学年人教A版必修 第一册1 511 任意角学案Word下载.docx
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(3)相等的角的终边一定相同,而终边相同的角不一定相等.
判断正误(正确的打“√”,错误的打“×
”)
(1)第一象限的角一定是正角.( )
(2)终边相同的角一定相等.( )
(3)锐角都是第一象限角.( )
(4)第二象限角是钝角.( )
答案:
(1)×
(2)×
(3)√ (4)×
-110°
是( )
A.第一象限角
B.第二象限角
C.第三象限角
D.第四象限角
C
与30°
角终边相同的角的集合是( )
A.{α|α=30°
+k·
,k∈Z}
B.{α|α=-30°
C.{α|α=30°
180°
D.{α|α=-30°
解析:
选A.由终边相同的角的定义可知与30°
角终边相同的角的集合是{α|α=30°
,k∈Z}.
如图,角α的终边为OB,则α=____________.
{α|α=125°
将35°
角的终边按顺时针方向旋转60°
所得的角度数为________,将35°
角的终边按逆时针方向旋转一周后的角度数为________.
-25°
395°
下列结论:
①三角形的内角必是第一、二象限角;
②始边相同而终边不同的角一定不相等;
③钝角比第三象限角小;
④小于180°
的角是钝角、直角或锐角.
其中正确的结论为________(填序号).
【解析】 ①90°
的角既不是第一象限角,也不是第二象限角,故①不正确;
②始边相同而终边不同的角一定不相等,故②正确;
③钝角大于-100°
的角,而-100°
的角是第三象限角,故③不正确;
④0°
角小于180°
,但它既不是钝角,也不是直角或锐角,故④不正确.
【答案】 ②
理解与角的概念有关问题的关键
正确理解象限角与锐角、直角、钝角、平角、周角等概念,弄清角的始边与终边及旋转方向与大小.另外需要掌握判断结论正确与否的技巧,判断结论正确需要证明,而判断结论不正确只需举一个反例即可.
经过2个小时,钟表的时针和分针转过的角度分别是( )
A.60°
,720°
B.-60°
,-720°
C.-30°
,-360°
D.-60°
选B.钟表的时针和分针都是顺时针旋转,因此转过的角度都是负的,而
×
=60°
,2×
=720°
,故钟表的时针和分针转过的角度分别是-60°
.
在与角10030°
终边相同的角中,求满足下列条件的角β.
(1)最大的负角;
(2)[360°
)内的角.
【解】 与10030°
终边相同的角的一般形式为β=k·
+10030°
(k∈Z).
(1)由-360°
<
k·
0°
,得-10390°
-10030°
,解得k=-28,故所求的最大负角为β=-50°
(2)由360°
≤k·
720°
,得-9670°
-9310°
,解得k=-26,故所求的角为β=670°
(变问法)在本例条件下,求最小的正角.
解:
由0°
,得-10030°
-9670°
,解得k=-27,故所求的最小正角为β=310°
(1)写出终边落在直线上的角的集合的步骤
①写出在[0°
,360°
)内相应的角;
②由终边相同的角的表示方法写出角的集合;
③根据条件能合并一定合并,使结果简洁.
(2)终边相同的角常用的三个结论
①终边相同的角之间相差360°
的整数倍;
②终边在同一直线上的角之间相差180°
③终边在相互垂直的两直线上的角之间相差90°
的整数倍.
1.下列角的终边与37°
角的终边在同一直线上的是( )
A.-37°
B.143°
C.379°
D.-143°
选D.与37°
角的终边在同一直线上的角可表示为37°
,k∈Z,当k=-1时,37°
-180°
=-143°
,故选D.
2.若角2α与240°
角的终边相同,则α=( )
A.120°
,k∈ZB.120°
,k∈Z
C.240°
,k∈ZD.240°
选B.角2α与240°
角的终边相同,则2α=240°
,k∈Z,则α=120°
,k∈Z.选B.
3.终边在直线y=-x上的角β的集合S=________.
由题意可知,终边在直线y=-x上的角有两种情况:
①当终边在第二象限时,可知{β|β=135°
,k∈Z};
②当终边在第四象限时,可知{β|β=315°
综合①②可得,终边在直线y=-x上的角的集合S={β|β=135°
{β|β=135°
(1)如图,终边落在阴影部分的角的集合是( )
A.{α|-45°
≤α≤120°
}
B.{α|120°
≤α≤315°
C.{α|k·
-45°
≤α≤k·
+120°
D.{α|k·
+315°
(2)已知角α是第三象限角,则角
A.第一或第二象限角 B.第二或第三象限角
C.第一或第三象限角D.第二或第四象限角
【解析】
(1)阴影部分的角从-45°
到90°
+30°
=120°
,再加上360°
的整数倍,即k·
,k∈Z.
