向量代数与空间解析几何相关概念和例题Word下载.docx
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二、向量运算
向量的加法
向量的加法:
设有两个向量a与b.平移向量使b的起点与a的终点重合.此时从a的起点到b的终点的向量c称为向量a与b的和.记作a+b.即c=a+b.
当向量a与b不平行时.平移向量使a与b的起点重合.以a、b为邻边作一平行四边形从公共起点到对角的向量等于向量a与b的和ab
向量的减法:
设有两个向量a与b.平移向量使b的起点与a的起点重合.此时连接两向量终点且指向被减数的向量就是差向量。
TTTTT
AB=AOOB=0B-CA.
2、向量与数的乘法
向量与数的乘法的定义:
向量a与实数,的乘积记作a.规定■a是一个向量.它的模它的方向当■>
0时与a相同.当■<
0时与a相反,
(1)结合律,(七)=±
a)=C;
L)a;
(2)分配律(kja='
a;
'
(ab)=■a…b
例1在平行四边形ABCD中.设AB=a.AD二b
试用a和b表示向量MA’、MB’、MC‘、MD.其中M是平行四边形对角线的交点
■>
iia
解:
a〜b=AC=2AM于是MA=(a亠b),
因为MC—MA”.所以MC=1(ab).
又因Tb=BD=2MD.所以MD=2(b_a).
由于MB=—MD“.所以MB‘=2(a—b).
定理1设向量a式0.那么.向量b平行于a的充分必要条件是:
存在唯一的实数,.使b二,a,
三、空间直角坐标系
过空间一个点O,作三条互相垂直的数轴,它们都以O为原点。
这三条数轴分别叫做x
轴(横轴)、y轴(纵轴)、z轴(竖轴),统称为坐标轴。
三条坐标轴中的任意两条可以确定一个平面,这样定出的三个平面统称为坐标面。
其中x轴与y轴所确定的平面叫做xOy面,
y轴与z轴所确定的平面叫做yOz面,z轴与x轴所确定的平面叫做zOx面。
三个坐标面把空间分成八个部分,每一部分叫做卦限。
含x轴、y轴、z轴正半轴的那个卦限叫做第I卦
限,其它第n,m,w卦限,在xOy坐标面的上方,按逆时针方向确定。
第v到第忸卦限
分别在第I到第W卦限的下方(如图)。
设P为空间一点,过点P分别作垂直x轴、y轴、z轴的平面,顺次与x轴、y轴、z轴交于Px,Py,Pz,这三点分别在各自的轴上对应的实数值x,y,z称为点P在x轴、y轴、z轴上的坐标,由此唯一确定的有序数组(x,y,z)称为点P的坐标。
依次称x,y和z为点P的横坐标、纵坐标和竖坐标,并通常记为P(x,y,z)o
坐标面上和坐标轴上的点.其坐标各有一定的特征.例如:
点M在yOz面上.则x=0-同相.在zOx面上的点.y=0•在xOy面上的点.z=0.如果点M在x轴上.则y=z=0-同样在y轴上,有z=x=0•在z轴上的点.有x=y=0,如果点M为原点.则x=y=z=0.
四、利用坐标作向量的线性运算
对向量进行加、减及与数相乘,只需对向量的各个坐标分别进行相应的数量运算
利用向量的坐标判断两个向量的平行:
设a=(ax.ay.az尸0.b=(bx.by.bz).向量b//a二b=a
即b//(bxbybz)—'
(axay.az).于是~z
axayaz
例2求解以向量为未知元的线性方程组-3y=a
尹_2y=b■
其中.1.2)R—).
解如同解二元一次线性方程组.可得
x=2a-3by=3a-5b.
以a、b的坐标表示式代入.即得
x^(2.1.2)*1.1.-2)二7厂1.10).
y£
(2.1.2)^(—1.1.-2)=11.-2.16).
例3已知两点A(x1y1乙)和B(x2y2Z2)以及实数
在直线AB上求一点M.使AM三hMB,
解设所求点为M(xyz).则AM=(x-为,y-比,z-zj.MB=(X2-x,y2-y,Z2-z),依题意有AM=,MB.即
(x孑1y-y1z-z1)(X2以y2_yz2_z)
x为x2yy<
72zJ・、5
x=^—y=^^冇〒-■
点M叫做有向线段AB的定比分点.当’=1.点M的有向线段AB的中点.其坐标为
乂=为他y^_Y2z=z1Z2
2'
2'
空间向量数量积与向量积
掌握向量的数量积、向量积的定义及数量积的性质;
掌握其计算方法。
重点与难点:
数量积与向量积的计算方法。
一、两向量的数量积
数量积的物理背景:
设一物体在常力F作用下沿直线从点M1移动到点M2以s表示位
移M1M2,由物理学知道.力F所作的功为
W=|F||s|cost.
其中二为F与s的夹角,
数量积:
对于两个向量a和b它们的模|a|、|b|及它们的夹角二的余弦的乘积称为向量a和b的数量积记作ab即
ab-|a||b|cos-.
