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2i22
根据三角函数定义知:
cosAO「12诗
评注:
注意熟练记忆复数的模的公式,注意复数与三角的结合问题的求解.
复数的模常常和点、向量相结合考查,注意交汇知识的正确应用,注意向量的两种几何表示:
⑴点表示:
弄清各象限点的坐标的符号;
⑵向量表示:
注意复数与平面向量交汇,弄清平面向量的基本运算法则以上是对本专题重点内容的分,希望同学们针对以上几方面,复习时抓住重点,提高解题准确性,提升解决问题的能力,减少失误的发生.
四、规律总结
1复数中常见的重要结论(n・N*):
①zmzn=z"
(Zm)n=Zmn,(Z1Z2)^Zin訂;
②严=1,iX=i,i4讦=—1i4讦=-i;
22
3(abi)(a-bi)=ab,abi二i(b-ai);
4(1_i)2二2i,,匕=_i,L_l=i,inin1in2.in'
=0;
1+i1-i
1.33k3k13k2*、2—13~3
5以⑷=——土—i,则⑷=1,⑷=co心=co(k^N),⑷=cc=一,⑷=co;
22o
1+国+国2=0,co+con"
^+con"
^=0(n乏N*).
2•共轭复数的运算性质:
z1_z2=z^z2,z1z2=z1^,(彳)=△(z2*0),
z2z2
zn=(z)n(n•N),z=z,z•R=z=z,z为纯虚数二z--z,z-z-|z|2z|2.
3.复数中的解题方法和策略:
⑴证明复数是实数的策略:
①z=a■bi三R=b=0(a,b三R)②z,z=2a:
=R③z=Z=z^R.
⑵证明复数是纯虚数的策略:
①z=abi为纯虚数:
=a=0,b厂0(a,b•R):
②b=0时,z-2=2bi为纯虚数;
③
z是纯虚数二zz=0且z严0.
⑶复数方程求解策略:
①利用求根公式;
②利用韦达定理;
③利用复数相等的定义求解.
⑷复数模的求解策略:
①利用定义求复数的模;
②利用几何意义求复数的模;
③利用复数对应的向量关系求复数的模;
④利用方程思想求解复数的模.
⑸解决复数问题基本策略:
①复数相等策略;
②分母实数化策略;
③利用几何意义转化为点或向量策略;
④借助于特殊结论求解策略.
五、能力突破
2.复数与三角函数的交汇
例2已知复数w=2—icos日,z2=2—isin日,则|©
・z21的最大值为
本题简介:
主要考查复数的乘法运算、复数模的求解、三角公式和三角函数有界性的熟练应用
把|z1z2|表示出来,然后利用三角函数的有界性求最大值
=4cos2-
•••匸z2||z2冃2-icos珅2-isin〒|
sin2J--204sin2^cos2二
二20sin22「:
:
、21,•••|乙|忆2丨的最大值为21.
反思:
本题以复数为切入点,重点考查了复数的模的计算方法、三角函数有关公式、最值的求解、均值不等式等内容,涉及的知识较多,基础性较强,所以求解此类问题的关键是熟练掌握所学基础知识.
5.复数和逻辑知识的交汇
例54=(m2m1)(m2m-4)i(m三R),z2=3-2i则m=1是z^z2的()
A.充分条件B.必要条件C.充要条件D.既不充分又不必要条件
本题主要考查复数相等的充要条件,考查充要、充分不必要、必要不充分等等条件的判断方法分析:
先求出可=Z2的充要条件,再判定m=1与充要条件的关系.
判断(或)求充分条件或必要条件时,一般都需先求出充要条件,再利用条件对应集合之间的包含关系,来确定所给条件是什么条件•
六、咼考风向标
考查方向一:
考查复数中的有关概念,包括复数中的实数、虚数、纯虚数、实部、虚部、复数相等、复数的模等定义及其应用等
例1(08年高考福建卷理1)若复数(a2_3a2)(a-1)i是纯虚数,则实数a的值为()
A.1B.2C.1或2D._1
直接按纯虚数满足的条件列式求解即可.
