最新中考数学必做压轴题分类之二次函数与几何综合.docx
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最新中考数学必做压轴题分类之二次函数与几何综合
二次函数与几何综合
二次函数与几何综合是中考压轴题的考查重点,常考查函数解析式、交点坐标、图形面积或周长的最值、存在性问题、图形的平移、对称、旋转等.压轴题的综合性强,难度大,复习时应加强训练,它是突破高分瓶颈的关键.
1、如图,已知抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)的对称轴为直线x=-1,且抛物线经过A(1,0),
C(0,3)两点,与x轴交于点B.
(1)若直线y=mx+n经过B、C两点,求直线BC和抛物线的解析式;
(2)在抛物线的对称轴x=-1上找一点M,使点M到点A的距离与到点C的距离之和最小,
求出点M的坐标;
(3)设点P为抛物线的对称轴x=-1上的一个动点,求使△BPC为直角三角形的点P的坐标.
2、如图,已知抛物线y=-x2+bx+c与x轴交于A(-1,0),B(3,0)两点,与y轴交于点
C,抛物线的对称轴与抛物线交于点P、与直线BC相交于点M,连接PB.
(1)求抛物线的解析式;
(2)在
(1)中位于第一象限内的抛物线上是否存在点D,使得△BCD的面积最大?
若存在,求
出D点坐标及△BCD面积的最大值;若不存在,请说明理由;
0、在
(1)中的抛物线上是否存在点Q,使得△QMB与△PMB的面积相等?
若存在,求出点Q
的坐标;若不存在,请说明理由.
1、如图,二次函数y=ax2+bx+c的图象的顶点C的坐标为(0,-2),交x轴于A、B两点,
其中A(-1,0),直线l:
x=m(m>1)与x轴交于D.
(1)求二次函数的解析式和B的坐标;
(2)在直线l上找点P(P在第一象限),使得以P、D、B为顶点的三角形与以B、C、O为顶点
的三角形相似,求点P的坐标(用含m的代数式表示);
(7)在
(2)成立的条件下,在抛物线上是否存在第一象限内的点Q,使△BPQ是以P为直角顶
点的等腰直角三角形?
如果存在,请求出点Q的坐标;如果不存在,请说明理由.
0、已知抛物线y=-x2-2x+a(a≠0)与y轴相交于A点,顶点为M,直线y=x-a分别与
x轴、y轴相交于B、C两点,并且与直线MA相交于点N点.
(1)若直线BC和抛物线有两个不同交点,求a的取值范围,并用a表示交点M、A的坐标;
(2)将△NAC沿着y轴翻折,若点N的对称点P恰好落在抛物线上,AP与抛物线的对称轴相
交于点D,连接CD,求a的值及△PCD的面积;
0、在抛物线y=-x2-2x+a(a>0)上是否存在点P,使得以P、A、C、N为顶点的四边形是
平行四边形?
若存在,求出点P的坐标;若不存在,请说明理由.
0、如图,在平面直角坐标系xOy中,直线l⊥y轴于点B(0,-2),A为OB的中点,以A
为顶点的抛物线y=ax2+c(a≠0)与x轴分别交于C、D两点,且CD=4,点P为抛物线
上的一个动点,以P为圆心,PO为半径画圆.
(1)求抛物线的解析式;
(2)若⊙P与y轴的另一交点为E,且OE=2,求点P的坐标;
(3)判断直线l与⊙P的位置关系,并说明理由.
1、如图,抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)的图象过点M(-2,),顶点坐标为N(-1,),
且与x轴交于A、B两点,与y轴交于C点.
(1)求抛物线的解析式;
(2)点P为抛物线对称轴上的动点,当△PBC为等腰三角形时,求点P的坐标;
(3)在直线AC上是否存在一点Q,使△QBM的周长最小?
若存在,求出Q点坐标;若不存在,
请说明理由.
2、如图,二次函数y=x2+bx-3b+3的图象与x轴交于A,B两点(点A在点B的左边),
交y轴于点C,且经过点(b-2,2b2-5b-1).
