高考数学第六章第五节 数列的综合应用Word下载.docx
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建模关
将已知条件翻译成数学语言,将实际问题转化成数列问题,并分清数列是等差数列还是等比数列
求解关
求解该数列问题
还原关
将所求的结果还原到实际问题中
[针对训练]
1.在我国古代著名的数学名著《九章算术》里有一段叙述:
今有良马与驽马发长安至齐,齐去长安一千一百二十五里,良马初日行一百零三里,日增十三里;
驽马初日行九十七里,日减半里;
良马先至齐,复还迎驽马,二马相逢.问:
几日相逢?
( )
A.9日B.8日
C.16日D.12日
解析:
选A 由题意知,良马每日行的距离成等差数列,记为{an},其中a1=103,d=13;
驽马每日行的距离成等差数列,记为{bn},其中b1=97,d=-0.5.设第m天相逢,则a1+a2+…+am+b1+b2+…+bm=103m++97m+=2×
1125,解得m1=9或m2=-40(舍去),故选A.
2.(2018·
江西金溪一中月考)据统计测量,已知某养鱼场,第一年鱼的质量增长率为200%,以后每年的增长率为前一年的一半.若饲养5年后,鱼的质量预计为原来的t倍.下列选项中,与t值最接近的是( )
A.11B.13
C.15D.17
选B 设鱼原来的质量为a,饲养n年后鱼的质量为an,q=200%=2,则a1=a(1+q),a2=a1=a(1+q),…,a5=a(1+2)×
(1+1)×
×
=a≈12.7a,即5年后,鱼的质量预计为原来的12.7倍,故选B.
题型二 数列中的新定义问题
[典例] 若数列{an}满足-=d(n∈N*,d为常数),则称数列{an}为“调和数列”,已知正项数列为“调和数列”,且b1+b2+…+b2019=20190,则b2b2018的最大值是________.
[解析] 因为数列是“调和数列”,
所以bn+1-bn=d,即数列{bn}是等差数列,
所以b1+b2+…+b2019===20190,
所以b2+b2018=20.
又>
0,所以b2>
0,b2018>
0,
所以b2+b2018=20≥2,
即b2b2018≤100(当且仅当b2=b2018时等号成立),
因此b2b2018的最大值为100.
[答案] 100
新定义数列问题的特点及解题思路
新定义数列题的特点是:
通过给出一个新的数列的概论,或约定一种新运算,或给出几个新模型来创设全新的问题情景,要求考生在阅读理解的基础上,依据题目提供的信息,联系所学的知识和方法,实现信息的迁移,达到灵活解题的目的.遇到新定义问题,应耐心读题,分析新定义的特点,弄清新定义的性质,按新定义的要求,“照章办事”,逐条分析、运算、验证,使问题得以解决.
1.定义一种运算“※”,对于任意n∈N*均满足以下运算性质:
(1)2※2019=1;
(2)(2n+2)※2019=(2n)※2019+3,则2018※2019=________.
设an=(2n)※2019,则由运算性质
(1)知a1=1,
由运算性质
(2)知an+1=an+3,即an+1-an=3.
所以数列{an}是首项为1,公差为3的等差数列,
故2018※2019=(2×
1009)※2019=a1009=1+1008×
3=3025.
答案:
3025
2.定义各项为正数的数列{pn}的“美数”为(n∈N*).若各项为正数的数列{an}的“美数”为,且bn=,则++…+=________.
因为各项为正数的数列{an}的“美数”为,
所以=.
设数列{an}的前n项和为Sn,则Sn=n(2n+1),
Sn-1=(n-1)[2(n-1)+1]=2n2-3n+1(n≥2),
所以an=Sn-Sn-1=4n-1(n≥2).
又=,所以a1=3,满足式子an=4n-1,
所以an=4n-1(n∈N*).
又bn=,所以bn=n,
所以++…+=++…+=1-+-+…+-=1-=.
题型三 数列与函数的综合问题
[典例]
(1)(2019·
重庆模拟)已知f(x)=x2+alnx在点(1,f
(1))处的切线方程为4x-y-3=0,an=f′(n)-n(n≥1,n∈N*),{an}的前n项和为Sn,则下列选项正确的是( )
A.S2018-1<
ln2018 B.S2018>
ln2018+1
C.ln2018<
S1009-1D.ln2018>
S2017
昆明模拟)已知定义在R上的函数f(x)是奇函数,且满足f(3-x)=f(x),f(-1)=3,数列{an}满足a1=1且an=n(an+1-an)(n∈N*),则f(a36)+f(a37)=________.
