精编高考数学理科专题突破练习题7概率与其他知识的交汇和答案.docx
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精编高考数学理科专题突破练习题7概率与其他知识的交汇和答案
专题突破练(7) 概率与其他知识的交汇
一、选择题
1.在区间内任取一个元素x0,抛物线x2=4y在x=x0处的切线的倾斜角为α,则α∈的概率为( )
A.B.C.D.
答案 C
解析 当切线的倾斜角α∈时,切线斜率的取值范围是(-∞,-1]∪∪内取值,则只能取区间∪内的值,这个区间的长度是8,区间的长度是12,故所求的概率是=.
2.从1,2,…,9中任取两数,其中:
①恰有一个偶数和恰有一个奇数;②至少有一个奇数和两个数都是奇数;③至少有一个奇数和两个数都是偶数;④至少有一个奇数和至少有一个偶数.
在上述事件中,是对立事件的是( )
A.①B.②④C.③D.①③
答案 C
解析 从1,2,…,9中任取两数,包括一奇一偶、二奇、二偶,共三种互斥事件,所以只有③中的两个事件才是对立事件.
3.在第3、6、16路公共汽车的一个停靠站(假定这个车站只能停靠一辆公共汽车),有一位乘客需在5分钟之内乘上公共汽车赶到厂里,他可乘3路或6路公共汽车到厂里,已知3路车和6路车在5分钟之内到此车站的概率分别为0.20和0.60,则该乘客在5分钟内能乘上所需要的车的概率为( )
A.0.20B.0.60C.0.80D.0.12
答案 C
解析 “该乘客在5分钟内能乘上所需要的车”记为事件A,则3路或6路车有一辆在5分钟内路过即事件A发生,故P(A)=0.20+0.60=0.80.
4.从集合A={-3,-2,-1,2}中随机选取一个数记为k,从集合B={-2,1,2}中随机选取一个数记为b,则直线y=kx+b不经过第四象限的概率为( )
A.B.C.D.
答案 C
解析 从集合A={-3,-2,-1,2}中随机选取一个数记为k,从集合B={-2,1,2}中随机选取一个数记为b,构成的基本事件共有4×3=12个.直线y=kx+b不经过第四象限,要求k>0,b>0,满足此要求的基本事件共有2个,所以直线y=kx+b不经过第四象限的概率为=.
5.设随机变量ξ服从正态分布N(μ,σ2),函数f(x)=x2+4x+ξ没有零点的概率是,则μ等于( )
A.1B.2C.4D.不能确定
答案 C
解析 函数f(x)=x2+4x+ξ没有零点时,Δ=16-4ξ<0,即ξ>4,根据正态曲线的对称性,当函数f(x)=x2+4x+ξ没有零点的概率是时,μ=4.
6.已知某批零件的长度误差(单位:
毫米)服从正态分布N(0,32),从中随机取一件,其长度误差落在区间(3,6)内的概率为( )
(附:
若随机变量ξ服从正态分布N(μ,σ2),则P(μ-σ<ξ<μ+σ)=68.26%,P(μ-2σ<ξ<μ+2σ)=95.44%.)
A.4.56%B.13.59%C.27.18%D.31.74%
答案 B
解析 P(-3<ξ<3)=68.26%,P(-6<ξ<6)=95.44%,则P(3<ξ<6)=×(95.44%-68.26%)=13.59%.
7.在区间上任取两个实数a,b,则函数f(x)=x2+ax-b2+1没有零点的概率是( )
A.B.C.D.
答案 D
解析 因为函数f(x)=x2+ax-b2+1没有零点,所以Δ=a2-4b2+1<0,得a2+b2<4,作出以及a2+b2<4表示的可行域如图所示,
故由几何概型得所求概率为P===.故选D.
二、填空题
8.甲、乙两人在5次综合测评中成绩的茎叶图如图所示,其中一个数字被污损,记甲、乙的平均成绩分别为甲,乙,则甲>乙的概率是________.
