＋4＞0．

∴方程有两个不相等的实数根．

（2）

∵方程有两个整数根，必须使

为整数且m为整数．

又∵12＜m＜40，∴25＜2m＋1＜81．

令

∴m＝24

24．解：

（1）过点B作BD⊥x，垂足为D，

∵∠BCD＋∠ACO＝90°

，∠ACO＋∠OAC＝90°

∴∠BCD＝∠CAO．

又∵∠BDC＝∠COA＝90°

；

CB＝AC，

∴△BCD≌△CAO，

∴BD＝OC＝1，CD＝OA＝2，

∴点B的坐标为（－3，1）．

（2）抛物线y＝ax2＋ax－2经过点B（－3，1），第24题答图

则得到1＝9a－3a－2，

，∴抛物线解析式为

（3）方法一：

①若以AC为直角边，点C为直角顶点，

则可以设直线BC交抛物线

于点P1，

由题意，直线BC的解析式为：

（舍）

∴P1（1，－1）．

过点P1作P1M⊥x轴于点M，

在Rt△P1MC中，

∴CP1＝AC．

∴△ACP1为等腰直角三角形．

②若以AC为直角边，点A为直角顶点；

则过点A作AF∥BC，交抛物线

于点P2，

由题意，直线AF的解析式为

∴P2（2，1）．

过点P2作P2N⊥y轴于点N，

在Rt△AP2N中，

∴AP2＝AC，

∴△ACP2为等腰直角三角形．

综上所述，在抛物线上存在点P1（1，－1）P2（2，1），使△ACP是以AC为直角边的等腰直角三角形．

方法二：

则延长BC至点P1，使得P1C＝BC，得到等腰直角三角形△ACP1，过点P1作P1M⊥x轴．

∵CP1＝BC，∠MCP1＝∠BCD，∠P1MC＝∠BDC＝90°

∴△MP1C≌△DBC，

∴CM＝CD＝2，∴P1M＝BD＝1，可求得点P1（1，－1）；

经检验点P1（1，－1）在抛物线

上，使得△ACP1是等腰直角三角形．

则过点A作AP2⊥CA，且使得AP2＝AC，

得到等腰直角三角形△ACP2，过点P2作P2N⊥y轴，同理可证△AP2N≌△CAO，

∴NP2＝OA＝2，AN＝OC＝1，可求得点P2（2，1），

经检验点P2（2，1）也在抛物线

上，使得△ACP2也是等腰直角三角形．

25．解：

（1）AC过圆心O，且m，n分别切⊙O于点A，C，如图①所示，

第25题答图

∴AC⊥m于点A，AC⊥n于点C，∴Q与A重合，R与C重合，OP＝1，AC＝4，

（2）连结OA，如图②所示，

OP⊥AC于点P，且OP＝1，OA＝2，

∴∠OAP＝30°

∴AP＝

OA⊥直线m，PQ⊥直线m，

∴OA∥PQ，∠PQA＝90°

∴∠APQ＝∠OAP＝30°

∴在Rt△AQP中，

同理，

（3）猜想

证明：

过点A作直径交⊙O于点E，连结CE，如图③所示，∴ECA＝90°

AE⊥直线m，PQ⊥直线m，

∴AE∥PQ且∠PQA＝90°

∴∠EAC＝∠APQ．

∴△AEC∽△PAQ．

同理可得：

∴

①＋②，得

过点P作直径交O于点M，N

由阅读材料可知：

AP·

PC＝PM·

PN＝3．