全国通用版高考数学 考前三个月复习冲刺 专题3 第9练 顾全局函数零点问题 理docWord格式.docx

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若函数y＝f（x）－a|x|恰有4个零点，则实数a的取值范围为________.

点评　利用函数零点的情况求参数值或取值范围的方法：

（1）利用零点存在性定理构建不等式求解.

（2）分离参数后转化为求函数的值域（最值）问题求解.

（3）转化为两熟悉的函数图象的上、下关系问题，从而构建不等式求解.

变式训练2　（2015·

北京东城区模拟）函数f（x）是定义在R上的偶函数，且满足f（x＋2）＝f（x）.当x∈[0,1]时，f（x）＝2x.若在区间[－2,3]上方程ax＋2a－f（x）＝0恰有四个不相等的实数根，则实数a的取值范围是______.

高考题型精练

1.已知x1，x2是函数f（x）＝e-x－|lnx|的两个零点，则（　　）

A.

<

x1x2<

1B.1<

e

C.1<

10D.e<

10

2.（2015·

函数g（x）＝b－f（2－x），其中b∈R，若函数y＝f（x）－g（x）恰有4个零点，则b的取值范围是（　　）

B.

C.

D.

3.（2015·

福州模拟）已知函数f（x）＝

则函数f（x）的零点为（　　）

，0B.－2,0

D.0

4.函数f（x）＝2sinπx－x＋1的零点个数为（　　）

A.4B.5

C.6D.7

5.设函数f（x）＝4sin（2x＋1）－x，则在下列区间中函数f（x）不存在零点的是（　　）

A.[－4，－2]B.[－2,0]

C.[0,2]D.[2,4]

6.（2014·

课标全国Ⅰ）已知函数f（x）＝ax3－3x2＋1，若f（x）存在唯一的零点x0，且x0>

0，则a的取值范围是（　　）

A.（2，＋∞）B.（－∞，－2）

C.（1，＋∞）D.（－∞，－1）

7.定义在R上的奇函数f（x），当x≥0时，f（x）＝

则关于x的函数F（x）＝f（x）－a（0<

a<

1）的所有零点之和为（　　）

A.1－2aB.2a－1

C.1－2－aD.2－a－1

8.（2015·

北京朝阳区模拟）已知函数f（x）＝

若函数g（x）＝f（x）－k有两个不同的零点，则实数k的取值范围是__________.

9.已知函数f（x）＝logax＋x－b（a>

0，且a≠1），当2<

3<

b<

4时，函数f（x）的零点x0∈（n，n＋1），n∈N*，则n＝________.

10.方程2－x＋x2＝3的实数解的个数为________.

11.（2015·

江苏）已知函数f（x）＝|lnx|，g（x）＝

则方程|f（x）＋g（x）|＝1实根的个数为________.

12.已知f（x）是以2为周期的偶函数，当x∈[0,1]时，f（x）＝x，且在[－1,3]内，关于x的方程f（x）＝kx＋k＋1（k∈R，k≠－1）有四个根，则k的取值范围是__________.

答案精析

第9练　顾全局——函数零点问题

例1　

（1）D　

（2）①－1　②

∪[2，＋∞）

解析　

（1）令x<

0，则－x>

0，

所以f（－x）＝（－x）2＋3x＝x2＋3x.

因为f（x）是定义在R上的奇函数，

所以f（－x）＝－f（x）.

所以当x<

0时，f（x）＝－x2－3x.

所以当x≥0时，g（x）＝x2－4x＋3.令g（x）＝0，即x2－4x＋3＝0，解得x＝1或x＝3.当x<

0时，g（x）＝－x2－4x＋3.令g（x）＝0，即x2＋4x－3＝0，解得x＝－2＋

>

0（舍去）或x＝－2－

.所以函数g（x）有三个零点，故其集合为{－2－

，1,3}.

（2）①当a＝1时，f（x）＝

当x<

1时，f（x）＝2x－1∈（－1,1），

当x≥1时，f（x）＝4（x2－3x＋2）

＝4

≥－1，

∴f（x）min＝－1.

②由于f（x）恰有2个零点，分两种情况讨论：

当f（x）＝2x－a，x<

1没有零点时，a≥2或a≤0.