[解析]
(1)由题意得f′(x)=2x+,∴f′
(1)=2+a=4,解得a=2.∴an=f′(n)-n=-n=(n≥1,n∈N*).设g(x)=ln(x+1)-x,则当x∈(0,1)时,g′(x)=-1=<
0,∴g(x)在(0,1)上单调递减,∴g(x)<
g(0)=0,即ln(x+1)<
x.令x=,则ln=ln<
,∴ln+ln+ln+…+ln<
1+++…+,故ln(n+1)<
Sn.设h(x)=lnx+-1,则当x∈(1,+∞)时,h′(x)=->
0,∴h(x)在(1,+∞)上单调递增,∴h(x)>
h
(1)=0,即lnx>
1-,x∈(1,+∞).令x=1+,则ln=ln>
,∴ln+ln+ln+…+ln>
++…++,故ln(n+1)>
Sn+1-1.故选A.
(2)因为函数f(x)是奇函数,所以f(-x)=-f(x),又因为f(3-x)=f(x),所以f(3+x)=f(-x)=-f(x)=-f(3-x)=f(x-3),即f(x+6)=f(x),所以f(x)是以6为周期的周期函数.由an=n(an+1-an)可得=,则an=·
·
…·
a1=·
1=n,即an=n,所以a36=36,a37=37,又因为f(-1)=3,f(0)=0,所以f(a36)+f(a37)=f(0)+f
(1)=f
(1)=-f(-1)=-3.
[答案]
(1)A
(2)-3
数列与函数综合问题的类型及注意点
类型
(1)已知函数条件,解决数列问题,此类问题一般是利用函数的性质、图象研究数列问题
(2)已知数列条件,解决函数问题,解决此类问题一般要充分利用数列的范围、公式、求和方法对式子化简变形;
注意点
解题时要注意数列与函数的内在联系,灵活运用函数的思想方法求解,在问题的求解过程中往往会遇到递推数列,因此掌握递推数列的常用解法有助于该类问题的解决
1.(2019·
玉溪模拟)函数y=x2(x>
0)的图象在点(ak,a)处的切线与x轴交点的横坐标为ak+1,k为正整数,a1=16,则a1+a3+a5=( )
A.18B.21
C.24D.30
选B ∵函数y=x2(x>
0)的导函数为y′=2x,∴函数y=x2(x>
0)的图象在点(ak,a)处的切线方程为y-a=2ak(x-ak).令y=0,可得x=ak,即ak+1=ak,∴数列{an}为等比数列,an=16×
n-1,∴a1+a3+a5=16+4+1=21.故选B.
2.已知数列{an}的前n项和为Sn,点(n,Sn+3)(n∈N*)在函数y=3×
2x的图象上,等比数列{bn}满足bn+bn+1=an(n∈N*),其前n项和为Tn,则下列结论正确的是( )
A.Sn=2TnB.Tn=2bn+1
C.Tn>
anD.Tn<
bn+1
选D 因为点(n,Sn+3)在函数y=3×
2x的图象上,
所以Sn+3=3×
2n,即Sn=3×
2n-3.
当n≥2时,an=Sn-Sn-1=3×
2n-3-(3×
2n-1-3)=3×
2n-1,
又当n=1时,a1=S1=3,所以an=3×
2n-1.
设bn=b1qn-1,则b1qn-1+b1qn=3×
2n-1,可得b1=1,q=2,
所以数列{bn}的通项公式为bn=2n-1.
由等比数列前n项和公式可得Tn=2n-1.
综合选项可知,只有D正确.
3.(2019·
抚顺模拟)已知函数f(x)=ax2+bx的图象经过(-1,0)点,且在x=-1处的切线斜率为-1.设数列{an}的前n项和Sn=f(n)(n∈N*).
(1)求数列{an}的通项公式;
(2)求数列前n项的和Tn.
解:
(1)函数f(x)=ax2+bx的图象经过(-1,0)点,
则a-b=0,即a=b.①
因为f′(x)=2ax+b,函数f(x)=ax2+bx在x=-1处的切线斜率为-1,
所以-2a+b=-1.②
由①②得a=1,b=1,
所以数列{an}的前n项和Sn=f(n)=n2+n.
当n≥2时,Sn-1=(n-1)2+(n-1),
所以an=Sn-Sn-1=2n.
当n=1时,a1=2符合上式,则an=2n.
(2)由于an=2n,
则==,
则Tn===.
题型四 数列与不等式的综合问题
[典例] (2019·
福州八校联考)数列{an}中,a1=3,an+1=2an+2(n∈N*).
(1)求证:
{an+2}是等比数列,并求数列{an}的通项公式;
(2)设bn=,Sn=b1+b2+b3+…+bn,证明:
对任意n∈N*,都有≤Sn<
.
[证明]
(1)∵an+1=2an+2,∴an+1+2=2(an+2).∵{an+2}是以a1+2=5为首项,公比q=2的等比数列,∴an=5×
2n-1-2.
