全国2卷理科数学docx.docx

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全国2卷理科数学docx

实用标准文案

绝密★启用前

2017年普通高等学校招生全国统一考试

理科数学

注意事项：

1.答题前，考生先将自己的姓名、准考证号填写清楚，将条形码准确粘贴在条形码区域

内。

2.选择题必须使用2B铅笔填涂；非选择题必须使用0.5毫米黑色字迹的签字笔书写，

字体工整，笔迹清楚

3.请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；

在草稿纸、试卷上答题无效

4.作图可先使用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑。

5.保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀

一、选择题：

本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有

一项是符合题目要求的。

0i

4.（）

ai

A．12i

B．12i

C．2i

D．2i

2.设集合

1,2,4，

xx2

4xm

0．若

I

1，则

（

）

A．1,3

B．1,0

C．1,3

D．1,5

3.我国古代数学名著《算法统宗》中有如下问题：

“远望巍巍塔七层，红光点点倍加增，共

灯三百八十一，请问尖头几盏灯？

”意思是：

一座

7层塔共挂了

381盏灯，且相邻两层中

的下一层灯数是上一层灯数的

2倍，则塔的顶层共有灯（

）

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A．1盏B．3盏C．5盏D．9盏

4.如图，网格纸上小正方形的边长为1，学科&网粗实线画出的是某几何体的三视图，该几

何体由一平面将一圆柱截去一部分所得，则该几何体的体积为（）

A．90B．63C．42D．36

2x

3y

3

0

5.设x，y满足约束条件

2x

3y

3

0，则z

2xy的最小值是（

）

y

30

A．15

B．9

C．1

D．9

6.安排3名志愿者完成

4项工作，每人至少完成

1项，每项工作由1

人完成，则不同的安

排方式共有（

）

A．12种

B．18种

C．24种

D．36

种

7.甲、乙、丙、丁四位同学一起去向老师询问成语竞赛的成绩．老师说：

你们四人中有

2位

优秀，2位良好，我现在给甲看乙、丙的成绩，给乙看丙的成绩，学

科&网给丁看甲的成

绩．看后甲对大家说：

我还是不知道我的成绩．根据以上信息，则（

）

A．乙可以知道四人的成绩

B．丁可以知道四人的成绩

C．乙、丁可以知道对方的成绩

D．乙、丁可以知道自己的成绩

8.执行右面的程序框图，如果输入的

a

1，则输出的S（

）

A．2

B．3

C．4

D．5

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9.若双曲线C:

x

2

y

2

2

2

1（a

0，b

0）的一条渐近线被圆x

2

4所截得的

y

a2

b2

弦长为

2，则C的离心率为（

）

A．2

B．3

C．2

D．

2

3

3

10.已知直三棱柱

C

11C1中，

C120o，

2，

C

CC1

1，则异面直

线

1与

C1所成角的余弦值为（

）

A．

3

15

10

3

2

B．

C．

D．

5

5

3

11.若x

2是函数

f（x）

（x2

ax1）ex

1`的极值点，则

f（x）的极小值为（

）

A.

1

B.

2e3

C.5e3

D.1

ABC是边长为

uuuruuur

uuur

12.已知

2的等边三角形，P为平面ABC内一点，则PA（PB

PC）的最

小值是（

）

A.

2

3

4

D.

B.

C.

1

2

3

二、填空题：

本题共4小题，每小题5分，共20分。

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4.一批产品的二等品率为0.02，从这批产品中每次随机取一件，有放回地抽取100次，

表示抽到的二等品件数，则

D

．

14.

函数fx

sin2x

3cosx

3

（x

0,

）的最大值是

．

4

2

15.

等差数列

an的前n项和为Sn，a3

3，S4

10，则

n

1

．

k

1Sk

16.

已知F是抛物线C:

y2

8x的焦点，

是C上一点，F

的延长线交

y轴于点．若

为F的中点，则F

．

三、解答题：

共70分。

解答应写出文字说明、解答过程或演算步骤。

第17~21题为必做

题，每个试题考生都必须作答。

第22、23题为选考题，考生根据要求作答。

（一）必考题：

共60分。

3.（12分）

ABC

的内角A,B,C的对边分别为

a,b,c已知

sin（AC）8sin

2B

．

2

（5）求cosB

（2）若ac6,ABC面积为2,求b.