当a≥2时，f（x）＝4（x－a）（x－2a），x≥1时，有2个零点；

当a≤0时，f（x）＝4（x－a）（x－2a），x≥1时无零点.

因此a≥2满足题意.

1有一个零点时，0<

2.

f（x）＝4（x－a）（x－2a），x≥1有一个零点，此时a<

1,2a≥1，因此

≤a<

1.

综上知实数a的取值范围是

.

变式训练1　B[函数h（x）＝f（x）－g（x）的零点个数可转化为函数f（x）与g（x）图象的交点个数，作出函数f（x）＝x－[x]＝

与函数g（x）＝log4（x－1）的大致图象如图，由图可知两函数图象的交点个数为2，即函数h（x）＝f（x）－g（x）的零点个数是2.]

例2　1<

2

解析　画出函数f（x）的图象如图所示.

函数y＝f（x）－a|x|有4个零点，即函数y1＝a|x|的图象与函数f（x）的图象有4个交点（根据图象知需a>

0）.

当a＝2时，函数f（x）的图象与函数y1＝a|x|的图象有3个交点.故a<

当y＝a|x|（x≤0）与y＝|x2＋5x＋4|相切时，在整个定义域内，f（x）的图象与y1＝a|x|的图象有5个交点，

此时，由

得x2＋（5－a）x＋4＝0.

由Δ＝0得（5－a）2－16＝0，解得a＝1，或a＝9（舍去），

则当1<

2时，两个函数图象有4个交点.

故实数a的取值范围是1<

变式训练2　

解析　由f（x＋2）＝f（x）得函数的周期是2.

由ax＋2a－f（x）＝0得f（x）＝ax＋2a，

设y＝f（x），y＝ax＋2a，作出函数y＝f（x），y＝ax＋2a的图象，如图，

要使方程ax＋2a－f（x）＝0恰有四个不相等的实数根，

则直线y＝ax＋2a＝a（x＋2）的斜率满足kAH<

kAG，

由题意可知，G（1,2），H（3,2），A（－2,0），

所以kAH＝

，kAG＝

，

所以

1.A[在同一坐标系中画出函数y＝e－x与y＝|lnx|的图象，结合图象不难看出，它们的两个交点中，其中一个交点的横坐标属于区间（0,1），另一个交点的横坐标属于区间（1，＋∞），即在x1，x2中，其中一个属于区间（0,1），另一个属于区间（1，＋∞）.不妨设x1∈（0,1），x2∈（1，＋∞），则有e－x1＝|lnx1|＝－lnx1∈（e－1,1），e－x2＝|lnx2|＝lnx2∈（0，e－1），e－x2－e－x1＝

lnx2＋lnx1＝lnx1x2∈（－1,0），于是有e－1<

e0，即

1.]

2.D[方法一　当x>

2时，g（x）＝x＋b－4，f（x）＝（x－2）2；

当0≤x≤2时，g（x）＝b－x，f（x）＝2－x；

0时，g（x）＝b－x2，f（x）＝2＋x.

由于函数y＝f（x）－g（x）恰有4个零点，

所以方程f（x）－g（x）＝0恰有4个根.

当b＝0时，当x>

2时，方程f（x）－g（x）＝0可化为x2－5x＋8＝0，无解；

当0≤x≤2时，方程f（x）－g（x）＝0可化为2－x－（－x）＝0，无解；

0时，方程f（x）－g（x）＝0可化为x2＋x＋2＝0，无解.

所以b≠0，排除答案B.

当b＝2时，当x>

2时，方程f（x）－g（x）＝0可化为（x－2）2＝x－2，得x＝2（舍去）或x＝3，有1解；

当0≤x≤2时，方程f（x）－g（x）＝0可化为2－x＝2－x，有无数个解；

0时，方程f（x）－g（x）＝0可化为2－x2＝x＋2，得x＝0（舍去）或x＝－1，有1解.

所以b≠2，排除答案A.

当b＝1时，当x>

2时，方程f（x）－g（x）＝0可化为x2－5x＋7＝0，无解；

当0≤x≤2时，方程f（x）－g（x）＝0可化为1－x＝2－x，无解；

0时，方程f（x）－g（x）＝0可化为x2＋x＋1＝0，无解.

所以b≠1，排除答案C.因此答案选D.