数量积与投影:
A
当a和时.|b|cos(a.b)是向量b在向量a的方向上的投影
数量积的性质:
(1)aa=|a|2■
⑵a、b.为非零向量,ab=0是a_b的充要条件
数量积的运算律:
⑴交换律:
ab=ba
⑵分配律:
(ab)c=ac・bc,
(3)(a)b=a(,b)=,(ab)
数量积的坐标表示:
设a©
xayaz)b=(bxbybz).则ab=axbxaybyazbz.
复习高中时的有代表性的例题
例1一质点在力F=4i+2j+2k的作用下,从点A(2,1,0)移动到点B(5,-2,6),
求F所做的功及F与AB间的夹角•
解由数量积的定义知,F所做的功是W=Fs,其中s=AB=3i-3j+6k是路程向量
故
W=F•s=(4i+2j+2k)•(3i-3j+6k)=18.
如果力的单位是牛顿(N),位移的单位是米(m),则F所做的功是18焦耳(J).再由式(6.7),有
Fs181
cosu==—厂_一=—
lFH丿42+22+22丁32+(-3)2+622
因此,F与s的夹角为二=—•
3
例2求向量a=(5,-2,5)在b=(2,1,2)上的投影.
a,b>
=a—b=10—210lb(4+1+4
二、两向量的向量积
向量积:
设向量c、a、b满足:
c的模|c|=|a||b|sinv.其中v为a与b间的夹角;
c的方
向垂直于a与b所决定的平面c的指向按右手规则从a转向b来确定,则称向量c是a与b
的向量积记作ab即
c=ab
向量积的运算律:
(1)交换律ab二-ba•
⑵分配律(ab)=acbc
(3)('
a)b=a(■b)=-(ab)(,为数).
向量积的坐标表示若a-axiayjazk.b二bxi-byjbzk.贝U
ijk
axb=jaxayaz
bxbybz
—(3ybz3zby)i■(3zbx-axbz)j.(3xby-3ybx)k…
例3
设a=(1,2,-
2),
b=(-2,1,0),
求axb及与a、
b都垂直的单位向量
i
■
k
2-2
1-2
12
解
a汇b=1
2
-2=
i-j
+k
10
-20
-21
-2
1
=
2i+4j
+5k.
所求的单位向量为
(2i+4j+5k)=
±
—(2i+4j+5k)
.22(4)25215
例4已知三角形ABC的顶点分别是A(123)、B(3.4.5)、C(2.4.7).求三角形ABC的面积.
解根据向量积的定义可知三角形ABC的面积
由于AB老2.2).AC珂1.24).因此
S.abc弓1如-6j2k|=;
/2(-6)222’14.
例5设a=(-2,3,1),b=(0,-1,1),c=(1,-1,4),三个向量是否共面?
解因为r=ab与a、b所确定的平面垂直,所以当a、b、c三个向量共面时,应该有
r丄c,即r-c=0.
所以有
r.c=(4i+2j+2k).(i-j+4k)=4-2+8=10=0,
因此三个向量不共面
空间简单图形及其方程方程
掌握直线、平面、常见曲面的方程及其求法;
会利用平面、直线的相互关系解决有关问题。
直线、平面方程及其求法。
一、平面方程
1、平面的点法式方程
已知平面上一点M°
(xoyozo)和它的一个法线向量n=(AB.C)则其方程为
A(x$o)B(y_yo)C(z—zo)=0
例1求过点(2.d.0)且以n=(13)为法线向量的平面的方程.
解得所求平面的方程为
(x—2)-2(y3)3z=0.
即x-2y3z_8=0,
例2已知空间两点M©
2,-1)、M2(3-12),求过Mi点且与直线皿!
M2垂直的平面方程。
例3求过三点Mi(2._1.4)、M2(=.3.-2)和M3(0.2.3)的平面的方程.
我们可以用MjM2M1M3作为平面的法线向量n
因为皿川2=(-3,4,-6).皿川3=(-2,3,-1).
所以
根据平面的点法式方程.得所求平面的方程为
14(x-2)9(y1)-(z-4)=0.
即14x9y-z-15=0,
2、平面的一般方程
由平面的点法式方程A(x^0),B(y-y0)C(z-z0)=O知,任一平面都可用xyz的一次方程来表示。
方程AxByCzD£
称为平面的一般方程.其中xyz的系数就是该平面的一个法线向量n的坐标.即n=(A.BC),
例如.方程3x"
ytz-9=0表示一个平面.n=(3.r.1)是这平面的一个法线向量,
例4求通过x轴和点(4.-3.-1)的平面的方程.
