1990年全国高考数学文科.docx
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1990年全国高考数学文科
1990年全国高考数学(文科)试题及其解析
考生注意:
本试题共三道大题(
26个小题),满分
120分.
一.选择题(共15小题,每小题3分,满分45分.每小题都给出代号为A,B,C,D的四
个结论,其中只有一个结论是正确的,把你认为正确结论的代号写在题后的圆括号内.每一
个小题选对得3分,不选或选错一律得0分)
A.甲是乙的充分条件,但不是乙的必要条件.
B.甲是乙的必要条件,但不是乙的充分条件.
C.甲是乙的充要条件.
D.甲不是乙的充分条件,也不是乙的必要条件.
二、填空题:
(共5小题,每小题3分,满分15分.把答案填在题中横线上.)
三、解答题.(共6小题,满分60分)
21.(满分10分)有四个数,其中前三个数成等差数列,后三个数成等比数列,并且第一个数与第四个数的和是16,第二个数与第三个数的和是12,求这四个数.
22.(满分8分)
23.(满分8分)如图,在三棱锥S-ABC中,SA⊥底面ABC,AB⊥BC.DE垂直平分SC,且分别交AC、SC于D、E.又SA=AB,SB=BC.求以BD为棱,以BDE与BDC为面的二面角的度数.
2
24.(满分10分)已知a>0,a≠1,解不等式loga(4+3x-x)-loga(2x-1)>loga2.
2
25.(满分12分)设a≥0,在复数集C中解方程z+2│z│=a.
26.(满分12分)
参考答案及其解析
一、选择题:
本题考查基本知识和基本运算.
(1)A
(2)C
(3)D
(4)B
(5)D
(6)C
(7)A
(8)B
(9)A
(10)C
(11)B
(12)D
(13)A
(14)C
(15)B
二、填空题:
本题考查基本知识和基本运算.
三、解答题.
(21)本小题考查等差数列、等比数列的概念和运用方程(组)解决问题的能力.
依题意有
由②式得d=12-2a.③
整理得a-13a+36=0.
2
解得a=4,a=9.
1
2
d
=-6.
代入③式得
d=4,
1
2
从而得所求四个数为
0,4,8,16或15,9,3,1.
解法二:
设四个数依次为x,y,12-y,16-x.
依题意,有
由①式得x=3y-12.
③
将③式代入②式得
y(16-3y+12)=(12-y)2,
整理得y-13y+36=0.
2
解得y1=4,y2=9.
=0,x=15.
代入③式得
x
1
2
从而得所求四个数为
0,4,8,16或15,9,3,1.
(22)本小题考查三角公式以及三角函数式的恒等变形和运算能力
.
解法一:
由已知得
两式相除得
解法二:
如图,不妨设0≤α≤β<2π,且点A的坐标是(cosα,sinα),点B的坐标是
(cosβ,sinβ),则点A,B在单位圆x2+y2=1上.连结AB,若C是AB的中点,由题设知点C
连结OC,于是OC⊥AB,若设点D的坐标是(1,0),再连结OA,OB,则有
解法三:
由题设得4(sinα+sinβ)=3(cosα+cosβ).
将②式代入①式,可得
sin(α-)=sin(-β).
于是α-=(2k+1)π-(
-β)(k∈Z),
或
α-=2kπ+(-β)(k∈Z).
若
α-=(2k+1)π-(
-β)(k∈Z),则α=β+(2k+1)π(k∈Z).
于是sinα=-sinβ,即sinα+sinβ=0.
由此可知α-=2kπ+(-β)(k∈Z).
即α+β=2+2kπ(k∈Z).
(23)本小题考查直线和平面,直线和直线的位置关系,二面角等基本知识,以及逻辑推理能力和空间想象能力.
解法一:
由于SB=BC,且E是
中线,所以SC⊥BE.