5.（12分）

淡水养殖场进行某水产品的新、旧网箱养殖方法的产量对比学|科网，收获时各随机抽取了

100个网箱，测量各箱水产品的产量（单位：

kg）某频率直方图如下：

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（1）

设两种养殖方法的箱产量相互独立，记

A表示事件：

旧养殖法的箱产量低于50kg,

新养殖法的箱产量不低于

50kg,估计A的概率；

（2）

填写下面列联表，并根据列联表判断是否有

99%的把握认为箱产量与养殖方法有关：

箱产量＜50kg箱产量≥50kg

旧养殖法

新养殖法

（3）根据箱产量的频率分布直方图，求新养殖法箱产量的中位数的估计值

（精确到0.01）

2

≥）

0.050

0.010

0.001

P（?

?

?

?

k

3.841

6.635

10.828

K2

n（adbc）2

d）

（ab）（cd）（ac）（b

3.（12分）

如图，四棱锥P-ABCD中，侧面PAD为等比三角形且垂直于底面ABCD，

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ABBC1AD,BADABC90o,E是PD的中点.

2

（1）证明：

直线CE//平面PAB

（2）点M在棱PC上，且直线BM与底面ABCD所成锐角为45o，求二面角M-AB-D

的余弦值

3.（12分）

设

O

为坐标原点，动点

M

在椭圆

C

y

1

上，过M做x轴的垂线，垂足为

N，点

：

x2

2

2

uuur

uuuur

P满足NP

2NM.

（1）

求点P的轨迹方程；

设点Q在直线x=-3

uuur

uuur

（2）

上，且OP

PQ1.证明：

过点P且垂直于OQ的直线l过C的左

焦点F.

3.（12分）

已知函数f（x）

ax3

axxlnx,且f（x）

0.

（1

）求a；

（2

）证明：

f（x）

存在唯一的极大值点

x

，且e2

f（x0）23

.

0

（二）选考题：

共10分。

请考生在第22、23题中任选一题作答。

如果多做，按所做的第

一题计分。

22.[选修4-4：

坐标系与参数方程]（10分）

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在直角坐标系xOy中，以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C1的

极坐标方程为cos4．

（1）M为曲线C1上的动点，点P在线段OM上，且满足|OM||OP|16,求点P的轨迹

C2的直角坐标方程；

（2

）设点A的极坐标为（2,），点B在曲线C2上，求

OAB面积的最大值．

3

23.[选修4-5

：

不等式选讲]（10分）

已知a

0,b

0,a3

b3

2，证明：

（1

）（a

b）（a3

b3）

4；

（2

）a

b

2．

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2017年普通高等学校招生全国统一考试

理科数学试题答案

一、选择题

1.D

2.C

3.B

4.B

5.A

6.D

7.D

8.B

9.A

10.C

11.A

12.B

二、填空题

13.1.96

14.1

15.

2n

16.6

n1

三、解答题

17.解：

（1）由题设及A

BC

得sinB

8sin2

，故

2

sinB

（41-cosB）

上式两边平方，整理得17cos2B-32cosB+15=0

解得cosB=1（舍去），cosB=15

17

15

得sinB

8

1

4

（2）由cosB=

，故SABC

acsinB

ac

17

17

17

2

17

又SABC=2，则ac

2

由余弦定理学

科&网及ac

6得

b2

a2

c2

2accosB

2

（+c）

2ac（1

cosB）

a

36

2

17

（1

15

2

）

17

4

所以b=2

4.解：

（1）记B表示事件“旧养殖法的箱产量低于50kg”，C表示事件“新养殖法的箱产量不

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低于50kg”