(2)因为α是第三象限角,
所以k·
+180°
<α<k·
+270°
(k∈Z),
+90°
<
<k·
+135°
当k=2n(n∈Z)时,n·
<n·
(n∈Z),所以
是第二象限角;
当k=2n+1(n∈Z)时,n·
(n∈Z),
所以
是第四象限角.
【答案】
(1)C
(2)D
(1)象限角的判定方法
①根据图象判定.依据是终边相同的角的概念,因为0°
~360°
之间的角的终边与坐标系中过原点的射线可建立一一对应的关系;
②将角转化到0°
范围内.在直角坐标平面内,在0°
范围内没有两个角终边是相同的.
(2)表示区域角的三个步骤
①借助图形,在直角坐标系中先按逆时针的方向找到区域的起始边界和终止边界;
②按由小到大的顺序分别标出起始边界和终止边界对应的-360°
范围内的角α和β;
③分别将起始边界,终止边界的对应角α,β加上360°
的整数倍,即可求得区域角.
1.给出下列各角:
-300°
,-240°
,-145°
,-45°
,30°
,124°
,210°
,300°
则第一象限角有____________________;
第二象限角有____________________;
第三象限角有____________________;
第四象限角有____________________.
-240°
-145°
2.
如图,α,β分别是终边落在OA,OB位置上的两个角,且α=60°
,β=315°
(1)求终边落在阴影部分(不包括边界)的角γ的集合;
(2)求终边落在阴影部分(不包括边界),且在0°
范围内的角的集合.
(1)因为与角β终边相同的一个角可以表示为-45°
,所以阴影部分(不包括边界)所表示的角的集合为{γ|k·
γ<
+60°
(2){θ|0°
≤θ<
60°
或315°
θ<
}.
1.下列角中,终边在y轴非负半轴上的是( )
A.45°
B.90°
C.180°
D.270°
选B.根据角的概念可知,90°
角是以x轴的非负半轴为始边,逆时针旋转了90°
,故其终边在y轴的非负半轴上.
2.下列各角中与330°
角终边相同的角是( )
A.510°
B.150°
C.-150°
D.-390°
选D.-390°
=330°
-720°
,所以与330°
角终边相同的角是-390°
3.若角α的终边与75°
角的终边关于直线y=0对称,且-360°
α<
,则角α的值为____________.
如图,设75°
角的终边为射线OA,射线OA关于直线y=0对称的射线为OB,则以射线OB为终边的一个角为-75°
,所以以射线OB为终边的角的集合为{α|α=k·
-75°
,k∈Z}.又-360°
,令k=0或1,得α=-75°
或285°
4.在0°
范围内,找出与下列各角终边相同的角,并判定它们是第几象限角.
(1)-150°
;
(2)650°
(1)因为-150°
=-360°
+210°
,
所以在0°
范围内,与-150°
角终边相同的角是210°
角,它是第三象限角.
(2)因为650°
=360°
+290°
范围内,与650°
角终边相同的角是290°
角,它是第四象限角.
[A 基础达标]
1.下列角的终边位于第二象限的是( )
A.420°
B.860°
C.1060°
D.1260°
选B.420°
,终边位于第一象限;
860°
=2×
+140°
,终边位于第二象限;
1060°
+340°
,终边位于第四象限;
1260°
=3×
,终边位于x轴非正半轴.故选B.
2.与1303°
终边相同的角是( )
A.763°
B.493°
C.-137°
D.-47°
选C.因为1303°
=4×
-137°
所以与1303°
终边相同的角是-137°
3.集合A={α|α=k·
90°
-36°
,k∈Z},B={β|-180°
<β<180°
},则A∩B=( )
A.{-36°
,54°
}B.{-126°
,144°
C.{-126°
,-36°
}D.{-126°
选C.令k=-1,0,1,2,则A,B的公共元素有-126°
4.集合{α|k·
+45°
,k∈Z}中的角α的终边在单位圆中的位置(阴影部分)是( )
选C.当k=2n,n∈Z时,n·
≤α≤n·
,n∈Z;
当k=2n+1,n∈Z时,n·
+225°
,n∈Z.故选C.
