不定积分.ppt
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一、不定积分的概念和性质一、不定积分的概念和性质dxxf)(定义定义在区间内,函数的带有任意在区间内,函数的带有任意常常数项的原函数,称为在区数项的原函数,称为在区间内间内的的不定积分,记为不定积分,记为)(xfI)(xfI任意常数任意常数被积表达式被积表达式积分号积分号积分变量积分变量CxFdxxf)()(1.1.不定积分的概念不定积分的概念nnxxnn)11(11时,当Cxndxxnn111xxx1ln0时,当Cxdxxln1解解:
dxx1例例22求求解解:
例例11求求)1(ndxxn例例33设曲线任一点处的切线斜率等于该点横设曲线任一点处的切线斜率等于该点横坐标的两倍坐标的两倍(11)求此曲线方程。
)求此曲线方程。
(22)若曲线通过()若曲线通过(1,21,2),求此曲线方程。
),求此曲线方程。
为任意常数)。
CCxxdxxf
(2)(2解:
解:
(11)设曲线方程为设曲线方程为)(xfy根据题意知根据题意知xdxdy2即即是的一个原函数是的一个原函数.由于由于)(xfx2故,2)(2xx,C1所求曲线方程为所求曲线方程为12xy显然,求不定积分得到一积分曲线族。
显然,求不定积分得到一积分曲线族。
函数函数的原函数的图形称为的原函数的图形称为的的积分曲线积分曲线。
)(xf)(xf(22)要从中选出通过点()要从中选出通过点(11,22)的一条)的一条只需将条件代入上式,得只需将条件代入上式,得2,1yx)1
(1)2(1CxdxxCxxdxln32.2.基本积分公式基本积分公式dxx211)4(CxarctankCkxkdx()1(是常数是常数)xdx2cos)8(xdx2secCxtanxdx2sin)9(xdx2cscCxcotxdxsin)7(Cxcosxdxcos)6(Cxsindxx211)5(Cxarcsinxdxxtansec)10(Cxsecxdxxcotcsc)11(Cxcscdxex)12(Cexdxax)13(Caaxln例例44求不定积分求不定积分:
Cxdxxdxxxdxxx1211)2(12112112155CxxCx6213132132解:
解:
(1)
(2)(3)(4)dxxx5dxx41dxxx731dxexx22CxCxdxxdxx3144431141)1((3)dxxx371Cxdxx13221322322Cx319193Cxx361193(44)dxedxexxx)2(222Ceex)2ln()2(22Cexx22ln22.)()(xfdxxfdxddxxfdxxfd)()(CxFdxxF)()(CxFxdF)()(3.3.不定积分的性质不定积分的性质1)2)3)dxxfkdxxfkdxxfkxfk)()()()(2211221112ln2)2()()(xxCxdxxfxf例例55已知,求已知,求解解Cxdxxfx2)()(xf)(xf二、分项积分法二、分项积分法定理定理11设,具有原函数,是常数,则设,具有原函数,是常数,则(3.63.6)(3.63.6)式称为分项积分公式,通过式)式称为分项积分公式,通过式(3.6)(3.6)计算不定计算不定积分的方法称为分项积分法积分的方法称为分项积分法.dxxgbdxxfadxxbgxaf)()()()()(xf)(xgab例例66求不定积分求不定积分解解
(1)
(1)先把分子的因式展开并分项后先把分子的因式展开并分项后,化化为幂函数的代数和形式为幂函数的代数和形式,再利用定理再利用定理3.13.1得得dxxx221)2(dxxx2)1()1(dxxx2411)3(dxxxx)1(21)4(222其中。
其中。
由于是任意常数由于是任意常数,故也是任意常数故也是任意常数.今今后求不定积分时后求不定积分时,只需对每一个不定积分求出其一只需对每一个不定积分求出其一dxxx2)1(dxxxx)2(21212332122)32(252CxCxxCxxCxxxxx2345223212CCCC321,CCCC个原函数个原函数,然后在总结果上加上任意常数然后在总结果上加上任意常数.例例如上例可以直接写为如上例可以直接写为
(2)
(2)被积函数中分子、分母的次数相同被积函数中分子、分母的次数相同,可通过分子的增减项进行多项式的除法可通过分子的增减项进行多项式的除法,即即Cdxxx2)1(dxxxx)2(212123Cxxxxx234522dxxx221dxxx22111dxx)111(2(3)3)被积函数中分子的次数高于分母被积函数中分子的次数高于分母,利利用多项式除法进行拆项用多项式除法进行拆项,即即dxxdx211Cxxarctandxxxxdxxx2222412)1)(1(11dxxx)121(22dxxdxdxx22112Cxxxarctan2313(4)当分母为两项的乘积时当分母为两项的乘积时,把分子化为这两项的和把分子化为这两项的和,可将被积函数进行拆项可将被积函数进行拆项,即即例例77求不定积分求不定积分dxxxx)1(21222dxxxxx)1()1(2222dxxdxx22111Cxxarctan1xdx2tan)1(dxx2cos)2(2解解
(1)
(1)先利用三角恒等式变形先利用三角恒等式变形,然后再求然后再求积分:
积分:
(2)
(2)由三角恒等式由三角恒等式,得得dxxxx22cossin2cos)3(dxx2cos11)4(dxxxdx)1(sectan22Cxxdxxdxtansec22cos12cos2xxdxxdxx)cos1(212cos2)cos(21xdxCxx)sin(21(3)(3)由于由于,因此因此(4)由于由于,因此因此xxx22sincos2cosdxx2cos11dxx1cos2112dxx2cos121Cxtan211cos22cos2xxdxxxx22cossin2cosxdxxdx22cossinCxxtancot三、凑微分法三、凑微分法定理定理2设具有原函数设具有原函数可导,可导,则有则有(3.7)3.7)式称为凑微分积分公式式称为凑微分积分公式,通过式通过式(3.7)计算不定计算不定积分的方法称为凑微分积分法积分的方法称为凑微分积分法.(3.7)式又可改写为式又可改写为(3.8)(3.8)式也称为第一类换元积分公式式也称为第一类换元积分公式.)(uf)(xu)()()()(xdxfdxxxf)()()()(xuduufdxxxf例例88求求.解被积函数是一个复合函数解被积函数是一个复合函数,由于由于,即即.因此因此,作作变换变换,得得再将代回再将代回,即得即得xdx2cos,cos2cosuxxu2dxdu2dudx21xu2cuududuuxdxsin21cos2121cos2cosxu2.2sin212cosCxxdx例例99求不定积分:
求不定积分:
(1)
(2)
(1)
(2)解解
(1)
(1)由于由于,故将凑为故将凑为,再利用公式再利用公式(3.7),(3.7),即得即得.
