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如何作辅助线
如何作辅助线
作辅助线是解几何题常用的方法。
但部分学生感到较难掌握,常常不知从何处入手。
实际上作辅助线并不太难,当然前提是已掌握了有关定义、性质、定理等知识。
总指导:
1.解几何题时,如果缺少某些已知条件,无法直接证明或求得结果,就常常需要作辅助线,先证明或求得这些条件。
2.作辅助线时,常运用逆向思维,看得到所需证明或其它结果,除已知条件外,还缺什么条件。
作什么样的辅助线,通过什么定理或等量代换可以求得所缺条件。
3.一般说,作辅助线的直接目的有:
①构成直角三角形,利用“勾股定理”、“两锐角互余”等性质或定理;
②构成全等三角形,利用“对应角相等,对应边相等”性质;
③构成相似三角形,利用“对应角相等,对应边成比例”性质;
④构成等腰三角形,利用“两腰相等,两底角相等”、“三线合一”等性质;
⑤作中位线、弦垂线、中线、平行线、直(半)径等,利用有关性质或定理;
⑥利用对称、旋转、相等、相似等原理,把有关元素关联起来,进行等量代换。
一、在解决梯形问题中:
1.“平移腰”:
把梯形分成一个平行四边形和一个三角形(图1);有时从一腰的中点作另一腰的平行线;
2.“作高”:
使两腰在两个直角三角形中(图2);
3.“平移对角线”:
使两条对角线在同一个三角形中(图3);
4.“延腰”:
构造具有公共角的两个等腰三角形(图4);
5.“等积变形”:
连结梯形上底一端点和另一腰中点,并延长与下底延长线交于一点,构成三角形(图5);
6.“作中位线”:
连接两腰中点(图6)。
二、在解决圆的问题中
1.切线问题:
连结过切点的半径,构成直角三角形。
2.有关弦的问题:
作弦心距,想垂径定理。
3.弧上有中点:
中点连接圆心,想垂径定理。
4.圆周角问题:
过角顶点作直径,分别连接直径另一端与角两边的端点,构成两个直角三角形。
或连接圆心与圆周角一边的端点,想圆周角定理。
5.有直径:
过两端向圆上一点作弦构成直角。
6.两圆相交:
连公共弦。
7.两圆相切:
过切点引公切线。
8.弦切角问题:
(注:
6,7,8三条内容2007年华东师大版教材未编入)
三、在解其它问题中
1.给出中点或中线:
可以考虑过中点作中位线或把中线延长一倍来解决相关问题。
2.给出角平分线:
可向角的两边作垂线。
3.给出线段垂直平分线:
可向线段两端作连接线。
4.在比例线段证明中:
常作平行线。
作平行线时往往是保留结论中的一个比,然后通过一个中间比与结论中的另一个比联系起来。
5.求证一线段为另一线段的2倍或一半:
可延长短线段一倍或将长线段平分为两段。
6.等腰三角形:
常作底边中线,想“三线合一”。
7.直角三角形:
作斜边上的中线,注意它等于斜边的一半。
8.求证线段相等:
可考虑构成全等三角形。
9.求证线段成比例:
可考虑构成相似三角形。
10.求证命题与题设条件无直接关联时:
要考虑作把求证命题与有关题设条件关联起来的辅助线。
例1.台湾“华航”客机失事后,祖国大陆海上搜救中心立即通知位于A、B两处的上海救捞局所属专业救助轮“华意”轮、沪救12”轮前往出事地点协助搜救.接到通知后,“华意”轮测得出事地点C在A的南偏东60°,“沪救12”轮测得出事地点C在B的南偏东30°.已知B在A的正东方向,且相距100海里,分别求出两船到达出事地点C的距离.如图.
【观察与分析】本题是考查三角函数的应用问题,其实质上是用解直角三角形的知识解斜三角形的问题。
读懂题目,弄清与方位有关的词语,是解此题的关键。
依题意知△ABC是顶角为120°的等腰三角形,过点B作底边上的高,不难求出BC、AC的长。
解:
作BD⊥AC,依题意知∠ABC=120°,∠BAC=30°,
∴∠C=180°-120°-30°=30°=∠BAC,BC=AB=100海里。
在Rt△BDC中,∵∠C=30°,
∴DC=BC·Cos30°=50.