「2
因为(a2—3a+2)+(a—1)i是纯虚数且^R,所以<■:
;
洩+2=°
,
a—1式0
解得a=2,所以选E.
感悟:
注意纯虚数的虚部不等于零,这是解题易错点•对复数的有关概念:
实数、纯虚数、虚数、共轭复数、复数相等这些概念的考查一直是高考对复数考查的重点之一,只要熟练掌握这些概念的本质特征,准确列式,此类问题便可迎刃而解.
考查方向二:
考查复数有关运算
2
例2(08年咼考海南宁夏卷文3)已知复数z=1-i,则=()
z—1
A.2B.—2C.2iD.-2i—2i
本题就是很简单的复数运算问题,直接按运算法则求解即可.
简单的复数运算仍然是高考对复数考查的重点之一,但要求不高,属于必须得分的题目,只要注意熟练掌握复数的加减、乘除及乘方运算,注意运算的正确性.
七、实战演练
、选择题:
在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的(本大题共
1
D.2
253
A.B.C._
282
4.
(08广东5月模拟)运行如图的算法流程图,当输出y的值为8时,输入x的值为().
5.
S4
S3
S_32?
如果S_32;
执行S5;
否则执行S2;
则算法完成后,输出的X的值等于(
x
B.2009eC.2009e
原点),则
|zi||z-2-i|取得最小值时,
z=()
A.1
B.iC.1i
D.2.2
第II卷
二、填空题
(本大题共4小题,每小题4分,
共16分)
12.
(成都08第二次诊断(理)改编)设复数^1bibR在复平面内的对应点为Z,若|0Z|^2(O为复平面
111
13.右图是计算1的程序框图,判断框应填的
3599
处理框应填的内容是.
14.中学生小刚早上起床后要做以下事情:
洗脸刷牙(5分钟)、
面(3分钟)、吃饭(10分钟)、上网查今天语文课要用到的一
他做完这些事情用的最短时间为.
15.若关于x的方程x2(2-i)x2miT=0有实数根t,则
为.
16.如下图是成品加工流程图,从图中可以看出,一件成品必须
三•解答题:
本大题共6小题,共74分。
解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤。
17.(本小题满分12分)
在复平面上,设点A、B、C,对应的复数分别为i,1,4•2i•过A、B、C做平行四边形ABCD求:
⑴OD对应的复数乙;
⑵若|z-乙|=1,求|z|的最大值.
18.(本小题满分12分)
某“儿童之家”开展亲子活动,计划活动按以下步骤进行:
首先,儿童与家长按事先约定的时间来到“儿童之家”.然
后,一部分工作人员接待儿童,做活动前的准备;
同时,另一部分工作人员接待家长,交流儿童本周的表现。
第三步,按照亲子活动方案进行活动•第四步,启导员填写亲子活动总结记录;
同时,家长填写亲子活动反馈卡•最后,启导员填写服务跟踪表.你能为“儿童之家”的这项活动设计一个活动流程图吗?
19.(本小题满分12分)
已知复数z_!
=m•i4-m2mR和z2=2cos^H「3sin【1心.三R,八R,若乙=z2,求证:
-—7.
16
20.(本小题满分12分)
「n1
下图是根据所输入的x值计算y值的一个算法程序,若x依次取数列1(n,NJ中的前200项,求所得y值
1100J
r1
中的最小值.1Inputx:
Ifx0Then;
:
y=1+x;
;
Else;
y=1_x;
EndIf:
II
iPrinty:
IJil
(第22题):
21.(本小题满分12分)
求复数z=1—costisinv('
-)的模的取值范围.
22.(本小题满分14分)已知算法:
(1)指出其功能(用算式表示),
(2)将该算法用流程图描述之,⑶用算法
S1输入x
52若x<
—2,执行S3;
否则,执行S6
53y=x2+1
S4输出y
S5执行S12
S6若-2^x:
2,执行S7;
否则执行S10
S7y=x
S8输出y
S9执行S12
S10y=x—1
S11输出y
S12结束
语句编写简单的程序.