(2)
(2)由于由于,故将凑为故将凑为,再利再利用公式用公式(3.7),(3.7),即得即得dxx6)23(dxxex22Cxdxx776dx)23(21xdCxxdxdxx766)23(141)23()23(21)23(Cedxexxxdx22dxCedxedxxexxx22222例例1010求不定积分求不定积分.解法一解法一解法二解法二解法三解法三xdxxcossinxxdxdxxsinsincossinCx2sin21Cxxxdxdxx2cos21coscoscossinxdxxdxx2sin21cossinCxxxd2cos41)2(2sin41注意:
上述三种解法的结果注意:
上述三种解法的结果,形式上虽不一样形式上虽不一样,但它们的正确性都可以通过对各结果求导数(微分法)但它们的正确性都可以通过对各结果求导数(微分法)得到验证得到验证,即有即有例例3.113.11求不定积分:
求不定积分:
(1)
(1)
(2)
(2)(3)(3)(4)(4)xxCxCxCxcossin)2cos41()cos21()sin21(22dxxx1ln321xdxdxxex3)4(8xxdx解解(11)(22)(33)由于由于,所以所以Cxxdxdxxx2)1(ln21)1(ln)1(ln1ln)21()21(2121313xdxxdxCxCx3232)21(43)21(2321xdxxd21Cexdexdedxxexxxx333332)3(322(44)例例1212求不定积分求不定积分(11)()(22)(33)()(44)dxxxxxxdx)4()4(8878)4(81888xxdx888)411(4181dxxxCxx4ln32188)0(22axadx)0(22axadx)0(22aaxdxdxxx2451解(解(11)(22)2222)(11axdxaxadx2)
(1)(1axaxdaCaxaarctan1222)(11axdxaxadx2)
(1)(axaxdCaxarcsin(33)由于)由于,所以所以)11(21122axaxaax.dxaxaxaaxdx)11(2122dxaxadxaxa121121axaxdaaxaxda)(21)(21Caxaaxaln21ln21Caxaxaln21(44)dxxdxxx22)2(91451)32()32(112xdxCx32arcsin当被积函数是由三角函数构成的表达式时,可当被积函数是由三角函数构成的表达式时,可利用三角恒等变形及凑微分法进行积分。
利用三角恒等变形及凑微分法进行积分。
例例1313求不定积分求不定积分(11)()(22)()(33)解(解(11)类似可得类似可得xdxtanxdxcscxdxsecdxxxxdxcossintanxxdcoscosCxcoslnCxxdxsinlncot.(22)因为因为所以上述不定积分又可表为:
所以上述不定积分又可表为:
2cos2sin2sincscxxdxxdxxdx2cos2tan2xxdx2tan2tanxxdCx|2tan|lnxxxxxxxxxcotcscsincos1sin2sin22cos2sin2tan2,Cxxxdxcotcsclncsc(33)例例1414求不定积分:
求不定积分:
(1)
(1)
(2)
(2)解解
(1)
(1).xdxsec)2sin()2(cosxxdxdxCxx)2cot()2csc(lnCxxtanseclnxdx2sinxdxxcos5sin.)2cos(2122cos1sin2xdxdxdxxxdx)2(2cos4121xxddxCxx42sin2.
(2)2)利用三角函数积化和差公式利用三角函数积化和差公式,有有于是于是)5sin()5sin(21cos5sinxxxxxx)4sin6(sin21xxxdxxcos5sindxxx)4sin6(sin21Cxx4cos816cos121四、换元积分法四、换元积分法dxxf)(凑微分法是通过中间变量将积分凑微分法是通过中间变量将积分化成化成,下面下面要要介绍的换元积分法是通过变量代换介绍的换元积分法是通过变量代换将积分化为积分将积分化为积分)(xudxxxf)()(duuf)()(txdtttf)()(证:
证:
设为设为的原函数的原函数,)(t)()(ttf令令)()(xxF则则dxdtdtdxF)()()(ttf)(1t)()()()(xtdtttfdxxf定理定理
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