八年级数学培优专题18直角三角形Word文档格式.docx
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熟悉以下基本图形基本结论:
例题与求解
【例l】
(1)直角△ABC三边的长分别是
,
和5,则△ABC的周长=_____________.△ABC的面积=_____________.
(2)如图,已知Rt△ABC的两直角边AC=5,BC=12,D是BC上一点,当AD是∠A的平分线时,则CD=_____________.
(太原市竞赛试题)
解题思路:
对于
(1),应分类讨论;
对于
(2),能在Rt△ACD中求出CD吗?
从角平分线性质入手.
【例2】如图所示的方格纸中,点A,B,C,都在方格线的交点,则∠ACB=()
A.120°
B.135°
C.150°
D.165°
(“希望杯”邀请赛试题)
方格纸有许多隐含条件,这是解本例的基础.
【例3】如图,P为△ABC边BC上的一点,且PC=2PB,已知∠ABC=45°
,∠APC=60°
,求∠ACB的度数.
(“祖冲之杯”邀请赛试题)
不能简单地由角的关系推出∠ACB的度数,综合运用条件PC=2PB及∠APC=60°
,构造出含30°
的直角三角形是解本例的关键.
【例4】如图,在△ABC中,∠C=90°
,∠A=30°
,分别以AB,AC为边在△ABC的外侧作等边△ABE和等边△ACD,DE与AB交于F,求证:
EF=FD.
(上海市竞赛试题)
已知FD为Rt△FAD的斜边,因此需作辅助线,构造以EF为斜边的直角三角形,通过全等三角形证明.
【例5】如图,在四边形ABCD中,∠ABC=30°
,∠ADC=60°
,AD=CD,求证:
(北京市竞赛试题)
由待证结论易联想到勾股定理,因此,三条线段可构成直角三角形,应设法将这三条线段集中在同一三角形中.
【例6】斯特瓦尔特定理:
如图,设D为△ABC的边BC上任意一点,a,b,c为△ABC三边长,则
.请证明结论成立.
本题充分体现了勾股定理运用中的数形结合思想.
能力训练
A级
1.如图,D为△ABC的边BC上一点,已知AB=13,AD=12,AC=15,BD=5,则BC=_____________.
2.如图,在Rt△ABC中∠C=90°
,BE平分∠ABC交AC于E,DE是斜边AB的垂直平分线,且DE=1cm,则AC=_____________cm.
3.如图,四边形ABCD中,已知AB∶BC∶CD∶DA=2∶2∶3∶1,且∠B=90°
,则∠DAB=_____________.
4.如图,在△ABC中,AB=5,AC=13,边BC上的中线AD=6,则BC的长为_____________.
(湖北省预赛试题)
5.如果一个三角形的一条边是另一条边的2倍,并且有一个角是30º
,那么这个三角形的形状是()
A.直角三角形B.钝角三角形C.锐角三角形D.不能确定
(山东省竞赛试题)
6.如图,小正方形边长为1,连结小正方形的三个顶点可得△ABC,则AC边上的高为()
A.
B.
C.
D.
(福州市中考试题)
7.如图,一个长为25分米的梯子,斜立在一竖直的墙上,这时梯足距墙底端7分米,如果梯子的顶端沿墙下滑4分米,那么梯足将滑()
A.15分米B.9分米C.8分米D.5分米
8.如图,在四边形ABCD中,∠B=∠D=90°
,∠A=60°
,AB=4,AD=5,那么
等于()
A.1B.2C.
9.如图,△ABC中,AB=BC=CA,AE=CD,AD,BE相交于P,BQ⊥AD于Q,求证:
BP=2PQ.
10.如图,△ABC中,AB=AC.
(1)若P是BC边上中点,连结AP,求证:
(2)P是BC边上任意一点,上面的结论还成立吗?
若成立,请证明;
若不成立,请说明理由;
(3)若P是BC边延长线上一点,线段AB,AP,BP,CP之间有什么样的关系?
请证明你的结论.
11.如图,直线OB是一次函数
图象,点A的坐标为(0,2),在直线OB上找点C,使得△ACO为等腰三角形,求点C的坐标.
12.已知:
如图,将矩形ABCD沿对角线BD折叠,使点C落在
处,
交AD于E,AD=8,AB=4,求△BED的面积.
(山西省中考试题)
B级
1.若△ABC的三边a,b,c满足条件:
,则这个三角形最长边上的高为_____________.
2.如图,在等腰Rt△ABC中,∠A=90°
,P是△ABC内的一点,PA=1,PB=3,PC=
,则∠CPA=_____________.
3.在△ABC中,AB=15,AC=13,高AD=12,则△ABC的周长为_____________.
4.如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°
,CD⊥AB于D,AF平分∠CAB交CD于E,交CB于F,且EG∥AB交CB于G,则CF与GB的大小关系是()
A.CF>GBB.CF=GBC.CF<GBD.无法确定
5.在△ABC中,∠B是钝角,AB=6,CB=8,则AD的范围是()
A.8<AC<10B.8<AC<14C.2<AC<14D.10<AC<14
(江苏省竞赛试题)
6.满足两条直角边长均为整数,且周长恰好等于面积的整数倍的直角三角形的个数有()
A.1个B.2个C.3个D.4个
(浙江省竞赛试题)
7.如图,△ABC是等腰直角三角形,AB=AC,D是斜边BC的中点,E,F分别是AB,AC边上的点,且DE⊥DF,若BE=12,CF=5,求△DEF的面积.
(四川省联赛试题)
8.如图,在Rt△ABC中,∠A=90°
,D为斜边BC中点,DE⊥DF,求证:
9.周长为6,面积为整数的直角三角形是否存在?
若不存在,请给出证明;
若存在,请证明有几个.
(全国联赛试题)
10.如图,在△ABC中,∠BAC=45°
,AD⊥BC于D,BD=3,CD=2,求△ABC面积.
(天津市竞赛试题)
11.如图,在△ABC中,∠BAC=90°
,AB=AC,E,F分别是BC上两点,若∠EAF=45°
,试推断BE,CF,EF之间数量关系,并说明理由.
12.已知在Rt△ABC中,∠ACB=90°
,AC=BC,∠MCN=45°
.
(1)如图1,当M,N在AB上时,求证:
(2)如图2,将∠MCN绕点C旋转,当M在BA的延长线上时,上述结论是否成立?
若不成立,请说明理由.
(天津市中考试题)
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