∴AC=100.
例2.已知:
在△ABC中,∠C=90°,∠A=30°,如右上图所示.
求证:
BC=AB.
【观察与分析】本题实际上是一条几何定理“直角三角形中,30°角所对的直角边等于斜边的一半”的求证。
不难看出,只要作出△ABC关于AC的对称图形△AB′C,证明2BC=AB即可。
证明:
作出△ABC关于AC对称的△AB′C.如右下图所示。
∴AB′=AB.
又∵∠CAB=30°,∴∠B′=∠B=∠B′AB=60°.
∴AB=BB′=AB′
又∵△AB′C与△ABC为对称图形,B′C与BC是对应边
∴BC=B′C=BB′=AB.
例3.如图所示,在△ABC中,∠B=60°,AB=4,BC=2.求证△ABC是直角三角形。
证明:
取AB的中点D,连接CD.如右图所示。
∵BC=2,AB=4,∴BC=BD=AD=2.
∴∠BCD=∠BDC.
又∵∠B=60°,∴∠BCD=∠BDC=60°.
∴DC=BD=DA.∴∠A=∠DCA.
又∵∠BDC是△DCA的一个外角,
∴∠BDC=∠A+∠DCA=60°.
∴∠A=30°,
∴∠BCA=180°-∠B-∠A=180°-60°-30°=90°.
∴△ABC是直角三角形.
例4.如图,已知:
AD=AE,DF=EF;求证:
△ADC≌△AEB.
证明:
连结AF
∵AD=AE,DF=EF,AF=AF
∴△ADF≌△AEF
∴∠ADC=∠AEB,
AD=AE
∠DAC=∠EAB
∴△ADC≌△AEB
例5.如图,中,,,矩形的边在线段上,、分别在、上,设为.写出矩形PQED面积与的函数关系式。
解:
过作⊥,为垂足(如图),
∵AB=AC=5,BH=BC=3,∴由勾股定理得:
AH=4
∵DP∥AH,∴△BDP∽△BAH,
∴
∵PQ=BC-2BP=6-2x
∴y=PQ·DP=(6-2x)·=
例6.如图,在△ABC中,∠A=90°P为AC边的中点,PD⊥BC,D为垂足。
求证:
BD2-CD2=AB2
证明:
连结BP,在Rt△BPD中,BD2=BP2-PD2①
在Rt△CDP中,CD2=PC2-PD2②
由①-②得:
BD2-CD2=BP2-PC2
∵AP=PC∴BD2-CD2=BP2-AP2
又∵∠A=90°∴在Rt△ABP中,AB2=BP2-AP2
∴BD2-CD2=AB2
例7.某片绿地形状如图所示,其中AB⊥BC,CD⊥AD,
∠A=60°,AB=200m,CD=100m,求AD、BC的长。
解:
作DE⊥AB,垂足为E;CF⊥DE,垂足为F.
∵∠A=60°,CD⊥AD,∴CDE=60°
∴DF=CD=50m,CF=DF=50m.
∴AE=200-50,AD=2AE=400-100
例8.为了农田灌溉的需要,某乡利用一土堤修筑一条渠道,在堤中间挖出深为1.2米,下底宽为2米,坡度为1:
0.8的渠道(其横断面为等腰梯形),并把挖出来的土堆在两旁,使土堤高度比原来增加了0.6米(如图所示)求:
(1)渠面宽EF;
(2)修200米长的渠道需挖的土方数.
解:
(1)作BG⊥EF,垂足为G,CH⊥EF,垂足为H,则BG=CH=1.2+0.6=1.8(m)
∵坡度为1:
0.8,即
∴EG=FH=BG×0.8=1.8×0.8=1.44(m).
∴EF=1.44×2+2=4.88(m).
(2)用解
(1)的方法可求出AD=3.92m.
.
V=SABCD×200=3.552×200=710.4(m3).
答:
渠面宽4.88米。
修200米长的渠道需挖的土方710.4米3。
例9.如图,平行四边形中,是的中点,是上一点,,连EG延长交于,求的值.