(1)求这条抛物线的解析式;
(2)⊙M过A,B,C三点,交y轴于另一点D,求点M的坐标;
(3)连接AM,DM,将∠AMD绕点M顺时针旋转,两边MA,MD与x轴,y轴分别交于点E,F.
若△DMF为等腰三角形,求点E的坐标.
3、如图1,二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴分别交于A,B两点,与y轴交于点C,
若tan∠ABC=3,一元二次方程ax2+bx+c=0的两根为-8,2.
(1)求二次函数的解析式;
(2)直线l以AB为起始位置,绕点A顺时针旋转到AC位置停止,l与线段BC交于点D,P
是AD的中点.
①求点P的运动路程;
②如图2,过点D作DE垂直x轴于点E,作DF⊥AC所在直线于点F,连接PE、PF,在l运
动过程中,∠EPF的大小是否改变?
请说明理由;
(3)在
(2)的条件下,连接EF,求△PEF周长的最小值.
4、已知抛物线C1:
y=-x2,平移抛物线y=x2,使其顶点D落在抛物线C1位于y轴
右侧的图象上,设平移后的抛物线为C2,且C2与y轴交于C(0,2).
(1)求抛物线C2的解析式;
(2)抛物线C2与x轴交于A,B两点(点B在点A的右方).求点A、B的坐标及过点A、B、C
的圆的圆心E的坐标;
(6)在过点(0,)且平行于x轴的直线上是否存在点F,使四边形CEBF为菱形,若存在,求
出点F的坐标,若不存在,请说明理由.
7、如图,已知直线y=-3x+3与x轴交于点A,与y轴交于点C,抛物线y=ax2+bx+c
经过点A和点C,对称轴为直线l:
x=-1,该抛物线与x轴的另一个交点为B.
(1)求此抛物线的解析式;
(2)点P在直线l上,求出使△PAC的周长最小的点P的坐标;
(3)点M在此抛物线上,点N在y轴上,以A、B、M、N为顶点的四边形能否为平行四边形?
若能,直接写出所有满足要求的点M的坐标;若不能,请说明理由.
8、如图,已知抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)与x轴交于点A(1,0)和点B(-3,0),与y
轴正半轴交于点C,且OC=OB.
(1)求此抛物线的解析式;
(2)若点E为第二象限抛物线上一动点,连接BE、CE,求四边形BOCE面积最大值,并求出
此时点E的坐标;
(1)点P在抛物线的对称轴上,若线段PA绕点P逆时针方向旋转90°后,点A的对应点A′
恰好也落在此抛物线上,求点P的坐标.
6、如图,已知抛物线y=(x+2)(x-4)(k为常数,且k>0)与x轴从左至右依次交于A,
B两点,与y轴交于点C,经过点B的直线y=-x+b与抛物线的另一交点为D.
(1)若点D的横坐标为-5,求抛物线的函数表达式;
(2)若在第一象限内的抛物线上有点P,使得以A,B,P为顶点的三角形与△ABC相似,求k
的值;
(g)在
(1)的条件下,设F为线段BD上一点(不含端点),连接AF,一动点M从点A出发,沿
线段AF以每秒1个单位的速度运动到F,再沿线段FD以每秒2个单位的速度运动到D
后停止,当点F的坐标是多少时,点M在整个运动过程中用时最少?
13、已知抛物线y=-x2+bx+c与x轴交于点A(m-2,0)和B(2m+1,0)(点A在点B的左
侧),与y轴相交于点C,顶点为P,对称轴为l:
x=1.
