人教a版高中数学第三章章末复习课234567891011.docx
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人教a版高中数学第三章章末复习课234567891011
章末复习课
[整合·网络构建]
[警示·易错提醒]
1.解决截距问题不忽略“0”的情形
解决直线在两坐标轴上的截距或截距具有某种倍数关系的问题时,需注意两点:
(1)截距不是距离,直线在坐标轴上的截距可正、可负、也可为0.
(2)明确直线方程的截距式不能表示过原点或与坐标轴垂直的直线.因此解题时应该从截距是否为0进行分类讨论.
2.弄清直线的倾斜角与斜率关系
在解决由直线的斜率求其倾斜角的范围问题时,先求出直线的斜率k的取值范围,再利用三角函数y=tanx的单调性,借助函数的图象,确定倾斜角的范围.
3.不要忽视斜率不存在的情况
(1)在解决两直线平行的相关问题时,若利用l1∥l2⇔k1=k2求解,忽略k1,k2不存在的情况,就会导致漏解.
(2)对于解决两直线垂直的相关问题时,若利用l1⊥l2⇔k1·k2=-1求解,要注意其前提条件是k1与k2必须同时存在.
专题1 直线的倾斜角与斜率问题
直线的倾斜角和斜率是直线方程中最基本的两个概念,它们从“形”与“数”两个方面刻画了直线的倾斜程度,倾斜角α与斜率k的对应关系和单调性是解题的易错点,应引起高度重视.
(1)对应关系.
①当α≠90°时,k=tanα;②当α=90°时,斜率不存在.
(2)单调性.
当α由0°→90°→180°(不含180°)变化时,k由0(含0)逐渐增大到+∞(不存在),然后由-∞(不存在)逐渐增大到0(不含0).
经过A(x1,y1),B(x2,y2),(x1≠x2)两点的直线的斜率公式是k=,应用时注意其适用的条件是x1≠x2,当x1=x2时,直线的斜率不存在.
[例1] 求经过A(m,3),B(1,2)两点的直线的斜率,并指出倾斜角α的取值范围.
解:
当m=1时,直线斜率不存在,此时直线的倾斜角α=90°.
当m≠1时,由斜率公式可得k==,
①当m>1时,k=>0,所以直线的倾斜角的取值范围是0°<α<90°.
②当m<1时,k=<0,所以直线的倾斜角的取值范围是90°<α<180°.
归纳升华
求直线斜率的方法
1.定义法.已知直线的倾斜角为α,且α≠90°,则斜率k=tanα.
2.公式法.若直线过两点A(x1,y1),B(x2,y2),且x1≠x2,则斜率k=.
3.数形结合法.已知一条线段AB的端点及线段外一点P,求过点P的直线l与线段AB有交点的情况下l的斜率,若直线PA,PB的斜率均存在,则步骤为:
①连接PA,PB;②由k=求出kPA,kPB;③结合图形即可写出满足条件的直线l的斜率的取值范围.
[变式训练]
(1)如图所示,直线l1,l2,l3都经过点P(3,2),又l1,l2,l3分别经过点Q1(-2,-1),Q2(4,-2),Q3(-3,2),计算直线l1,l2,l3的斜率,并判断这些直线的倾斜角是0°、锐角还是钝角.
(2)已知过两点A(4,y),B(2,-3)的直线的倾斜角为135°,则y=________.
(1)解:
由于Q1,Q2,Q3的横坐标与P点的横坐标均不相等,所以设k1,k2,k3分别表示直线l1,l2,l3的斜率,
则k1==,k2==-4,k3==0.
由k1>0知,直线l1的倾斜角是锐角;由k2<0知,直线l2的倾斜角是钝角;由k3=0知,直线l3的倾斜角是0°.
(2)解析:
直线AB的斜率k=tan135°=-1,
则=-1,解得y=-5.
答案:
-5
专题2 直线的平行与垂直问题
1.两条直线l1:
y=k1x+b1,l2:
y=k2x+b2斜率都存在,l1∥l2⇔k1=k2,且b1≠b2;l1⊥l2⇔k1·k2=-1;斜率不存在时单独考虑,即k1,k2中有一个为零,另一个不存在,则两条直线垂直;若k1,k2均不存在,则两直线平行或重合.
2.当两条直线给出一般式时,平行与垂直关系利用系数关系解决.即l1:
A1x+B1y+C1=0;l2:
A2x+B2y+C2=0.l1∥l2⇔A1B2-A2B1=0,且B1C2-B2C1≠0;l1⊥l2⇔A1A2+B1B2=0.
[例2] 已知两条直线l1:
ax-by+4=0,l2:
(a-1)x+y+b=0,求分别满足下列条件的a,b的值:
(1)直线l1过点(-3,-1),并且直线l1与直线l2垂直;
(2)直线l1与直线l2平行,并且坐标原点到l1,l2的距离相等.
解:
(1)因为l1⊥l2,
所以a(a-1)+(-b)·1=0,即a2-a-b=0.①
又因为点(-3,-1)在l1上,所以-3a+b+4=0.②
由①②解得a=2,b=2.