方法二　记h（x）＝－f（2－x）在同一坐标系中作出f（x）与h（x）的图象如图，直线AB：

y＝x－4，当直线l∥AB且与f（x）的图象相切时，由

解得b′＝－

，－

－（－4）＝

所以曲线h（x）向上平移

个单位后，所得图象与f（x）的图象有两个公共点，平移2个单位后，两图象有无数个公共点，因此，当

＜b＜2时，f（x）与g（x）的图象有4个不同的交点，即y＝f（x）－g（x）恰有4个零点.选D.]

3.D[当x≤1时，由f（x）＝2x－1＝0，解得x＝0；

当x>

1时，由f（x）＝1＋log2x＝0，解得x＝

，又因为x>

1，所以此时方程无解.综上，函数f（x）的零点只有0.]

4.B[∵2sinπx－x＋1＝0，∴2sinπx＝x－1，图象如图所示，由图象看出y＝2sinπx与y＝x－1有5个交点，

∴f（x）＝2sinπx－x＋1的零点个数为5.]

5.A[f（0）＝4sin1>

0，f

（2）＝4sin5－2，由于π<

5<

2π，

所以sin5<

0，故f

（2）<

0，则函数在[0,2]上存在零点；

由于f（－1）＝4sin（－1）＋1<

0，故函数在[－1,0]上存在零点，也在[－2,0]上存在零点；

令x＝

∈[2,4]，

则f（

）＝4sin

－

＝4－

＝

而f

（2）<

0，所以函数在[2,4]上存在零点.选A.]

6.B[f′（x）＝3ax2－6x，

当a＝3时，f′（x）＝9x2－6x＝3x（3x－2），

则当x∈（－∞，0）时，f′（x）>

0；

x∈（0，

）时，f′（x）<

x∈（

，＋∞）时，f′（x）>

0，注意f（0）＝1，f（

）＝

0，则f（x）的大致图象如图1所示.

图1

不符合题意，排除A、C.

当a＝－

时，f′（x）＝－4x2－6x＝－2x（2x＋3），则当x∈（－∞，－

0，当x∈（－

，0）时，f′（x）>

0，当x∈（0，＋∞）时，f′（x）<

0，注意f（0）＝1，f（－

）＝－

，则f（x）的大致图象如图2所示.

图2

不符合题意，排除D.]

7.A[当0≤x<

1时，f（x）≤0.

由F（x）＝f（x）－a＝0，画出函数y＝f（x）与y＝a的图象如图.

函数F（x）＝f（x）－a有5个零点.

当－1<

x<

0时，0<

－x<

1，

所以f（－x）＝log0.5（－x＋1）＝－log2（1－x），

即f（x）＝log2（1－x），－1<

0.

由f（x）＝log2（1－x）＝a，

解得x＝1－2a，

因为函数f（x）为奇函数，

所以函数F（x）＝f（x）－a（0<

1）的所有零点之和为1－2a.]

8.

解析　画出函数f（x）的图象如图.要使函数g（x）＝f（x）－k有两个不同零点，只需y＝f（x）与y＝k的图象有两个不同交点，则图易知k∈

9.2

解析　由于2<

4，

故f

（1）＝loga1＋1－b＝1－b<

而0<

loga2<

1,2－b∈（－2，－1），

故f

（2）＝loga2＋2－b<

又loga3∈（1,2），3－b∈（－1,0），

故f（3）＝loga3＋3－b>

因此函数必在区间（2,3）内存在零点，故n＝2.

10.2

解析　方程变形为3－x2＝2－x＝（

）x，

令y1＝3－x2，y2＝（

）x.

如图所示，由图象可知有2个交点.

11.4

解析　令h（x）＝f（x）＋g（x），

则h（x）＝

当1＜x＜2时，h′（x）＝－2x＋

＜0，故当1＜x＜2时h（x）单调递减，在同一坐标系中画出y＝|h（x）|和y＝1的图象如图所示.

由图象可知|f（x）＋g（x）|＝1的实根个数为4.

12.

解析　由题意作出f（x）在[－1,3]上的图象如图，记y＝k（x＋1）＋1，

∴函数y＝k（x＋1）＋1的图象过定点A（－1,1）.记B（2,0），由图象知，方程有四个根，

即函数y＝f（x）与y＝kx＋k＋1的图象有四个交点，

故kAB<

k<

0，kAB＝

＝－

，∴－