(1)求抛物线解析式;
(2)直线y=kx+2(k≠0)与抛物线相交于两点M(x1,y1),N(x2,y2)(x1 时,求抛物线与直线的交点M和N的坐标; (3)首尾顺次连接点O,B,P,C构成多边形的周长为L.若线段OB在x轴上移动,求L最小 时点O,B移动后的坐标及L的最小值. 14、如图,抛物线y=ax2-8ax+12a(a>0)与x轴交于A、B两点(A在B的左侧),与y轴 交于点C,点D的坐标为(-6,0),且∠ACD=90°. (1)请直接写出A、B两点的坐标; (2)求抛物线的解析式; (3)抛物线的对称轴上是否存在点P,使得△PAC的周长最小? 若存在,求出点P的坐标及周 长的最小值;若不存在,说明理由; (4)平行于y轴的直线m从点D出发沿x轴向右平行移动,到点A停止.设直线m与折线DCA 的交点为G,与x轴的交点为H(t,0).记△ACD在直线m左侧部分的面积为S,求S关 于t的函数关系式及自变量t的取值范围. 15、如图,在平面直角坐标系xOy中,抛物线y=ax2-2ax-3a(a<0)与x轴交于A、B两点 (点A在点B的左侧),经过点A的直线l: y=kx+b与y轴负半轴交于点C,与抛物线 的另一个交点为D,且CD=4AC. (1)直接写出点A的坐标,并求直线l的函数表达式(其中k、b用含a的式子表示) (2)点E是直线l上方的抛物线上的动点,若△ACE的面积的最大值为,求a的值; (3)设P是抛物线的对称轴上的一点,点Q在抛物线上,以点A、D、P、Q为顶点的四边形能 否成为矩形? 若能,求出点P的坐标;若不能,请说明理由. 参考答案 1、【思路点拨】 (1)利用待定系数法求二次函数与一次函数的解析式; (2)利用抛物线的轴对称性,BC与对称轴的交点即为M,继而求出其坐标; (3)设P(-1,t),用含t的代数式表示PB、PC.对直角顶点分三种情况讨论,利用勾股定理建立方程可求得t的值. 【解答】 (1)依题意,得 解得 ∴抛物线解析式为y=-x2-2x+3. ∵对称轴为x=-1,且抛物线经过A(1,0), ∴B(-3,0). ∴把B(-3,0)、C(0,3)分别代入直线y=mx+n,得 解得 ∴直线y=mx+n的解析式为y=x+3. (2)设直线BC与对称轴x=-1的交点为M,则此时MA+MC的值最小,把x=-1代入直线y=x+3,得y=2. ∴M(-1,2),即当点M到点A的距离与到点C的距离之和最小时,M的坐标为(-1,2). (3)设P(-1,t),又B(-3,0),C(0,3), ∴BC2=18,PB2=(-1+3)2+t2=4+t2,PC2=(-1)2+(t-3)2=t2-6t+10. ①若点B为直角顶点,则BC2+PB2=PC2,即18+4+t2=t2-6t+10,解得t=-2; ②若点C为直角顶点,则BC2+PC2=PB2,即18+t2-6t+10=4+t2,解得t=4; ③若点P为直角顶点,则PB2+PC2=BC2,即4+t2+t2-6t+10=18; 解得t1=,t2=. 综上所述,P的坐标为(-1,-2)或(-1,4)或(-1,)或(-1,). 2、【思路点拨】 (1)把A(-1,0)、B(3,0)两点的坐标代入y=-x2+bx+c即可求出b和c的值,进而求出抛物线的解析式; (2)设D(t,-t2+2t+3),作DH⊥x轴,则S△BCD=S梯形DCOH+S△BDH-S△BOC,进而得到S关于t的二次函数,利用二次函数的性质,确定D点坐标与S△BCD的最大值; (3)因为两三角形的底边MB相同,所以只需满足MB上的高相等即可满足题意. 【解答】 (1)由解得 ∴抛物线解析式为: y=-x2+2x+3. (2)设D(t,-t2+2t+3),作DH⊥x轴. 令x=0,则y=3,∴C(0,3). 则S△BCD=S梯形DCOH+S△BDH-S△BOC =(-t2+2t+3+3)t+(3-t)(-t2+2t+3)-×3×3 =-t2+t. ∵-<0, ∴当t=-=时,即D(,)时,S△BCD有最大值,且最大面积为. (3)∵P(1,4),过点P且与BC平行的直线与抛物线的交点即为所求Q点之一, ∵直线BC为y=-x+3, ∴过点P且与BC平行的直线为y=-x+5. 由解得Q1(2,3); ∵直线PM为x=1,直线BC为y=-x+3, ∴M(1,2). 设PM与x轴交于E点,∵PM=EM=2, ∴过点E
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