附:
参考答案与解析
、选择题:
1.C.提示:
2.A.提示:
直接利用“更相减损术”原理逐步运算即可
3.B.提示:
一aD(3aa)(1_4a)i为实数,所以1=o=a=空.
3+4i22522252258
.分段函数
4.C.提示:
这是一个条件分支结构,实质是分段函数求最值问题,将函数定义域分为三段讨论即可求解
log2(x+17)xC—1
为:
f(x)=』x2—1兰X兰1,
2xx
当log2(x17^8时,解得x=239,不合题意;
当x2=8时,解得x=2、2,不合题意;
当2x=8时,解得x=3,符合题意,所以当输入x的值为3时,输出y的值为8.
5.B.提示:
由z=(125i)(cos亠isin^)=(12cos丿-5sin可i(12sin亠5cos^)为纯虚数得:
12sin-5cos)-0.由
12sin日一5cos日=0”/口八12八12
‘2口丄2门,解得:
cosB=±
—.因为。
为第四象限角,所以cos日>0,则cos^=—,选B.
sin廿+cos廿=11313
6.C•提示:
此算法的功能为求解^579-(2n•3)(n・N*)当S取到第一个大于或等于32的值时,S的
表达式中最后一项的值.
丄n(5+2n+3)2
由S=579川…川(2n3)n24n_32二.n_4.所以n=4时,S=32.
此时X=243=11.
7.C.提示:
令z7,贝Uf(1—i)=i,二(1i)f(1—i)=(1i)i=—1i.
8.
D.提示:
框图的功能是寻找满足m=n(n°
2008的最
n62,
所以n=63,则输出的n值为63.
9.D.提示:
m3•i[2•i=(3m-2)•(m-1)i,此复数
(3m_2,m-1),因为-:
m:
1,所以3m-20,m-1:
0),所
3
四象限.
10.B.提示:
设工序c所需工时数为x天,由题设关键路线是
1+X+4+仁10.•••x=4,即工序c所需工时数为4天.
11.A.提示:
午(x)(xeX)=exxeX,
,所以f2oo8(x)=2008exxex.
f2(x)二h(x)=2exxex,f3(x)二f2(x)=3exxex
12.A.提示:
根据题意可得:
|OZ|2=1•b2乞4,解得-3乞b「.一3.所
A(1,.3),B(1^.3)为端点的线段上,如右图.|z“nz-2-i|表示线段AB
E(0,-1),F(2,1)的距离之和,显然当E,Z,F共线时,和最小,此时,点Z是
点,由图知,交点为(1,0),所以z=1.
138.5.f(x)=5x52x43.5x3-2.6x21.7X-0.8
=((((5x2)x3.5)x—2.6)x1.7)x-0.8,当X=5时,v0=5,论=5x2=27,
V2=27x3.5=2753.5=138.5.
13.i99,i=i2.提示:
这是一个当型循环结构,由条件可知判断的条件是:
「99;
处理框所填的是:
i=i2.
14.21分钟.提示:
根据流程,可以先烧水,泡面,在烧水泡面的11分钟里,可以同时洗脸刷牙和上网查资料,这样
最短可用去11分钟,然后吃饭用10分钟,这样他做完这些事情用的最短时间为21分钟.
312工2
15.-3.提示:
设方程的实根为t,代入方程得t'
2-it•2mi•1=0,可化为x2(2-i)x•2mi•1=0,
44
t=—1
解得」1,
m=—一I.2
11
*•——+i(——+i)(1+i)31
所以・223•丄i,所以其共轭复数为
1+ti1-i(1_i)(1+i)44
16.4•提示:
从图中可以看出,一件成品必须经过的工序次数是粗加工、次.
~4
精加工或返修加工、检验,至少四
⑵因为|z-Z!
|=1,所以复数z的对应点Z在以(3,3)为圆心,以2为半径的圆上,
则|z|的最大值为|OD|1=3.21.