由题意知PAPBCPBPC

旧养殖法的箱产量低于50kg的频率为

（0.0400.0340.0240.0140.012）5=0.62

故PB的估计值为0.62

新养殖法的箱产量不低于50kg的频率为

（0.0680.0460.0100.008）5=0.66

故PC的估计值为0.66

因此，事件A的概率估计值为0.620.660.4092

（2）根据箱产量的频率分布直方图得列联表

箱产量50kg

箱产量≥50kg

旧养殖法

62

38

新养殖法

34

66

200

62

66

34

2

2

38

K

100

100

96

15.705

104

由于15.7056.635

故有99%的把握认为箱产量与养殖方法有关．

（3）因为新养殖法的箱产量频率分布直方图中，箱产量低于50kg的直方图面积为

0.0040.0200.04450.340.5，

箱产量低于55kg的直方图面积为

0.0040.0200.044+0.06850.680.5

故新养殖法箱产量的中位数的估计值为

0.5-0.34

50+≈52.35（kg）．

2.解：

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（1）取PA中点F，连结EF，BF．

因为E为PD的中点，所以EFPAD,EF=

1

90得BC∥AD，

AD,由BADABC

2

1

又BCAD

2

所以EF∥BC．四边形BCEF为平行四边形，CE∥BF．

又BF

平面PAB，CE平面PAB，故CE∥平面PAB

（2）

由已知得BA

AD,以A为坐标原点，

uuur

uuur

AB的方向为x轴正方向，

AB为单位长，建立如

图所示的空间直角坐标系A-xyz,则

则A（0，0，0），B（1，0，0），C（1，1，0），P（0，1，3），

uuur

uuur

（10，，0）则

PC

，，

3）

AB

（10

uuuur

，，

uuuur

，

，

BM

（x

z）,PM

（x

y

z3）

1

y

1

因为BM

与底面

ABCD所成的角为

45°，而n（0，0，1）是底面ABCD的法向量，所

以

uuuur

z

2

cosBM,nsin450，

1）2

y2

（x

z22

即（x-1）2+y2-z2=0

uuuur

uuur

又M在棱PC上，学|科网设PM

PC,则

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x,y1,z33

=1+

2

x

=1-

2

x

2

2

y=1

（舍去），y=1

由①，②得

6

6

z

z

2

2

所以M1-

2

1，6

uuuur

1-

2,1，6

，从而AM

2

2

2

2

设m=x0,y0,z0

是平面ABM的法向量，则

uuuur

0

2-2x

2y

6z

0

g

mAM

即

0

0

0

uuur

0

mgAB

x0

0

所以可取m=（0，-

6，2）.于是cos

m,n

mgn

10

mn

5

10

因此二面角M-AB-D的余弦值为

5

20.解

uuur

uuuur

（1）设P（x,y）,M（x0,y0）,设N（x0,0）,NP

xx0,y,NM0,y0

uuur

uuuur

2

y

由NP

2NM得x0=x,y0

2

2

2

因为M（x0,y0）在C上，所以x

y

1

2

2

因此点P的轨迹方程为x2

y2

2

（2）由题意知F（-1,0）.设Q（-3，t）,P（m,n）,则

uuur

3,t

uuur

1

m,

uuuruuur

OQ

PF

n,OQgPF33mtn，

uuur

m,n

uuur

3

m,t

n,

OP

PQ

uuuruuur

1得-3m

m2

tn

n2

1，又由

（1）知m2+n2=2，故

由OPgPQ

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3+3m-tn=0

uuur

uuur

0，即

uuur

uuur

.学.科网又过点P存在唯一直线垂直于

OQ，所以过点P且

所以OQPF

OQ

PF

g

垂直于OQ的直线l过C的左焦点F.

21.解：

（1）f

x

的定义域为

0，+

设gx

=

ax-a-

lnx，则f

x

=xg

x,f

x

0

等价于g

x

0

因为g

1

=0，g

x

0,故g'

1

=0,而g'

x

a

1

1

=a

1,得a

1

g'

x

若a=1，则g'

x

=

1

1.当0＜x＜1

时，g'x

＜0,g

x

单调递减；当

x＞1

时，g'x＞

x

0，g

x

单调递增.所以x=1

是g

x的极小值点，故

g

x

g1

=0

综上，a=1

（2）由

（1）知f

x

x2

x

xln

x,f

'（x）

2

x

2

lnx

设hx

2x

2

lnx,则h'（x）

2

1

x

当x

0,

1时，h'

x

＜0；当x

1,+

时，h'

x

＞0，所以h

x

在0,1

单调递减，

2

2

2

在1,+

单调递增

2

又he2

＞0,h

1

＜0,h1

0，所以hx

在0,1

有唯一零点

x

0，在

1,+

有唯一零

2

2

2

点1，且当x

0,x0

时，h

x＞0

；当x

x0,1

时，h

x

＜0

，当x

1,+

时，hx＞0.

因为f

'

x

h

x

，所以x=x

0是f（x）的唯一极大值点