(2)因为l1∥l2,且l2的斜率为1-a,
所以l1的斜率也存在,且=1-a,即b=.
故l1和l2的方程可分别表示为
l1:
(a-1)x+y+=0,l2:
(a-1)x+y+=0.
因为原点到l1与l2的距离相等,
所以4=,所以a=2或a=.
所以或
归纳升华
考查两条直线的平行与垂直关系时,通常有两种方式可以选择;一是直线方程以斜截式给出,此时可通过斜率和直线在y轴上的截距来处理;二是直线方程以一般式给出,此时可转化为斜率和直线在y轴上的截距来处理,也可直接利用系数处理.
[变式训练] 已知经过点A(-2,0)和点B(1,3a)的直线l1与经过点P(0,-1)和点Q(a,-2a)的直线l2互相垂直,求实数a的值.
解:
l1的斜率k1==a.
当a≠0时,l2的斜率k2==.
所以l1⊥l2,
所以k1k2=-1,即a·=-1,得a=1.
当a=0时,P(0,-1),Q(0,0),这时直线l2为y轴,
A(-2,0),B(1,0),这时直线l1为x轴,显然l1⊥l2.
故实数a的值为0或1.
专题3 距离问题
解决解析几何中的距离问题时,往往是代数运算与几何图形直观分析相结合,三种距离是高考考查的热点,公式见下表:
类别
已知条件
公式
两点间的距离
A(x1,y1),B(x2,y2)
|AB|=
点到直线的距离
P(x0,y0),l:
Ax+By+C=0(A,B不同时为0)
d=
两平行直线间的距离
l1:
Ax+By+C1=0,l2:
Ax+By+C2=0(A,B不同时为0)
d=
[例3] 求在两坐标轴上截距相等,且与点A(3,1)的距离为的直线方程.
解:
①当在两坐标轴上的截距相等且为0,即直线过原点时,设直线的方程为y=kx(k≠0),即kx-y=0.
由已知,得=,整理得7k2-6k-1=0,
解得k=-或1,
所以所求直线方程为x+7y=0或x-y=0.
②当在两坐标轴上的截距相等且不为0时,直线的斜率为-1,设直线为x+y+C=0(C≠0),
由已知得=,解得C=-6或C=-2.
所以所求直线方程为x+y-6=0或x+y-2=0.
综上,所求直线方程为x+7y=0或x-y=0或x+y-6=0或x+y-2=0.
归纳升华
1.求点到直线的距离时,若给出的直线方程不是一般式,只需把直线方程化为一般式方程,直接应用点到直线的距离公式求解即可.
2.对于与坐标轴平行(或重合)的直线x=a或y=b,求点(x0,y0)到它们的距离时,既可以用点到直线的距离公式,也可以直接写成d=|x0-a|或d=|y0-b|.
3.若已知点到直线的距离求参数或直线方程时,只需根据点到直线的距离公式列方程求解.
[变式训练] 已知一条直线经过点A(1,2),并且与点B(2,3)和C(0,-5)的距离相等,求此直线方程.
解:
法一 假设所求直线的斜率存在,
设其方程为y-2=k(x-1),即kx-y-k+2=0.
由题设有=,
即|k-1|=|k-7|,解得k=4,
当所求直线的斜率不存在时,方程x=1,
经验证,x=1符合题意,
故所求直线方程为x=1或4x-y-2=0,
法二 如图所示.由题设可知A,B,C三点不共线,故当过点A(1,2)的直线与点B(2,3),C(0,-5)的距离相等时,所求直线与BC平行或过BC的中点.
因为kBC==4,
所以所求直线方程为y-2=4(x-1),即4x-y-2=0.
当所求直线过BC的中点时,
因为BC的中点为(1,-1),且A(1,2),
所以所求直线方程为x=1.
故所求直线方程为x=1和4x-y-2=0.
专题4 数形结合思想的应用
数形结合是解析几何的灵魂,两点间的距离公式和点到直线的距离公式是数形结合常见的结合点,常用这两个公式把抽象的代数问题转化为几何问题来解决,也能把几何问题转化为代数问题来解决:
[例4] 已知点M(3,5),在直线l:
x-2y+2=0和y轴上各找一点P和Q,使△MPQ的周长最小.
解:
由点M(3,5)及直线l:
x-2y+2=0,可求得点M关于l的对称点M1(5,1),
同理可得点M关于y轴的对称点M2(-3,5),如图所示.
根据M1,M2两点可得直线M1M2的方程为x+2y-7=0.
令x=0,得直线M1M2与y轴的交点Q,
解方程组得两直线的交点P.
所以点P与点Q即为所求.
归纳升华
利用直接求解法比较烦琐时,可从图形方面考虑,利用数形结合的方法来求解,从而使问题变得形象、直观,利于求解.
[变式训练] 已知实数x、y满足4x+3y-10=0,求x2+y2的最小值.
解:
设点P(x,y)在直线l:
4x+3y-10=0上,
又因为x2+y2=()2=()2=|OP|2,如图所示,
即当OP⊥l时,|OP|取最小值|OM|.
又原点O到直线l的距离|OM|=d==2,
即|OP|的最小值是2,所以x2+y2的最小值是4.
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