乘法公式的复习讲义学生版文档格式.docx
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(a+b-c)2=_______________
(a-b+c)2=_______________
___________________________________________.
4.两个一次二项式相乘:
(x+a)
.(x+b)=x2+(a+b)x+ab.
a、b可以是正数也可以是负数。
5.补充几个乘法公式:
①立方差公式:
(a-b)(a2+ab+b2)=a3-b3
②立方和公式:
(a+b)(a2-ab+b2)=a3+b3
体会规律:
_____________________________________
6.由平方差、立方和(差)公式引伸的公式:
(a+b)(a3-a2b+ab2-b3)=a4-b4;
(a+b)(a4-a3b+a2b2-ab3+b4)=a5+b5;
(a+b)(a5-a4b+a3b2-a2b3+ab4-b5)=a6-b6…………
注意观察左边第二个因式的项数、指数、系数、符号的规律
在正整数指数的条件下,可归纳如下:
设n为正整数
(a+b)(a2n-1-a2n-2b+a2n-3b2-…+ab2n-2-b2n-1)=a2n-b2n
(a+b)(a2n-a2n-1b+a2n-2b2-…-ab2n-1+b2n)=a2n+1+b2n+1
类似地:
(a-b)(an-1+an-2b+an-3b2+…+abn-2+bn-1)=an-bn
二、例题分析:
题型1:
平方差公式的应用:
(1)公式中的字母a、b可以表示数,也可以是表示数的单项式、多项式即整式.
(2)要符合公式的结构特征才能运用平方差公式.
(3)有些多项式与多项式的乘法表面上不能应用公式,但通过加法或乘法的交换律、结合律适当变形实质上能应用公式.
例1.计算(3x-1)(3x+1)(9x2+1)
例2.计算(2x-1)2(1+2x)2-(2x+3)2(2x-3)2
例3.计算(x2-x+2)(x2-x-2)
变式1:
计算(x+y+z)(x+y-z)
变式2:
已知z2=x2+y2,化简(x+y+z)(x-y+z)(-x+y+z)(x+y-z).
变式3:
计算(a-2b+c)(a+2b-c)-(a+2b+c)2
变式4:
(a+b+c)(a+b-c)(a-b+c)(-a+b+c)
例4.计算
(1)899×
901+1
(2)1232-122×
118
计算:
1002-992+982-972+…+42-32+22-1
例5:
(2+1)(22+1)(24+1)(28+1)(216+1)(232+1)
变式:
例6.探索题:
(x-1)(x+1)=
(x-1)(x2+x+1)=x3-1
(x-1)(x3+x2+x+1)=x4-1
(x-1)(x4+x3+x2+x+1)=x5-1
……
试求26+25+24+23+22+2+1的值,判断22005+22004+22003+…+2+1的末位数。
练习题:
1.计算:
(2-3x)(3x+2)
2.计算:
(-5x²
+3)(-5x²
-3)
3.计算:
(-3-5b)(-3-5b)
4.计算:
(y+2)(y-2)-(y-1)(y+5)
5.计算:
20082-2009×
2007
6.计算:
(a+b+c)(a+b-c)
7.计算:
8.计算:
9.计算:
10.已知x-y=2,y-z=2,x+z=14。
求x2-z2的值。
题型2:
完全平方和与差的应用
例7.计算(-a2+4b)2
例8.计算(2x+y-z+5)(2x-y+z+5).
例9.已知a+b=2,ab=1,求a2+b2的值。
变式:
已知a+b=8,ab=2,求(a-b)2的值。
例10.己知x+y=axy=b
求 ①x2+y2 ②x3+y3 ③x4+y4 ④x5+y5
例11.已知x+
=3,求①x2+
②x3+
③x4+
的值
变式:
解下列各式:
(1)已知a2b213,ab6,求ab2,ab2的值。
(2)已知ab27,ab24,求a2b2,ab的值。
(3)已知aa1a2b2,求
的值。
(4)已知
,求
例12.四个连续自然数的乘积加上1,一定是平方数吗?
为什么?
变式1:
求证:
两个连续整数的积加上其中较大的一个数的和等于较大的数的平方。
例13.求证:
2222+3111能被7整除
233+1能被9整除。
例14.由完全平方公式推导“个位数字为5的两位数的平方数”的计算规律
例15.已知实数x、y、z满足
,那么
()
(2x+y-z+5)(2x-y+z+5).