答案
解析 乙的综合测评成绩为86,87,91,92,94,乙==90,污损处可取数字0,1,2,…,9,共10种,而甲>乙发生对应的数字有6,7,8,9,共4种,故甲>乙的概率为=.
9.将一颗骰子投掷两次,第一次出现的点数记为a,第二次出现的点数记为b,设任意投掷两次使l1:
x+ay=3,l2:
bx+6y=3平行的概率为P1,不平行的概率为P2,若点(P1,P2)在圆(x-m)2+y2=的内部,则实数m的取值范围是________.
答案 - 解析 由l1∥l2得ab=6且a≠6,b≠1,满足条件的(a,b)为(1,6),(2,3),(3,2),而所有的(a,b)有6×6=36种, ∴P1=,P2=,∴2+2<,解得- 10.若从区间(0,e)内随机取两个数,则这两个数之积不小于e的概率为________. 答案 1- 解析 设两个随机数为x,y, 则且xy≥e,即y≥.作出不等式组对应的 平面区域以及y≥对应的区域如图所示,则阴影部分的面积为 三、解答题 11.某品牌手机厂商推出新款的旗舰机型,并在某地区跟踪调查得到这款手机上市时间(x个月)和市场占有率(y%)的几组相关对应数据: x 1 2 3 4 5 y 0.02 0.05 0.1 0.15 0.18 (1)根据上表中的数据,用最小二乘法求出y关于x的线性回归方程; (2)根据 (1)得到的回归方程,分析该款旗舰机型市场占有率的变化趋势,并预测自上市起经过多少个月,该款旗舰机型市场占有率能超过0.5%(精确到月). 附: =,=-. 解 (1)经计算=0.042,=-0.026,所以线性回归方程为=0.042x-0.026. (2)由 (1)中回归方程可知上市时间与市场占有率正相关,即上市时间每增加1个月,市场占有率就增加0.042个百分点. 由=0.042x-0.026>0.5,解得x≥13,预计上市13个月时,该款旗舰机型市场占有率能超过0.5%. 12.某中学为研究学生的身体素质与课外体育锻炼时间的关系,对该校200名高三学生的课外体育锻炼平均每天运动的时间进行调查,如下表: 平均每天锻炼 的时间(单位: 分钟) [0,10) [10,20) [20,30) [30,40) [40,50) [50,60) 总人数 20 36 44 50 40 10 将学生日均课外体育锻炼时间在从某企业生产的某种产品中抽取100件,测量这些产品的质量指标值,由测量结果得到如图所示的频率分布直方图,质量指标值落在区间内的频率之比为4∶2∶1. (1)求这些产品质量指标值落在区间内的频率; (2)若将频率视为概率,从该企业生产的这种产品中随机抽取3件,记这3件产品中质量指标值位于区间内的频率为x,则产品质量指标值落在区间内的频率为0.05. (2)从该企业生产的该种产品中随机抽取3件,相当于进行了3次独立重复试验,所以X服从二项分布B(n,p),其中n=3. 由 (1)得产品质量指标值落在区间如图是某市2月1日至14日的空气质量指数趋势图及空气质量指数与污染程度对应表.某人随机选择2月1日至2月13日中的某一天到该市出差,第二天返回(往返共两天). 空气质量指数 污染程度 小于100 优良 大于100且小于150 轻度 大于150且小于200 中度 大于200且小于300 重度 大于300且小于500 严重 大于500 爆表 (1)由图判断从哪天开始连续三天的空气质量指数方差最大? (只写出结论不要求证明) (2)求此人到达当日空气质量优良的概率. (3)设X是此人出差期间(两天)空气质量中度或重度污染的天数,求X的分布列与数学期望. 解 (1)从2月5日开始连续三天的空气质量指数方差最大. (2)设Ai表示事件“此人于2月i日到达该市”(i=1,2,…,13), 根据题意,P(Ai)=,且Ai∩Aj=∅(i≠j). 