(2)由
(1)可得bn=,
∴Sn=,①
Sn=,②
①-②可得Sn===<
∴Sn<
,又∵Sn+1-Sn=bn+1=>
∴数列{Sn}单调递增,Sn≥S1=,
∴对任意n∈N*,都有≤Sn<
数列中不等式证明问题的解题策略
数列型不等式的证明常用到“放缩法”,一是在求和中将通项“放缩”为“可求和数列”;
二是求和后再“放缩”.
放缩法常见的放缩技巧有:
(1)<
=.
(2)-<
<
-.
(3)2(-)<
2(-).
(2019·
广安模拟)已知数列{an}的前n项和为Sn,a1=1,且Sn+1=Sn+an+n+1(n∈N*).
(2)设数列的前n项和为Tn,求满足不等式Tn≥的最小正整数n.
(1)由Sn+1=Sn+an+n+1(n∈N*),得an+1-an=n+1,又a1=1,
所以an=(an-an-1)+(an-1-an-2)+…+(a2-a1)+a1=n+(n-1)+…+2+1=.
所以数列{an}的通项公式为an=.
(2)由
(1)知==2,
所以Tn=2++…+=2=.
令≥,解得n≥19,
所以满足不等式Tn≥的最小正整数n为19.
[课时跟踪检测]
深圳模拟)设函数f(x)=xm+ax的导函数f′(x)=2x+1,则数列(n∈N*)的前n项和是( )
A. B.
C.D.
选A ∵f′(x)=mxm-1+a=2x+1,∴a=1,m=2,
∴f(x)=x(x+1),则==-,用裂项法求和得Sn=1-+-+…+-=.
2.已知函数f(n)=且an=f(n)+f(n+1),则a1+a2+a3+…+a2018=( )
A.-2017B.-2018
C.2017D.2018
选D 当n为奇数时,n+1为偶数,则an=n2-(n+1)2=-2n-1,所以a1+a3+a5+…+a2017=-(3+7+11+…+4035).当n为偶数时,n+1为奇数,则an=-n2+(n+1)2=2n+1,所以a2+a4+a6+…+a2018=5+9+13+…+4037.所以a1+a2+a3+…+a2018=(5-3)+(9-7)+(13-11)+…+(4037-4035)=2×
1009=2018,故选D.
3.(2017·
四川乐山模拟)对于数列{an},定义H0=为{an}的“优值”.现已知某数列的“优值”H0=2n+1,记数列{an-20}的前n项和为Sn,则Sn的最小值为( )
A.-64 B.-68
C.-70D.-72
选D 由题意可知:
H0==2n+1,
则a1+2a2+…+2n-1·
an=n·
2n+1.
当n≥2时,a1+2a2+…+2n-2·
an-1=(n-1)·
2n,
两式相减得2n-1·
2n+1-(n-1)·
2n,an=2(n+1),
当n=1时成立,∴an-20=2n-18,显然{an-20}为等差数列.
令an-20≤0,解得n≤9,
故当n=8或9时,{an-20}的前n项和Sn取最小值,
最小值为S8=S9==-72,故选D.
4.(2019·
湖北襄阳联考)已知函数f为奇函数,g(x)=f(x)+1,若an=g,则数列{an}的前2018项和为( )
A.2017B.2018
C.2019D.2020
选B ∵函数f为奇函数,∴其图象关于原点对称,∴函数f(x)的图象关于点对称,∴函数g(x)=f(x)+1的图象关于点对称,∴g(x)+g(1-x)=2,∵an=g,∴数列的前2018项之和为g+g+g+…+g+g=2018.故选B.
5.(2019·
林州一中调研)已知数列{an}的前n项和为Sn,且a1=5,an+1=-an+6,若对任意的n∈N*,1≤p(Sn-4n)≤3恒成立,则实数p的取值范围为( )
A.(2,3]B.[2,3]
C.(2,4]D.[2,4]
选B 由数列的递推关系式可得an+1-4=-(an-4),则数列{an-4}是首项为a1-4=1,公比为-的等比数列,∴an-4=1×
n-1,∴an=n-1+4,∴Sn=+4n,∴不等式1≤p(Sn-4n)≤3恒成立,即1≤p×
≤3恒成立.当n为偶数时,可得1≤p×
≤3,可得2≤p≤,当n为奇数时,可得1≤p×
≤3,可得≤p≤3,故实数p的取值范围为[2,3].
6.(2019·
昆明适应性检测)已知数列{an}的前n项和为Sn,且an=4n,若不等式Sn+8≥λn对任意的n∈N*都成立,则实数λ的取值范围为________.
因为an=4n,所以Sn=2n2+2n,不等式Sn+8≥λn对任意的n∈N*恒成立,即λ≤,又=2n++2≥10(当且仅当n=2时取等号),所以实数λ的取值范围为(-∞,10].
