小学二年级奥数下册第十讲 枚举法习题+答案Word格式文档下载.docx
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将各种路线一一列出,可知共6条,见下图.
注意,如果题中不要求将路径一一画出,可采用如右图所示方法较为便捷.图中交点处的数字表示到达该点的路线条数,如O点处的数字2,表示由A到O有2条不同的路径,见上图中的
(1)和
(2);
又H点处的数字3的意义也如此,见上图中的
(1)、
(2)、(3)可知有3条路径可由A到H.仔细观察,可发现各交点处的数字之间的关系,如O点的2等于F点和E点的数字相加之和,即1+1=2,又如,C点的6等于G点和H点的数字相加之和,即3+3=6.
例3在10和31之间有多少个数是3的倍数?
由尝试法可求出答案:
3×
4=123×
5=153×
6=183×
7=21
8=243×
9=273×
10=30
可知满足条件的数是12、15、18、21、24、27和30共7个.
注意,倘若问10和1000之间有多少个数是3的倍数,则用上述一一列举的方法就显得太繁琐了,此时可采用下述方法:
10÷
3=3余1,可知10以内有3个数是3的倍数;
1000÷
3=333余1,可知1000以内有333个数是3的倍数;
333-3=330,则知10~1000之内有330个数是3的倍数.
由上述这些例题可体会枚举法的优点和缺点及其适用范围.
例4两个整数之积为144,差为10,求这两个数?
列出两个数积为144的各种情况,再寻找满足题目条件的一对出来:
123468912
14472483624181612
可见其中差是10的两个数是8和18,这一对数即为所求.
例512枚硬币的总值是1元,其中只有5分和1角的两种,问每种硬币各多少个?
列举出两种硬币的可能搭配:
可见满足题目要求的搭配是:
四个5分币,八个1角币.
例6小虎给4个小朋友写信.由于粗心,在把信纸装入信封时都给装错了.4个好朋友收到的都是给别人的信.问小虎装错的情况共有多少种可能?
把4封信编号:
1,2,3,4.
把小朋友编号,友1,友2,友3,友4.
并假定1号信是给友1写的,2号信是给友2写的,3号信是给友3的,4号信是给友4写的:
再把各种可能的错装情况列成下表:
说明:
如第一种错收情况是友1得2号信,友2得了1号信,友3得了4号信,友4得了3号信.
习题十
1.一个长方形的周长是22米,如果它的长和宽都是整米数,问:
①这个长方形的面积有多少可能值?
②面积最大的长方形的长和宽是多少?
2.有四种不同面值的硬币各一枚,它们的形状也不相同,用它们共能组成多少种不同钱数?
3.三个自然数的乘积是24,问由这样的三个数所组成的数组有多少个?
如(1,2,12)就是其中的一个,而且要注意数组中数字相同但顺序不同的算作同一数组,如(1,2,12)和(2,12,1)是同一数组.
4.小虎给3个小朋友写信,由于粗心,把信装入信封时都给装错了,结果3个小朋友收到的都不是给自己的信,请问小虎错装的情况共有多少种可能?
5.一个学生假期往A、B、C三个城市游览.他今天在这个城市,明天就到另一个城市.假如他第一天在A市,第五天又回到A市.问他的游览路线共有几种不同的方案?
6.下图中有6个点,9条线段,一只甲虫从A点出发,要沿着某几条线段爬到F点.行进中甲虫只能向右、向下或向右下方运动.问这只甲虫有多少种不同的走法?
7.小明有一套黄色数字卡片、、,有一套蓝色数字卡片、、.一天他偶然用卡片做了下面的游戏:
把不同色的卡片交叉配对,一次配成3对,然后把每对卡片上的黄蓝数字相乘之后再相加求和,你知道他共找到了多少种配对相乘求和的方式吗?
比如说下面是其中一种:
8.五个学生友1,友2,友3,友4,友5一同去游玩,他们将各自的书包放在了一处.分手时友1带头开了个玩笑,他把友2小朋友的书包拿走了,后来其他的小朋友也都拿了别人的书包.试问在这次玩笑中故意错拿书包的情形有多少种不同方式?
习题十解答
1.解:
这个长方形的长和宽之和是22÷
2=11(米),由长方形的面积=长×
宽,可知:
由上表可见面积最大的长方形的长是6米、宽是5米,面积是30平方米.
猜想:
由本讲的例1和习题1这两题来看,周长一定的所有长方形中,长和宽相等或相近那个长方形面积最大.这是有名的“等周问题”的特例.
2.解:
把各种不同的组合及其对应的钱数列表枚举如下:
数一数可知,能组成15种不同的钱数.注意它们是从1到15的15个自然数:
1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15.
3.解:
不计数组中数的顺序,所有乘积为24的三个数所组成的数组共有6组,枚举如下:
(1,1,24),(1,2,12),(1,3,8),
(1,4,6),(2,2,6),(2,3,4).
4.解:
把三封信编号为1号、2号、3号;
把三个小朋友编号为友1、友2、友3;
1号、2号、3号信应该分别发给友1、友2、友3。
按题意,友1没有收到给自己的1号信,他只可能收到2号或3号信.
当友1收到2号信时,友2只可能收到3号信,则友3收到1号信;
当友1收到3号信时,友2只可能收到1号信,则友3收到2号信.
可见共有2种可能的错装情况,列表更为清楚,
5.解:
请看下面的树形图.
可见他第五天回到A市的不同游览路线共有6种,分别是:
①A→B→A→B→A④A→C→A→B→A
②A→B→A→C→A⑤A→C→A→C→A
③A→B→C→B→A⑥A→C→B→C→A.
6.解:
经过E点的有3条路线,不经过E点的有2条路线,共有5条不同的路线,见下图.
7.解:
可以按下面的方法找出所有不同的配对相乘求和方式:
可见共有6种不同的配对相乘求和方式,其中第①种情况(可叫做同序配对)各乘积之和最大,第⑥种情况(可叫做逆序配对)各乘积之和最小.
如果你感兴趣,可以进一步问,这个结果有普遍性吗?
我们再进一步探讨一下:
结果和上述相同.
2.假如黄蓝卡片各有4张,不同的配对方式有很多.
(4×
3×
2×
1=24种,这点同学们以后就会明白!
)
我们找几种情况试一试:
1序配对:
②逆序配对
③交叉配对
交叉配对
可见:
同序配对,各乘积之和最大:
30
逆序配对,各乘积之和最小:
20
交叉配对,各乘积之和居中:
大于20小于30.
两个项数相同的数列配对相乘积之和,同序配对时最大,逆序配对时最小,交叉配对时在最小值和最大值之间.
8.解:
设友1、友2、友3、友4、友5的书包分别是1号、2号、3号、4号、5号.因为友1拿了2号书包,那么友2就有拿1号、3号、4号和5号书包的四种可能.如果友2拿了1号书包,友3拿了4号书包,友4拿了5号书包,友5拿了3号书包,这就是一种错拿方式.其他方式看如下的树形图.
数一数,共有11种不同的错拿方式.
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