设B为事件“此人到达当日空气优良”,则B=A1∪A2∪A3∪A7∪A12∪A13, 所以P(B)=P(A1∪A2∪A3∪A7∪A12∪A13)=. (3)由题意可知X的所有可能取值为0,1,2,且 P(X=1)=P(A4∪A6∪A7∪A9∪A10∪A11)=, P(X=2)=P(A5∪A8)=P(A5)+P(A8)=, P(X=0)=1-P(X=1)-P(X=2)=. 所以X的分布列为: X 0 1 2 P 故X的数学期望E(X)=0×+1×+2×=. 15.汽车4S店是一种以“四位一体”为核心的特许经营模式,包括整车销售、零配件销售、售后服务、信息反馈等.某品牌汽车4S店为了了解A,B,C三种类型汽车质量问题,对售出的三种类型汽车各取前100辆进行跟踪服务,发现各车型一年内需要维修的车辆数如下表1. (1)某公司一次性从4S店购买该品牌A,B,C型汽车各一辆,记ξ表示这三辆车一年内需要维修的车辆数,求ξ的分布列及数学期望.(把各类型汽车维修的频率视为其需要维修的概率). (2)该品牌汽车4S店为了对厂家新研发的一种产品进行合理定价,将该产品按事先拟定的各种价格进行试销相等时间,得到数据如下表2. 预计在今后的销售中,销量与单价仍然服从=bx+a,(b=-0.2,a=-b)的关系,且该产品的成本是500元/件,为使4S店获得最大利润(利润=销售收入-成本),该产品的单价应定为多少元? 表1 车型 A B C 频数 20 20 40 表2 单位x(元) 800 820 840 860 880 900 销量y(件) 90 84 83 80 75 68 解 (1)根据表格,A型车维修的概率为,B型车维修的概率为,C型车维修的概率为. 由题意,ξ的可能取值为0,1,2,3, P(ξ=0)=××=; P(ξ=1)=××+××+××=; P(ξ=2)=××+××+××=; P(ξ=3)=××=. 所以ξ的分布列为: ξ 0 1 2 3 P 所以E(ξ)=0×+1×+2×+3×=. (2)设获得的利润为w元,根据计算可得=850,=80, 代入回归方程得=-0.2x+250. 所以w=(-0.2x+250)(x-500)=-0.2x2+350x-125000, 该函数图象是开口向下,以直线x=-=875为对称轴的抛物线, 所以当x=875时,w取得最大值,即为使4S店获得最大利润,该产品的单价应定为875元. 16.某种机器在一个工作班的8小时内,需要工作人员操控累计2个小时才能正常运行,当机器需要操控而无人操控时,机器自动暂停运行.每台机器在某一时刻是否用人操控彼此之间相互独立. (1)若在一个工作班内有4台相同机器,求在同一时刻需用人操控的平均台数; (2)若要求一人操控的所有机器正常运行的概率控制在不低于0.9的水平,且该人待工而闲的概率小于0.6.试探讨: 一人操控1台、2台、3台机器这三种工作方案中,哪种方案符合要求,并说明理由. 解 (1)用X表示4台机器在同一时刻需用人操控的台数,则X服从二项分布X~B, 所以P(X=k)=Ck4-k,k=0,1,2,3,4, 于是E(X)=4×=1. (2)设X表示n台机器在同一时刻需用人操控的台数. ①当n=1时,X服从两点分布: X 0 1 P 此时,一人操控1台机器,工作人员能够及时操控机器,不会出现机器等待操控的情形,但工作人员待工而闲的概率为>0.60; ②当n=2时,P(X=k)=Ck2-k,k=0,1,2.即X的分布列为: X 0 1 2 P 2 2×× 2 此时,一人操控2台机器,在同一时刻需要操控2台机器的概率为,故一人操控的2台机器正常运行的概率为1-==0.9375>0.9.工作人员待工而闲的概率为2=0.5625<0.60; ③
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