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CF=」CE
••CEVCG专BC,「GH晋C,故此结论不成立;
4•••/DBE=45°
BE是/DBF的平分线,:
/DBH=22.5由②知/HBC=/CDF=22.5°
:
/BH=/CDF,
v/BHD=/BHD,:
ZDHEs/BHD,「」=」/.DH=HE?
HB,故④成立;
BHDH
所以①②④正确.故选C.
2•如图,梯形ABCD中,AD//BC,」一-1-'
ZABC=45°
AE丄BC于点E,BF丄AC于点F,交AE于点G,AD=BE,连接DG、CG.以下结论:
①壬EG^AEC;
②/GAC=/GCA;
③DG=DC;
根据BE=AE,ZGBE=/CAE,ZBEG=/CEA可判定①厶BEG^AEC;
用反证法证明②/GAC工/GCA,
假设/GAC=/GCA,则有AAGC为等腰三角形,F为AC的中点,又BF丄AC,可证得AB=BC,与
题设不符;
由①知△BEG^zAEC所以GE=CE连接ED、四边形ABED为平行四边形,
v/\BC=45°
AE丄BC于点E,:
/3ED=ZCED=45°
•••/GED也△ED,:
DG=DC;
(X2-2x+1-1)…
(X-1)2+丄,
因此,Szagc=Saec-Sgec=
“x2-2x)=-
④设AG为X,则易求出GE=EC=2-X
当X取1时,面积最大,所以AG等于1,所以G是AE中点,故G为AE中点时,GF最长,故此时厶AGC的面积有最大值.
故正确的个数有3个.故选C.
3.如图,正方形ABCD中,在AD的延长线上取点E,F,使DE=AD,DF=BD,
连接BF分别交CD,CE于H,G下列结论:
①EC=2DG:
②ZGDH=ZGHD;
3Szcdg=S?
dhge:
④图中有8个等腰三角形.其中正确的是()
4
D
EF
z
s
c
A.①③B.②④C.①④D.②③
解:
VDF=BD,a/DFB=ZDBF,
••AD//BC,DE=BC,:
zDEC=ZDBC=45°
二DEC=2ZEFB,
•••zEFB=22.5°
£
GB=/CBG=22.5°
,-CG=BC=DE,
VDE=DC,a/DEG=ZDCE,
•zGHC=ZCDF+ZDFB=90°
=112.5°
ZDGE=180。
-(启GD+ZEGF)=180。
-(启GD+ZBGC),=180°
-180°
-BCG)-2=180°
-180°
-5°
)乞=112.5•••zGHC=ZDGE,azCHG也£
GD,二左DG=ZCGB=ZCBF,
•••zGDH=BGHD,.Scdg=S?
dhge.故选D.
5
^2007
形ABC2O2•…,依此类推,则平行四边形
ABC2009O2009的面积为(
•如图,矩形ABCD的面积为5,它的两条对角线交于点Oi,以AB,AOi为两邻边作平行四边形ABC1O1,平行四边形ABC1O1的对角线交BD于点02,同样以AB,AO2为两邻边作平行四边
•••矩形ABCD的对角线互相平分,面积为5,二平行四边形ABC1O1的面积为上,
•••平行四边形ABC1O1的对角线互相平分,二平行四边形ABC2O2的面积为二2二'
,…,
2222依此类推,平行四边形ABC2009O2009的面积为一^•故选B.
5.(2013?
牡丹江)如图,在△ABC中ZA=60°
BM丄AC于点M,CN丄AB于点N,
P为BC边的中点,连接PM,PN,则下列结论:
①PM=PN:
②』二丄;
ABAC
③△"
MN为等边三角形;
④当/ABC=45。
时,BN=:
:
PC.其中正确的个数是()
①VBM丄AC于点M,CN丄AB于点N,P为BC边的中点,
•••PM二一BC,PN二丄BC,:
PM=PN,正确;
22
2在△ABM与AACN中,
vzA=ZA,/AMB=ZANC=90°
ABM^zACN,二,正确;
'
'
ABAC'
3v/A=60°
BM丄AC于点M,CN丄AB于点N,:
zABM=ZACN=30在AABC中,ZBCN+/CBMT80°
-60°
£
0°
送=60°
•••点P是BC的中点,BM丄AC,CN丄AB,:
PM=PN=PB=PC,
•••zBPN=2ZBCN,/CPM=2/CBM,
•••/BPN+ZCPM=2(ZBCN+/CBM)=2X60°
120°
/•JMPN=60°
APMIN是等边三角形,正确;
4当/ABC=45。
时,,CN丄AB于点N,
•••zBNC=90。
,启CN=45°
BN=CN,
VP为BC边的中点,•••PN丄BC,£
PN为等腰直角三角形
•••BN=|©
PB='
PC,正确.故选D.