(-∞,10]
7.(2019·
济宁模拟)若数列{an}满足:
只要ap=aq(p,q∈N*),必有ap+1=aq+1,那么就称数列{an}具有性质P.已知数列{an}具有性质P,且a1=1,a2=2,a3=3,a5=2,a6+a7+a8=21,则a2020=____________.
根据题意,数列{an}具有性质P,且a2=a5=2,
则有a3=a6=3,a4=a7,a5=a8=2.
由a6+a7+a8=21,可得a3+a4+a5=21,
则a4=21-3-2=16,
进而分析可得a3=a6=a9=…=a3n=3,a4=a7=a10=…=a3n+1=16,a5=a8=…=a3n+2=2(n≥1),
则a2020=a3×
673+1=16.
16
8.我国古代数学名著《九章算术》中有如下问题:
“今有蒲生一日,长三尺.莞生一日,长一尺.蒲生日自半,莞生日自倍.问几何日而长等?
”意思是:
“今有蒲草第一天长高3尺,莞草第一天长高1尺.以后,蒲草每天长高前一天的一半,莞草每天长高前一天的2倍.问第几天蒲草和莞草的高度相同?
”根据上述的已知条件,可求得第________天时,蒲草和莞草的高度相同(结果采取“只入不舍”的原则取整数,相关数据:
lg3≈0.4771,lg2≈0.3010).
由题意得,蒲草的高度组成首项为a1=3,公比为的等比数列{an},设其前n项和为An;
莞草的高度组成首项为b1=1,公比为2的等比数列{bn},设其前n项和为Bn.则An=,Bn=,令=,化简得2n+=7(n∈N*),解得2n=6,所以n==1+≈3,即第3天时蒲草和莞草高度相同.
3
9.(2019·
安阳模拟)设等差数列{an}的前n项和为Sn,点(n,Sn)在函数f(x)=x2+Bx+C-1(B,C∈R)的图象上,且a1=C.
(2)记数列bn=an(a2n-1+1),求数列{bn}的前n项和Tn.
(1)设等差数列{an}的公差为d,
则Sn=na1+d=n2+n.
又Sn=n2+Bn+C-1,
两式比较得=1,B=a1-,C-1=0.又a1=C,
解得d=2,C=1=a1,B=0,
∴an=1+2(n-1)=2n-1.
(2)∵bn=an(a2n-1+1)=(2n-1)(2×
2n-1-1+1)=(2n-1)×
∴数列{bn}的前n项和Tn=2+3×
22+5×
23+…+(2n-1)×
∴2Tn=22+3×
23+…+(2n-3)×
2n+(2n-1)×
2n+1,
∴-Tn=2+2×
(22+23+…+2n)-(2n-1)×
2n+1
=2+2×
-(2n-1)×
2n+1=(3-2n)×
2n+1-6,
故Tn=(2n-3)×
2n+1+6.
10.2017年12月4日0时起某市实施机动车单双号限行,新能源汽车不在限行范围内,某人为了出行方便,准备购买某新能源汽车.假设购车费用为14.4万元,每年应交付保险费、充电费等其他费用共0.9万元,汽车的保养维修费为:
第一年0.2万元,第二年0.4万元,第三年0.6万元,…,依等差数列逐年递增.
(1)设使用n年该车的总费用(包括购车费用)为f(n),试写出f(n)的表达式;
(2)问这种新能源汽车使用多少年报废最合算(即该车使用多少年平均费用最少),年平均费用的最小值是多少?
(1)由题意得f(n)=14.4+(0.2+0.4+0.6+…+0.2n)+0.9n=14.4++0.9n=0.1n2+n+14.4.
(2)设该车的年平均费用为S万元,则有
S=f(n)=(0.1n2+n+14.4)=++1≥2+1=3.4.
当且仅当=,即n=12时,等号成立,即S取最小值3.4万元.所以这种新能源汽车使用12年报废最合算,年平均费用的最小值是3.4万元.
11.(2018·
淮南一模)若数列{an}的前n项和为Sn,点(an,Sn)在y=-x的图象上(n∈N*).
(2)若c1=0,且对任意正整数n都有cn+1-cn=logan.求证:
对任意正整数n≥2,总有≤+++…+<
(1)∵Sn=-an,
∴当n≥2时,an=Sn-Sn-1=an-1-an,
∴an=an-1.
又∵S1=-a1,∴a1=,
∴an=×
n-1=2n+1.
(2)证明:
由cn+1-cn=logan=2n+1,得当n≥2时,cn=c1+(c2-c1)+(c3-c2)+…+(cn-cn-1)=0+3+5+…+(2n-1)=n2-1=(n+1)(n-1).
∴+++…+=+++…+
=×
+++…+
==-<
又∵+++…+≥=,∴原式得证.
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- 高考数学第六章 第五节 数列的综合应用 高考 数学 第六 五节 数列 综合 应用