双缝干涉条纹间距公式的推导Word格式.docx

双缝干涉条纹间距公式的推导Word格式.docx

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+r：

Q2N

~•d*,d所以：

Vr产一X即：

6=—xd

11

当S等于光波波长入的整数倍时〉两列波在P点同相加强/出现亮条纹3

Rna（k=0>

±

19±

2J+31一）

1

则*V

所以円一xk

=（k+l）—入一k—

-A二一A

3

d

1即Ax二了

（4）2

当5等于光波半波长2的奇数倍时〉两列波在P•点反

相減弱“出现暗条鎮：

7

（k=0•+1,土2,±

3,

则皿“L占（k二0•土1>

±

2f±

3>

—）

d2

所以Ax二xk■xk=（2id3）—---（2kH）—•

即△龙二一A

根据（4）、（5）两式町知：

相邻两条明纹（或暗纹）间距离均为△x二1/dA,而I、d和入都为定值，所以屏上的干涉条纹是等间距的。

［应用］相干光经双缝产生干涉现象，半发生如下变化时，干涉条纹如何变化？

（1）屏幕移近；

（2）缝距变小；

（3〉波长变长；

［分析］由公式Ax=1/d入可知，相邻两条明纹（或暗纹）间距离△X与I、入成正比，与d成反比。

（1）若屏幕移近，则I变小，因此条纹间距Ax变小，条纹变得密集。

（2）若缝距d变小，则Ax变大，条纹变得稀疏。

（3）若波长入变长，则从变大。

因此若入射光为口光，则中央明纹（白色）的两侧，出现彩色条纹，且靠近中央明纹的是紫光。

另外在研究干涉现象时，一般不称呼明条纹和暗条纹它们的宽度是多少，这是因为从光的能量角度讲，从明条纹到暗条纹衔接处，是连续变化的，没有分界线。

如图建立直角坐标系，其

X轴上横坐标为

差为波长整数倍

（零除外）的双曲线簇。

其中

用直线

的点与-的点为两波源。

这两个波源的振动情况完全相同，则这两个波源发生干涉时的加强区为到两个波源的距离

29

-,o为所有双曲线的公共焦点。

这个双曲线簇的方程为:

9

tv

I去截这簇双曲线，直线与双曲线的交点为加强的点。

将

yI代入双曲线簇的方程，有:

£

d22n

~2

解得：

|2

（4d2n2

xnJ4•

Vd2

其中I的数量级为10°

ni,

d的数量级为10故

101,X的表达式简化为

可见，交点横坐标成一等差数列，公差为

（1）条纹是等间距的；

（2）相邻两条纹的间距为

至此，证明了条纹间距公式:

杨氏双缝干涉条纹间距到底是不是相等的

海军航空工程学院李磊梁吉峰选自《物理教师》2008年第11期

在杨氏双缝干涉实验中，在现行的高中物理教科书中得出相邻的明纹（或者暗纹）中心间距为：

△x=L入/d,其中L为双缝与屏的间距，d为双缝间距，对单色光

而言，其波长入为定值，所以我们得出的结论是干涉图样为等间距的一系列明暗相同的条纹，但是在现行的高中物理教科书中所给的干涉条纹的照片却并非如此，如

图1。

我们可以看到只是在照片中央部分的干涉条件是等间距的，但是在其边缘部分的条纹的间距明显与中央部分的条纹间距不同。

问题到底出在哪里呢

SI

首先我们来看现行的教科书上对于杨氏双缝干涉的解释，如图

设定双缝S、S8的间距为d,双缝所在平面与光屏P平行。

为双缝双缝与屏之间的垂直距离为L,我们在屏上任取一点P】,设定点P1与双缝S、S的距离分别为r】和「2,0

S、S2的中点，双缝S、S2的连线的中垂线与屏的交点为发出的光到达屏丹，设巳与Po的距离为x,为了获得明显的干涉条纹，在通常情况下L»

d,在这种情况下由双缝S】、S2

上Pi点的光程差△r为

Sgr2一ri~dsin0,

（1）

其中0也是OP与OR所成的角。

因为d«

L,0很小，所以

sin0~

tan0=

（2）

因此△

r、dsin

X

dL

当厶r

-dL=±

k入

时，屏上表现为明条纹，其中

k-0,1,2,

—dL二土（k+

2）入时，屏上表现为暗条纹，

其中是k=0,1,2,…

O

⑶）

我们继续算得光屏上明条纹和暗条纹的中心位置。

当”=±

kd.时，屏上表现为明条纹，其中k=°

12

1L

当x=±

（k+-）7入时，屏上表现为暗条纹，其中k=0,1,2,…。

（4‘）

2d

我们还可以算出相邻明条纹（或者暗条纹）中心问的距离为

L

A■■■■、■

至此我们得出结论：

杨氏双缝干涉条纹是等间距的。

△r二「2—rrdsin0的时候，此式近似成立的条件是/S1R1S2很小，因此有SM!

SR,SiM

问题就在于以上的推导过程中，我们用过两次近似，第1次是在运用公式因此△r~dsin0是满足的。

丄OR,因此/ROR二/S2S1M,如果要保证/SP】S2很小，只要满足d«

L即可，第2次近似是因为1来比较sin0与tan0的数值。

d«

L,0很小，所以sin0~tan0。

下面我们通过表

2：

3。

4。

5°

6'

7。

sin

tan

8°

9°

10°

11°

从表

1中我们可以看岀当0二

fanA_oinA

-％因此当2\时，相对误差就超过了

%因此我们通常说二g

>

5°

时，立的，而当用了。

是成

sin0、tan0就不再成立。

干涉条纹是等间距的。

X较大时，也就是光屏上离

而在杨氏双缝干涉实验中，0

很小所对应的条件应该是

x«

L,这应该对应于光屏上靠近

Po的点,

此时

X2

P。

较远的点所对应的0角也较大,

当0〉5°

时,sin0~tan

0就不再成立，上述推导过程也就不完全成立了,

成立的条件是。

〈5。

，当。

在此种情况下上述的推导过程

（2）式就不能再

所以，△rdsin0世°

TL2

二土k入，屏上表现为明条纹，其中

ax

k=0,1,2,•

△r~dsin0=——二±

（k+T）入，屏上表现为暗条纹，其中

ITT22

vLx

因此可以得到光屏上明纹或者暗纹的中心位置为

x=±

Lk

屏上表现为明条纹，其中k-0,1,2,

L（k]

x二士k二0]2…。

~-I3—,屏上表现为暗条纹，其中’’’°

丽（k»

则相邻的明条纹中心问距为

L（k1）Lk

△X明二Xk+1明一■Xk明二,・

Jd2（kl）22Jd2k22

邻暗条纹中心间距为

AY■vL（k1-）L（k-）

△x暗二Xk±

1暗——■Xk

_2

吩2_Jd2（k1l）2=

—d2（k2）22

由上式可见相邻的明、暗条纹就不再是等间距的了，这也正如教科书上的照片所示的条纹分布。

下面我们通过一个实例来定量计算等间距条纹的条数。

例1：

用氧氛激光器（频率为XlO^Hz）的红光照射间距为2mm勺双缝时，试求我们能观察到的等间距的条纹的条数。

解：

因为△r=dsin0=k入，所以

dsin0Vdsin0亠斗“

k==二错误！

二

5条。

入c

考虑到光屏的两侧，我们最终能够在光屏上观察到的等间距的条纹大致为