解:
延长FE、CB交于H(如图)
∵AE=EB,∠FAE=∠HBE,∠FEA=∠HEB
∴△FAE≌△HBE,AF=BH
设FA=a,则HB=a
在△FAG和△HCG中,
∵三个对应角分别相等
∴△FAG∽△HCG,,得CH=5FA=5a,DA=CB=CH-BH=4a,DF=3a
∴.
例10.已知:
如图,梯形ABCD中,CD//AB,∠A=40°,∠B=70°.
求证:
AD=AB—DC.
【观察与分析】求证:
AD=AB—DC,就需将DC移到AB上。
作DE∥CB,只要证明AD=AE即可。
证明:
作DE∥CB(见右图)∵CD∥AB∴四边形CDEB是平行四边形,EB=DC.
∵∠A=40°,∠B=70°.∴∠DEA=∠B=70°.
∠ADE=180°-40°-70°=70°
∴∠ADE=∠BEDAD=AE
∴AD=AB-EB=AB-DC
例11.如图,在四边形ABCD中,E为AB上一点,△ADE和△BCE都是等边三角形,AB、BC、CD、DA的中点分别为P、Q、M、N,试判断四边形PQMN为怎样的四边形,并证明你的结论.
【观察与分析】直观感觉四边形PQMN是一个菱形。
要证明,先得证明它是平行四边形,然后证明邻边相等。
这就需要在四边形ABCD中构造三角形,用三角形中位线定理来证明。
解:
四边形PQMN为菱形,证明如下:
连接AC、BD,
∵PQ为△ABC的中位线,∴PQ∥AC,且PQ=
同理:
MN∥AC,且MN=,∴PQ∥MN,且PQ=MN
∴四边形PQMN为平行四边形
在△AEC和△DEB中,
AE=DE,EC=EB,∠AED=60°=∠CEB,
即∠AEC=∠DEB.∴△AEC≌△DEB.∴AC=BD.
∴PQ=AC=BD=PN,∴□PQMN为菱形。
例12.如图,已知⊙O是△ABC的外接圆,CD是AB边上的高,
AE是⊙O的直径.求证:
AC·BC=AE·CD.
证明:
连结EC(如右下图),∴∠B=∠E.
∵AE是⊙O的直径,∴∠ACE=90°.
∵CD是AB边上的高,∴∠CDB=90°.
在△AEC与△CBD中,∠E=∠B,∠ACE=∠CDB,
∴△AEC∽△CBD.
∴,
即AC·BC=AE·CD.
例13.如图,在直角梯形ABCD中,AB∥CD,∠ABC=90°,
AB=2a,CD=a,BC=2,四边形BEFG是矩形,
点E、F分别在腰BC、AD上,点G在AB上.
设FG=x,矩形BEFG的面积为y.
(1)求y关于x的函数关系式;
(2)当矩形BEFG的面积等于梯形ABCD的面积的一半时,求x的值;
(3)当∠DAB=30°时,矩形BEFG是否能成为正方形,若能,求其边长;若不能,请说明理由.
【观察与分析】这是一个动态题型。
(1)需求出EF,即AB-AG,则先要求AG,作DH⊥AB构成两相似三角形即可。
(2)只是等量代换,看似简单,关键是一元二次函数式变一元二次方程。
(3)能不能成正方形,就看EF是否等于FG。
解:
(1)过点D作DH⊥AB于H.
∵在矩形BEFG中,FG⊥AB,∴FG∥DH.
∴△AGF∽△AHD,
∴.
即,得,
∴.
∴,
即所求的函数关系式为.
(2)依题意,得,
∵a≠0,解以上方程得,x1=1,x2=3.
∵0<x≤2,∴x2舍去,取x=1.
故当矩形BEFG的面积等于梯形ABCD的面积的一半时,x的值为1.
(3)矩形BEFG不能成为正方形.
在Rt△AHD中,∵∠DAH=30°,∴,即
∵,即EF>2.
又∵0<x≤2,即0<FG≤2,∴EF>FG,
因此矩形BEFG不能成为正方形.
例14.如图,在四边形ABCD中,∠A=60°,∠B=∠D=90°,BC=2,CD
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