SC的中点
因此
BE是等腰三角形
SBC
的底边
SC的
又已知SC⊥DE,BE∩DE=E,
∴SC⊥面BDE,
∴SC⊥BD.
又∵SA⊥底面ABC,BD
在底面
ABC
上,∴SA⊥BD.
而SC∩SA=S,∴BD⊥面SAC.
∵DE=面SAC∩面BDE,DC=面SAC∩面BDC,
∴BD⊥DE,BD⊥DC.
∴∠EDC是所求的二面角的平面角.
∵SA⊥底面ABC,∴SA⊥AB,SA⊥AC.
又已知DE⊥SC,所以∠EDC=60°,即所求的二面角等于60°.
解法二:
由于SB=BC,且E是SC的中点,因此BE是等腰三角形SBC的底边SC的
中线,所以SC⊥BE.
又已知SC⊥DE,BE∩DE=E.
∴SC⊥面BDE,
∴SC⊥BD.
由于SA⊥底面ABC,且A是垂足,所以AC是SC在平面ABC上的射影.由三垂线定理的逆定理得BD⊥AC;又因E∈SC,AC是SC在平面ABC上的射影,所以E在平面
ABC上的射影在AC上,由于D∈AC,所以DE在平面ABC上的射影在AC上,根据三垂线定理又得BD⊥DE.
∵DE面BDE,DC面BDC,
∴∠EDC是所求的二面角的平面角.
以下同解法一.
(24)本小题考查对数,不等式的基本知识及运算能力.
解:
原不等式可化为
loga(4+3x-x2)>loga2(2x-1).①
当0 即当0 当a>1时,①式等价于 (25)本小题考查复数与解方程等基本知识以及综合分析能力 解法一: 设z=x+yi,代入原方程得 . 于是原方程等价于方程组 由②式得 别加以讨论. 情形1. y=0或x=0.由此可见,若原方程有解,则其解或为实数或为纯虚数 若y=0,即求原方程的实数解z=x.此时,①式化为 .下面分 x2+2│x│=a. ③ (Ⅰ)令x>0,方程③变为x2+2x=a.④ 由此可知: 当a=0时,方程④无正根; (Ⅱ)令x<0,方程③变为x2-2x=a.⑤ 由此可知: 当a=0时,方程⑤无负根; (Ⅲ)令x=0,方程③变为0=a.⑥ 由此可知: 当a=0时,方程⑥有零解x=0; 当a>0时,方程⑥无零解. 所以,原方程的实数解是: 当a=0时,z=0; 情形2.若x=0,由于y=0的情形前已讨论,现在只需考查y≠0的情形,即求原方程的纯虚数解z=yi(y≠0).此时,①式化为 -y2+2│y│=a.⑦ (Ⅰ)令y>0,方程⑦变为-y2+2y=a,即(y-1)2=1-a.⑧ 由此可知: 当a>1时,方程⑧无实根. 从而,当a=0时,方程⑧有正根y=2; (Ⅱ)令y<0,方程⑦变为-y2-2y=a,即(y+1)2=1-a.⑨ 由此可知: 当a>1时,方程⑨无实根. 从而,当a=0时,方程⑨有负根y=-2; 所以,原方程的纯虚数解是: 当a=0时,z=±2i; 而当a>1时,原方程无纯虚数解. 解法二: 设z=x+yi,代入原方程得 于是原方程等价于方程组 由②式得y=0或x=0.由此可见,若原方程有解,则其解或为实数,或为纯虚数.下面分 别加以讨论. 情形1. 若y=0,即求原方程的实数解 z=x.此时,①式化为 x2+2│x│=a. 情形2.若x=0,由于y=0的情形前已讨论,现在只需考查y≠0的情形,即求原方程的纯虚数解z=yi(y≠0).此时,①式化为 -y2+2│y│=a. 当a=0时,因y≠0,解方程④得│y│=2, 即当a=0时,原方程的纯虚数解是z=±2i.
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- 1990 全国 高考 数学 文科
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