三、解答题:
19•解:
因为召二mi4「m2mR,z2二2cos^i*3sIn〔〕〔;
.三R门R,
m=2cos日
—m2=丸+3sin日,
消去m可得:
,=4sin2v-3sin,
3939
可化为,=4(sin)2,则当sin时,■取最小值;
当sin^--1时,,取最大值7.
816816
所以--7.
20.解:
此程序的功能是求解函数y二1_;
(;
岂0)的函数值.
n*
根据题意知x1(n.N,n<
200)
100-
则当n_100且n•二N*时,x冬0;
当n100且n二N时,x0;
—(nn100)
y=』100
n
2———(n<
100)
100
1+——-1(n>
所以y才100,可以化为
1+1(n兰100)
i100
101
当n100时,n=101时,y有最小值;
当n<
100时,贝Un=100时,y有最小值1.
因为1,所以所得y值中的最小值为1.
21.解:
2222H2H
|z|=(1-cosv)sinv-2-2cosv-2-2(1-2sin)=4sin—,
所以|z|=2|sin|.因为二:
r:
所以,
22224
所以二:
sin^:
1,则|z|=2sin^(、、2,2),即z的模的取值范围为(、.2,2).
222
x2+1(x<
22•解:
(1)算法的功能为:
y=<
x(_2兰x兰2)
x2-1(x2)
输出y
结束
⑶程序语句为:
x=input("
x="
);
ifx:
y二xx1;
elseifx:
2
y二x;
elsey=xx「1;
endend
print(%(io),y)
出师表
两汉:
诸葛亮
先帝创业未半而中道崩殂,今天下三分,益州疲弊,此诚危急存亡之秋也。
然侍卫之臣不懈于内,忠志之士忘身于外者,盖追先帝之殊遇,欲报之于陛下也。
诚宜开张圣听,以光先帝遗德,恢弘志士之气,不宜妄自菲薄,引喻失义,以塞忠谏之路也。
宫中府中,俱为一体;
陟罚臧否,不宜异同。
若有作奸犯科及为忠善者,宜付有司论其刑赏,以昭陛下平明之理;
不宜偏私,使内外异法也。
侍中、侍郎郭攸之、费祎、董允等,此皆良实,志虑忠纯,是以先帝简拔以遗陛下:
愚以为宫中之事,事无大小,悉以咨之,然后施行,必能裨补阙漏,有所广益。
悉以咨之,
将军向宠,性行淑均,晓畅军事,试用于昔日,先帝称之曰能”,是以众议举宠为督:
愚以为营中之事,必能使行阵和睦,优劣得所。
亲贤臣,远小人,此先汉所以兴隆也;
亲小人,远贤臣,此后汉所以倾颓也。
先帝在时,每与臣论此事,未尝不叹息痛恨于桓、灵也。
侍中、尚书、长史、参军,此悉贞良死节之臣,愿陛下亲之、信之,则汉室之隆,可计日而待也—。
臣本布衣,躬耕于南阳,苟全性命于乱世,不求闻达于诸侯。
先帝不以臣卑鄙,猥自枉屈,三顾臣于草庐之中,咨臣以当世之事,由是感激,遂许先帝以驱驰。
后值倾覆,受任于败军之际,奉命于危难之间,尔来二十有一年矣。
先帝知臣谨慎,故临崩寄臣以大事也。
受命以来,夙夜忧叹,恐托付不效,以伤先帝之明;
故五月渡泸,深入不毛。
今南方已定,兵甲已足,当奖率三军,北定中原,庶竭驽钝,攘除奸凶,兴复汉室,还于旧都。
此臣所以报先帝而忠陛下之职分也。
至于斟酌损益,进尽忠言,则攸之、祎、允之任也。
愿陛下托臣以讨贼兴复之效,不效,则治臣之罪,以告先帝之灵。
若无兴德之言,则责攸之、祎、允等之慢,以彰其咎;
陛下亦宜自谋,以咨诹善道,察纳雅言,深追先帝遗诏。
臣不胜受恩感激。
今当远离,临表涕零,不知所言。
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- 三角函数 复数