5.若角α,β的终边相同,则α-β的终边落在( )
A.x轴的非负半轴上B.x轴的非正半轴上
C.x轴上D.y轴的非负半轴上
选A.因为角α,β的终边相同,故α-β=k·
,k∈Z.所以α-β的终边落在x轴的非负半轴上.
6.在0°
范围内,与-120°
终边相同的角是________.
与-120°
终边相同的角为α=-120°
(k∈Z),由0°
≤-120°
<360°
,k∈Z,得
≤k<
又k∈Z,
所以k=1,此时α=-120°
+360°
=240°
240°
7.50°
角的始边与x轴的非负半轴重合,把其终边按顺时针方向旋转3周,所得的角是________.
顺时针方向旋转3周转了-(3×
)=-1080°
,又50°
+(-1080°
)=-1030°
,故所得的角为-1030°
-1030°
8.终边在第一或第三象限的角的集合是________.
因为终边在第一象限的角的集合为{α|k·
,k∈Z},终边在第三象限的角的集合为{α|180°
270°
,k∈Z},故终边在第一或第三象限的角的集合为{α|k·
{α|k·
9.已知角的集合M={α|α=30°
,k∈Z},回答下列问题:
(1)集合M有几类终边不相同的角?
(2)集合M中大于-360°
且小于360°
的角是哪几个?
(3)写出集合M中的第二象限角β的一般表达式.
(1)集合M的角可以分成四类,即终边分别与-150°
角,-60°
角,30°
角,120°
角的终边相同的角.
(2)令-360°
30°
,k∈Z,
则-
k<
所以k=-4,-3,-2,-1,0,1,2,3,
所以集合M中大于-360°
的角共有8个,
分别是-330°
,-150°
,-60°
,120°
(3)集合M中的第二象限角与120°
角的终边相同,
所以β=120°
10.已知角β为以O为顶点,x轴为始边,逆时针旋转60°
所成的角.
(1)写出角β的集合S;
(2)写出S中适合不等式-360°
β<
的元素.
(1)由题可知,角β的集合S={β|β=60°
,k∈Z}.
(2)在S={β|β=60°
,k∈Z}中,
取k=-2,得β=-300°
取k=-1,得β=-120°
取k=0,得β=60°
取k=1,得β=240°
取k=2,得β=420°
取k=3,得β=600°
所以S中适合不等式-360°
的元素分别是-300°
,-120°
,60°
,240°
,420°
,600°
[B 能力提升]
11.若α是第二象限角,那么
和2α都不是( )
A.第一象限角B.第二象限角
C.第三象限角D.第四象限角
选B.由α是第二象限角可知
是第一或第三象限角,2α是第三或第四象限角,所以
和2α都不是第二象限角.
12.角α满足180°
,角5α与α有相同的始边,且又有相同的终边,则角α=________.
因为5α与α的始边和终边相同,所以这两个角的差应是360°
的整数倍,即5α-α=k·
,α=k·
又180°
,令k=3,得α=270°
13.已知α,β都是锐角,且α+β的终边与-280°
角的终边相同,α-β的终边与670°
角的终边相同,求角α,β的大小.
由题意可知,α+β=-280°
,k∈Z,
因为α,β都是锐角,所以0°
<α+β<180°
取k=1,得α+β=80°
.①
因为α-β=670°
,k∈Z.因为α,β都是锐角,
所以-90°
<α-β<90°
.取k=-2,得α-β=-50°
.②
由①②,得α=15°
,β=65°
[C 拓展探究]
14.如图,一只红蚂蚁与一只黑蚂蚁在一个半径为1的圆上爬动,若两只蚂蚁同时从点A(1,0)按逆时针匀速爬动,红蚂蚁每秒爬过α角,黑蚂蚁每秒爬过β角(其中0°
),如果两只蚂蚁都在第14秒回到A点,并且在第2秒时均位于第二象限,求α,β的值.
根据题意可知14α,14β均为360°
的整数倍,故可设14α=m·
,m∈Z,14β=n·
,n∈Z.
由于两只蚂蚁在第2秒时均位于第二象限,又由0°
,知0°
2α<
2β<
进而知2α,2β都是钝角,
即90°
即45°
所以45°
α=
·
,45°
β=
m<
<
n<
因为α<
β,
所以m<
n,又m,n∈Z,
所以m=2,n=3,
所以α=
°
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