解平面通过x轴.一方面表明它的法线向量垂直于x轴.即A=0・另一方面表明它必
通过原点.即D=0.因此可设这平面的方程为
ByCz=0
又因为这平面通过点(4.-3.-1).所以有
-3B-CP
将其代入所设方程并除以B(B=0).便得所求的平面方程为
ydz^Q,
二、两平面的位置关系
两平面的位置关系不外是相交、垂直、平行与重合,利用两平面法向量位置关系就可判
疋
两平面的法线向量分别为m=(Ai.Bi.Ci)和n2=(A2.B2.C2).由于
coS=|cosi(,匝)|=
|A|A2+BiB2"
^CiC21
.A2Bi2Ci2a孑b2c2
賁占则平面重合或平行
A2B2C2
是两平面夹角,则有
AiA2亠BiB2亠CiC2=0充要条件为平面垂直
例5求两平面x-y和2xy^^=0的夹角
解nUAi.Bi.Ci)niT•2).n2=(A2.B2.C2)=(2.i.i).
所以.所求夹角为v-3.
例6一平面通过两点Mi(i.i.i)和M2(0.ii)且垂直于平面x+y±
z=0.求它的方程,
解i由Mi到点M2的向量为nin_i.0.-2).平面x+y±
z=0的法线向量为n2=(i.i.i),设所求平面的法线向量为n=(ABC).
则有n_ni即-A-2C=0A=-2C
又因为所求平面垂直于平面xyz=0.所以n_ni.即AB,C=0B=C
所求平面为-2C(x-i)C(y-i)C(z-i)=0.即2x-y-z=0
解2从点Mi到点M2的向量为niN_i.0.—2).平面x勺+z=0的法线向量为n^(i.i.i),设所求平面的法线向量n可取为nin2,
因为
ijkn=H|疋吐=—i0-2=2i—j—k.
iii
所以所求平面方程为2x-y-z乂
三直线的方程
直线是两平面的交线,即直线的一般式方程:
r'
Ax+Biy+Ciz+Di=0
、A2x+B2y+C2z+D2=0
直线上一点M0(X0,y0,Z0)和方向向量s={m,n,p},直线的对称式方程:
x-X。
_y-y°
_z-z°
mnp
例7将直线』x+y+z+〔=0表为对称式
gx—y+3z+4=0
解取X°
=i,代入方程组得y0=0、Z0=-2,即点(i,0,-2)在直线上。
1j
两平面的法向量分别为
ni={1,1,1}和n2={2,-1,3},则s=n1xn2=11
1=4i-43k,
-1
设直线11和12的方向向量为a={x1,y1,Z1}、b={X2,y2,Z2},则
X1X2+%y2+乙乙2
cos帖|cos(a,人b)F丿2亠2亠2J2一丄2。
.X1y1Z1X2y2Z2
四几个曲面方程
例8方程X2y2N2-2x4^0表示怎样的曲面?
解通过配方.原方程可以改写成
222(x-1)(y2)z=5.
这是一个球面方程.球心在点M°
(1._2.0)、半径为.
一般地.设有三元二次方程
222
AxAyAzDxEyFzG=0.
这个方程的特点是缺xyyzzx各项.而且平方项系数相同.只要将方程经过配方就可以化成方程
2222
(x-xo)(y「yo)(z-zo)二R.
的形式.它的图形就是一个球面.
例9方程X2y2=R2表示怎样的曲面?
解方程x2・y2=R2在xOy面上表示圆心在原点0、半径为R的圆,在空间直角坐标系中.这方程不含竖坐标z.即不论空间点的竖坐标z怎样.只要它的横坐标x和纵坐标y能满足这方程.那么这些点就在这曲面上,也就是说.过xOy面上的圆x2y^R2.且平行于z轴
的直线一定在X2y2=R2表示的曲面上.所以这个曲面可以看成是由平行于z轴的直线1沿
xOy面上的圆x2y^R2移动而形成的.这曲面叫做圆柱面xOy面上的圆x2y^R2叫做它的准线.这平行于z轴的直线I叫做它的母线.
柱面:
平行于定直线并沿定曲线C移动的直线L形成的轨迹叫做柱面.定曲线C叫做柱
面的准线.动直线L叫做柱面的母线.
上面我们看到.不含z的方程X2y^R2在空间直角坐标系中表示圆柱面.它的母线平行
于z轴.它的准线是xOy面上的圆x2y^R2.
一般地.只含X、y而缺z的方程F(xy)=0.在空间直角坐标系中表示母线平行于z轴的
柱面.其准线是xOy面上的曲线C:
F(x.y)£
.
例如.方程y2=2x表示母线平行于z轴的柱面.它的准线是xOy面上的抛物线y2=2x.该柱面叫做抛物柱面,
又如.方程x-y=0表示母线平行于z轴的柱面.其准线是xOy面的直线x-y=0.所以它是过z轴的平面.
类似地.只含x、z而缺y的方程G(xz)=0和只含y、z而缺x的方程H(yz)=0分别表示母线平行于y轴和x轴的柱面.
例如.方程x-z=0表示母线平行于y轴的柱面.其准线是zOx面上的直线x-z=0.所以
它是过y轴的平面.
由方程
v222
才Pl-1所表示的曲面称为椭球面
冒唱八再沿y轴方向伸缩舟
球面在x轴、y轴或z轴方向伸缩而得的曲面,
把x2y2z2=a2沿Z轴方向伸缩£
倍.得旋转椭球面
a
倍.即得椭球面
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