例16.计算(a+b+c)2+(a+b-c)2+(a-b+c)+(b-a+c)2.
例17.计算(2a+3b)2-2(2a+3b)(5b-4a)+(4a-5b)2
例18.计算19982-1998×
3994+19972;
例19.计算:
(2x-3y-1)(-2x-3y+5)
例20.数形结合的数学思想认识乘法公式:
图2中的两个图阴影部分面积分别为(a+b)2与(a-b)2,通过面积的计算方法,即可得到两个完全平方公式:
(a+b)2=a2+2ab+b2与(a-b)2=a2-2ab+b2。
变式1:
(02年济南中考)请你观察图1中的图形,依据图形面积的关系,不需要添加辅助线,便可得到一个你非常熟悉的公式,这个公式是______________。
变式2:
(03年陕西中考)
如图2,在长为a的正方形中挖掉一个边长为b的小正方形(
),把余下的部分剪成一个矩形,如图3,通过计算两个图形的面积,验证了一个等式,则这个等式是______________。
(04年临汾中考)阅读材料并解答问题:
我们已经知道,完全平方公式可以用平面几何图形的面积来表示,实际上还有一些等式也可以用这种形式表示,例如:
就可以用图4或图5等图表示。
(1)请写出图6中所表示的代数恒等式____________;
(2)试画出一个几何图形,使它的面积能表示:
(3)请仿照上述方法另写一个含有a,b的代数恒等式,并画出与之对应的几何图形。
例21.观察下列各式:
(x-1)(x+1)=x2-1
(x-1)(x2+x+1)=x3-1
(x-1)(x3+x2+x+1)=x4-1
由猜想到的规律可得
(x-1)(xn+xn-1+xn-2+…+x+1)=
______。
例22.在公式
中,当a分别取1,2,3,……,n时,可得下列n个等式
将这n个等式的左右两边分别相加,可推导出求和公式:
__________(用含n的代数式表示)
例23.已知a=1990x+1989,b=1990x+1990,c=1990x+1991,求a2+b2+c2-ab-ac-bc的值.
例24.已知m2+n2-6m+10n+34=0,求m+n的值
练习题:
1.填空:
①a2+b2=(a+b)2-_____②(a+b)2=(a-b)2+___
③a3+b3=(a+b)3-3ab(___) ④a4+b4=(a2+b2)2-____
⑤a5+b5=(a+b)(a4+b4)-_____ ⑥a5+b5=(a2+b2)(a3+b3)-___
2.填空:
①(x+y)(___________)=x4-y4 ②(x-y)(__________)=x4-y4
③(x+y)(___________)=x5+y5 ④(x-y)(__________)=x5-y5
①552=②652=③752=④852=⑤952=
⑥11×
19=⑦22×
28=⑧34×
36=⑨43×
47=⑩76×
74=
4.化简:
①(a+b)2(a-b)2
5.
②(a+b)(a2-ab+b2)
③(a-b)((a+b)3-2ab(a2-b2)
④(a+b+c)(a+b-c)(a-b+c)(-a+b+c)
5.己知a+b=1, 求证:
a3+b3-3ab=1
6.己知a2=a+1,求代数式a5-5a+2的值
7.计算:
8.计算:
10.计算:
11.
12.计算:
13.计算:
(1)(x+y+1)(1-x-y);
(2)(2x+y-z+5)(2x-y+z+5).
14.运用乘法公式计算:
(1)(-1+3x)(-1-3x);
(2)(-2m-1)2
15.先化简,再求值.
已知
,求:
的值.
16.(2003·
郑州)如果(2a+2b+1)(2a+2b-1)=63,求a+b的值.
17.已知(t+58)2=654481,求(t+84)(t+68)的值.
18.观察下面各式:
12+(1×
2)2+22=(1×
2+1)2
22+(2×
2)2+32=(2×
3+1)2
32+(3×
4)2+42=(3×
4+1)2
……
(1)写出第2005个式子;
(2)写出第n个式子,并说明你的结论.
19.图a是一个长为2m、宽为2n的长方形,沿图中虚线用剪刀均分成四块小长方形,然后按图b的形状拼成一个正方形。
图a
图b
(1)你认为图b中的阴影部分的正方形的边长等于。
(2)请用两种不同的方法求图b中阴影部分的面积。
方法1:
方法2:
(3)观察图b你能写出下列三个代数式之间的等量关系吗?
代数式:
(4)根据(3)题中的等量关系,解决如下问题:
若
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