6.(2012?
黑河)Rt△ABC中,AB=AC,点D为BC中点./MDN=90。
,/IDN绕点D旋转,
DM、DN分别与边AB、AC交于E、F两点.下列结论:
©
(BE+CF)=^BC;
②Szaef气S^bc:
③S四边形aedf=AD?
EF;
tRt△KBC中,AB=AC,点D为BC中点,:
/C=/BAD=45°
AD=BD=CD,
••』DN=90°
AADE+ZADF=ZADF+/CDF=90°
rZEAD=ZC
•••zADE=/CDF.在△AED与ACFD中,「,
LZade=Zcdf
•••△ED^zCFD(ASA),/-AE=CF,
在Rt△ABD中,BE+CF=BE+AE=AB=^^^=^BD=^BC.故①正确;
设AB=AC=a,AE=CF=x,贝UAF=a-x.
E?
AF=—x(a-x)=-
••Szaef=
(x-ga)2+ga2,•当x=*a时,Szaef有最大值士a2,
ZCJZo
又'
••二Szabc==X—a2=丄a2,-Szaef^Szabc.故②正确;
44284
E$=AE2+AF2=x2+(a-x)2=2(x-土a)2+ga2,:
当x=ga时,EF2取得最小值亍a2,
.••EF》a(等号当且仅当x=—a时成立),
而AD==a,AEF^AD.故④错误;
由①的证明知△AED也ZFD,
•'
•S四边形aedf=Szaed+Szadf=Szcfd+Szadf=sZADCF2,
VEF^AD,:
AD?
EF》AD2,:
EF>
S四边形aedf故③错误;
当E、F分别为AB、AC的中点时,四边形AEDF为正方形,此时AD与EF互相平分.
故⑤正确.
综上所述,正确的有:
①②⑤,共3个.故选C.
7.如图,在正方形纸片ABCD中,对角线AC、BD交于点0,折叠正方形纸片ABCD,使AD落在BD上,点A恰好与BD上的点F重合,展开后折痕DE分别交AB、AC于点E、G,连接GF.下
标准文档
C
中正确的结论有()
列结论①/ADG=22.5°
②tanZAED=2:
③Szagd=S△ogd;
④四边形AEFG是菱形;
⑤BE=2OG•其
A.①④⑤B.①②④C.③④⑤D.②③④
•••四边形ABCD是正方形,:
/GAD=zSADO=45°
由折叠的性质可得:
/ADG==ZADO=22.5。
,故①正确.
vtanZAED=2,由折叠的性质可得:
AE=EF,ZEFD=ZEAD=90°
-Tj-L1
•••AE=EFvBE,:
AEvgAB,AtanZAED=^>
2,故②错误.
vzAOB=90°
,-AG=FG>
OG,△AGD与△OGD同高,
「•SzAGD>
SZOGD,故③错误.
v/EFD=ZAOF=90°
.EF//AC,:
zFEG=ZAGE,
vzAGE=ZFGE,a/FEG=ZFGE,aEF=GF,
VAE=EF,AAE=GF,故④正确.
VAE=EF=GF,AG=GF,AAE=EF=GF=AG,
a四边形AEFG是菱形,a/OGF=ZOAB=45°
•••EF=GF=.9G,:
BE=.二EF=-:
OG=2OG.故⑤正确.
a其中正确结论的序号是:
①④⑤.故选:
A.
8.如图,正方形ABCD中,O为BD中点,以BC为边向正方形内作等边厶BCE,连接并延长AE
交CD于F,连接BD分别交CE、AF于G、H,下列结论:
①/CEH=45°
QBF//DE;
③2OH+DH=BD;
®
BgMdG:
⑤込eL弘販^^^.
其中正确的结论是()
A
X
F
8
A.①②③B.①②④C.①②⑤D.②④⑤
①由/ABC=90°
BEC为等边三角形,△ABE为等腰三角形,/AEB+ZBEC+/CEH=180
可求得ZCEH=45。
,此结论正确;
②由AEGD也^FE,EF=GD,再由AHDE为等腰三角形,/DEH=30°
得出AHGF为等腰三角形,/HFG=30。
,可求得GF//DE,此结论正确;
3由图可知2(OH+HD)=2OD=BD,所以2OH+DH=BD此结论不正确;
4如图,过点G作GM丄CD垂足为M,GN丄BC垂足为N,设GM=x,贝UGN=:
x,进一步利用勾股定理求得GD=:
:
x,BG=.,x,得出BG=」GD,此结论不正确;
5由图可知ABCE和△BCG同底不等高,它们的面积比即是两个三角形的高之比,
由④可知厶BCE的高为J(-x+x)和ABCG的高为一a,
因此S/BCE:
SzbCG=¥
^(M^X+X):
V^x=迟+],此结论正确;
故正确的结论有①②⑤.故选C.
9.如图,在正方形ABCD中,AB=4,E为CD上一动点,AE交BD于F,过F作FH丄AE于H,过H作GH丄BD于G,下列有四个结论:
①AF=FH,②ZHAE=45。
,③BD=2FG,④△CEH的周
长为定值,其中正确的结论有()
E
A.①②③B.①②④C.①③④D.①②③④
(1)连接FC,延长HF交AD于点L,
VBD为正方形ABCD的对角线,:
/ADB=ZCDF=45°
.
VAD=CD,DF=DF,:
ZADF也△DF.:
FC=AF,/ECF=ZDAF.
V/ALH+ZLAF=90°
LHC+ZDAF=90°
v/ECF=ZDAF,:
ZFHC=ZFCH,:
FH=FC.aFH=AF.
(2)VFH丄AE,FH=AF,:
ZHAE=45
(3)连接AC交BD于点0,可知:
BD=20A,
V/AF0+/GFH=/GHF+ZGFH,;
zAF0=/GHF.
••AF=HF,ZA0F=ZFGH=90°
AOF^/EGH.a0A=GF.
VBD=2OA,ABD=2FG.
(4)延长AD至点M,使AD=DM,过点C作CI//HL,贝U:
LI=HC,根据△MEC也©
M,可得:
CE=IM,同理,可得:
AL=HE,•••HE+HC+EC=AL+LI+IM=AM=8.azcEH的周长为8,为定值.
故
(1)
(2)(3)(4)结论都正确.故选D.
10.正方形ABCD、正方形BEFG和正方形RKPF的位置如图所示,
ARE
点G在线段DK上,正方形BEFG的边长为4,则ADEK的面积为(
故选D.
A.10B.12C.14D.16
如图,连DB,GE,FK,贝UDB//GE//FK,
在梯形GDBE中,SZDGE=SAGEB(同底等高的两三角形面积相等),同理SZGKE=SA3FE.
二•填空题
1•如图,观察图中菱形的个数:
图1中有1个菱形,图2中有5个菱形,图3中有14个菱形,
图4中有30个菱形…,则第6个图中菱形的个数是个.
ffil图2郢圏4
观察图形,发现规律:
图1中有1个菱形,图2中有1+22=5个菱形,
图3中有5+32=14个菱形,图4中有14+42=30个菱形,
则第5个图中菱形的个数是30+52=55,第6个图中菱形的个数是55+62=91个.故答案为91.
2.如图,在△ABC中,ZA=a./ABC与/ACD的平分线交于点A1,得ZA1;
ZA1BC与ZA1CD的平分线相交于点A2,得/A2;
…;
ZA2011BC与ZA2011CD的平分线相交于点A2012,得ZA2012,贝UZA2012=
tZABC与ZACD的平分线交于点Ai,
•••ABC专ZABC'
SCD专ZACD,
a=
d
9,,
22
a
^2012•
同理可得,ZA2=2ZAi=
•A+ZA1BC=ZAzZABS
(ZA+ZABC),整理得,
根据三角形的外角性质,/A+ZABC=ZACD,ZAi+ZAiBC=ZAiCD,
C作CAi丄AB,垂足为Ai,再过Ai作
3.如图,已知Rt△KBC中,AC=3,BC=4,过直角顶点
AiCi丄BC,垂足为Ci,过Ci作C1A2丄AB,垂足为A2,再过A2作A2C2丄BC,垂足为C2,…,
.caI1
这样一直做下去,得到了一组线段CAi,AiCi,CiA2,…,则CAi=—,■'
=-.
—5—A5C5一4一
在Rt△ABC中,AC=3,BC=4,:
AB=:
二:
-,
又因为CAi丄AB,•寺B?
CAi=£
aC?
BC,
•C4A5丄AB,.°
.ZBA5C4sZBCA,
AC-BC
3X4
12
AB
5.
即CAi=
4.如图,点Al,A2,A3,A4,…,An在射线OA上,点Bl,B2,B3,…,Bn-1在射线OB上,且
A1B1//A2B2//A3B3//-/An-iBn-1,A2B1//A3B2//A4B3//…AnBn-1‘△AlAzBl,…,A\n
电B1_
OB】
0A1
OB/
oa2
A2B2
ob2
_1
A評3
=2,
-lAnBn-1为阴影三角形,若△A2B1B2,△A3B2B3的面积分别为1、4,则M1A2B1的面积为;
—2—
面积小于2011的阴影三角形共有6个.
由题意得,△A2B1B2SZA3B2B3,
又TA1B1//A2B2//A3B3,
••qasa,B1B24B2B3
继而可得出规律:
A1A2=£
a2A3==A3A4…;
B1B2=^B2B3=丄B3B4…
2424
又△A2B1B2,△A3B2B3的面积分别为1、4,.°
.SzA1B1A2=—,S/A2B2A3=2,
继而可推出S/A3B3A4=8,S/A4B4A5=32,S^A5B5A6=128,SZA6B6A7=512,SZA7B7A8=2048,故可得小于2011的阴影三角形的有:
△A1B1A2,△A2B2A3,^A3B3A4,AA4B4A5’△A5B5A6’△A6B6A7,共6个.故答案是:
二;
6.
Bi、B2,过点B2作AiBi的平行线交直线I于点A,在x轴上取一点B3,使得A2B3=A2B2,再过
下去,则①a=_二―②M4B4B5的面积是
点B3作A2B2的平行线交直线I于点A3,在X轴上取一点B4,使得A3B4=A3B3,按此规律继续作
1将点Ai(a,i)代入直线i中,可得零护1,所以a=^.
2△AiBiB2的面积为:
S=_x\x^=^;
因为△OAiBiSZOA2B2,所以2AiBi=A2B2,又因为两线段平行,可知△AiBiB2SZA2B2B3,所以M2B2B3的面积为Si=4S;
以此类推,△A4B4B5的面积等于64S==:
.
6.如图,在梯形ABCD中,AD//BC,EA丄AD,M是AE上一点,F、G分别是AB、CM的中点,且/BAE=ZMCE,/MBE=45。
,则给出以下五个结论:
①AB=CM:
②AE丄BC;
③/BMC=90°
;
•••梯形ABCD中,AD//BC,EA丄AD,:
AE丄BC,即②正确.
VJMBE=45°
,-BE=ME.在z\ABE与△CME中,
v/BAE=ZMCE,ZAEB=ZCEM=90°
BE=ME,azABE也QME,:
AB=CM,即①正确.
VJMCE=ZBAE=90°
-ZBEv90°
-ZBE=45°
ZCE+ZMBCv90°
/.Z3MC>
90。
,即③⑤错误.
vZ\EB=ZCEM=90°
F、G分别是AB、CM的中点,:
EF=」AB,EG~CM.
又vAB=CM,aEF=EG,即④正确.
故正确的是①②④.
7.如图,边长为1的菱形ABCD中,ZDAB=60度.连接对角线AC,以AC为边作第二个菱形
ACC1D1,使ZDiAC=60°
连接ACi,再以ACi为边作第三个菱形AC1C2D2,使ZD2ACi=60°
按此规律所作的第n个菱形的边长为.
连接DB,
•••四边形ABCD是菱形,aAD=AB.AC丄DB,
•••JDAB=60°
AADB是等边三角形,
•••DB=AD=1,ABM=丄,:
AM=-二;
,"
0='
;
2V42
同理可得ACi=;
AC=C;
)2,AC2=.「;
ACi=3.一;
=(.-;
)3,
按此规律所作的第n个菱形的边长为(.「;
)n一1故答案为(:
)^1
8.如图,将矩形ABCD的四个角向内折起,恰好拼成一个既无缝隙又无重叠的四边形EFGH,若
EH=3,EF=4,那么线段AD与AB的比等于—.
—24;
AHD
/仁Z2,Z3=Z4,a/2+73=90°
二HEF=90°
同理四边形EFGH的其它内角都是90°
A四边形EFGH是矩形.
•••EH=FG(矩形的对边相等);
又•••"
+74=90°
7+75=90°
二7=Z5(等量代换),
同理75=77=Z8,A/1=Z8,
•••Rt△KHE李tZCFG,AAH=CF=FN,
又VHD=HN,AAD=HF,
在Rt△HEF中,EH=3,EF=4,根据勾股定理得HF={ehSEF?
HF=5,
又THE?
EF=HF?
EM,:
EM=良,
又•••AE=EM=EB(折叠后A、B都落在M点上),•••AB=2EM=里
AD:
AB=5:
24=
马•故答案为:
25
2』
9•如图,E、F分别是平行四边形ABCD的边AB、CD上的点,AF与DE相交于点P,
BF与CE相交于点Q,若S/APD=15cm2,S少Qc=25cm2,则阴影部分的面积为cm2.
••'
△DF与ADEF同底等咼,二Szadf=Szdef
即S/ADF—S/DPF=SADEF-S/DPF,即SZAPD=SZEPF=15cm2,
同理可得SzBQC=SZ£
FQ=25cm2,
阴影部分的面积为S^epf+S^EFQ=15+25=40cm2.故答案为40.
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