高中数学《函数的单调性》教案新人教版必修1Word格式文档下载.docx
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(1)当天的最高温度、最低温度以及何时达到;
(2)在某时刻的温度;
(3)某些时段温度升高,某些时段温度降低.
在生活中,我们关心很多数据的变化规律,了解这些数据的变化规律,对我们的生活是很有帮助的.
还能举出生活中其他的数据变化情况吗?
水位高低、燃油价格、股票价格等.
归纳:
用函数观点看,其实就是随着自变量的变化,函数值是变大还是变小.
〖设计意图〗由生活情境引入新课,激发兴趣.
二、归纳探索,形成概念
对于自变量变化时,函数值是变大还是变小,初中同学们就有了一定的认识,但是没有严格的定义,今天我们的任务首先就是建立函数单调性的严格定义.
1.借助图象,直观感知
问题1:
分别作出函数
的图象,并且观察自变量变化时,函数值有什么变化规律?
(1)函数在整个定义域内y随x的增大而增大;
函数在整个定义域内y随x的增大而减小.
(2)函数在上y随x的增大而增大,在上y随x的增大而减小.
(3)函数在上y随x的增大而减小,在上y随x的增大而减小.
引导学生进行分类描述(增函数、减函数).同时明确函数的单调性是对定义域内某个区间而言的,是函数的局部性质.
问题2:
能不能根据自己的理解说说什么是增函数、减函数?
如果函数在某个区间上随自变量x的增大,y也越来越大,我们说函数在该区间上为增函数;
如果函数在某个区间上随自变量x的增大,y越来越小,我们说函数在该区间上为减函数.
教师指出:
这种认识是从图象的角度得到的,是对函数单调性的直观,描述性的认识.
〖设计意图〗从图象直观感知函数单调性,完成对函数单调性的第一次认识.
2.探究规律,理性认识
下图是函数的图象,能说出这个函数分别在哪个区间为增函数和减函数吗?
学生的困难是难以确定分界点的确切位置.
通过讨论,使学生感受到用函数图象判断函数单调性虽然比较直观,但有时不够精确,需要结合解析式进行严密化、精确化的研究.
〖设计意图〗使学生体会到用数量大小关系严格表述函数单调性的必要性.
如何从解析式的角度说明在为增函数?
(1)在给定区间内取两个数,例如1和2,因为12<
22,所以在为增函数.
(2)仿
(1),取很多组验证均满足,所以在为增函数.
(3)任取,因为
即,所以在为增函数.
对于学生错误的回答,引导学生分别用图形语言和文字语言进行辨析,使学生认识到问题的根源在于自变量不可能被穷举,从而引导学生在给定的区间内任意取两个自变量.
〖设计意图〗把对单调性的认识由感性上升到理性认识的高度,完成对概念的第二次认识.事实上也给出了证明单调性的方法,为证明单调性做好铺垫.
3.抽象思维,形成概念
你能用准确的数学符号语言表述出增函数的定义吗?
师生共同探究,得出增函数严格的定义,然后学生类比得出减函数的定义.
(1)板书定义
(2)巩固概念
判断题:
①
.
②若函数
③若函数在区间和(2,3)上均为增函数,则函数在区间(1,3)上为增函数.
④因为函数在区间上都是减函数,所以在上是减函数.
通过判断题,强调三点:
①单调性是对定义域内某个区间而言的,离开了定义域和相应区间就谈不上单调性.
②对于某个具体函数的单调区间,可以是整个定义域(如一次函数),可以是定义域内某个区间(如二次函数),也可以根本不单调(如常函数).
③函数在定义域内的两个区间A,B上都是增(或减)函数,一般不能认为函数在上是增(或减)函数.
思考:
如何说明一个函数在某个区间上不是单调函数?
〖设计意图〗让学生由特殊到一般,从具体到抽象归纳出单调性的定义,通过对判断题的辨析,加深学生对定义的理解,完成对概念的第三次认识.
三、掌握证法,适当延展
例证明函数在上是增函数.
1.分析解决问题
针对学生可能出现的问题,组织学生讨论、交流.
证明:
任取
设元
求差
变形
断号
∴
∴即
∴函数在上是增函数. 定论
2.归纳解题步骤
引导学生归纳证明函数单调性的步骤:
设元、作差、变形、断号、定论.
练习:
证明函数在上是增函数.
要证明函数在区间上是增函数,除了用定义来证,如果可以证得对任意的,且有可以吗?
引导学生分析这种叙述与定义的等价性.让学生尝试用这种等价形式证明函数在上是增函数.
〖设计意图〗初步掌握根据定义证明函数单调性的方法和步骤.等价形式进一步发展可以得到导数法,为用导数方法研究函数单调性埋下伏笔.
四、归纳小结,提高认识
学生交流在本节课学习中的体会、收获,交流学习过程中的体验和感受,师生合作共同完成小结.
1.小结
(1)概念探究过程:
直观到抽象、特殊到一般、感性到理性.
(2)证明方法和步骤:
(3)数学思想方法和思维方法:
数形结合,等价转化,类比等.
2.作业
书面作业:
课本第60页
习题2.3第4,5,6题.
课后探究:
(1)证明:
函数在区间上是增函数的充要条件是对任意的,且有.
(2)研究函数的单调性,并结合描点法画出函数的草图.
《函数的单调性》教学设计说明
一、教学内容的分析
函数的单调性是学生在了解函数概念后学习的函数的第一个性质,是函数学习中第一个用数学符号语言刻画的概念,为进一步学习函数其它性质提供了方法依据.
对于函数单调性,学生的认知困难主要在两个方面:
(1)要求用准确的数学符号语言去刻画图象的上升与下降,这种由形到数的翻译,从直观到抽象的转变对高一的学生是比较困难的;
(2)单调性的证明是学生在函数内容中首次接触到的代数论证内容,而学生在代数方面的推理论证能力是比较薄弱的.根据以上的分析和教学大纲的要求,确定了本节课的重点和难点.
二、教学目标的确定
根据本课教材的特点、教学大纲对本节课的教学要求以及学生的认知水平,从三个不同的方面确定了教学目标,重视单调性概念的形成过程和对概念本质的认识;
强调判断、证明函数单调性的方法的落实以及数形结合思想的渗透;
突出语言表达能力、推理论证能力的培养和良好思维习惯的养成.
三、教学方法和教学手段的选择
本节课是函数单调性的起始课,采用教师启发讲授,学生探究学习的教学方法,通过创设情境,引导探究,师生交流,最终形成概念,获得方法.本节课使用了多媒体投影和计算机来辅助教学,目的是充分发挥其快捷、生动、形象的特点,为学生提供直观感性的材料,有助于学生对问题的理解和认识.
四、教学过程的设计
为达到本节课的教学目标,突出重点,突破难点,教学上采取了以下的措施:
(1)在探索概念阶段,让学生经历从直观到抽象、从特殊到一般、从感性到理性的认知过程,完成对单调性定义的三次认识,使得学生对概念的认识不断深入.
(2)在应用概念阶段,通过对证明过程的分析,帮助学生掌握用定义证明函数单调性的方法和步骤.
(3)考虑到我校学生数学基础较好、思维较为活跃的特点,对判断方法进行适当的延展,加深对定义的理解,同时也为用导数研究单调性埋下伏笔.
2019-2020年高中数学《合情推理--归纳推理》教案苏教版选修1-2
课时安排:
一课时
课型:
新授课
教学目标:
1、通过对已学知识的回顾,进一步体会合情推理这种基本的分析问题法,认识归纳推理的基本方法与步骤,并把它们用于对问题的发现与解决中去。
2.归纳推理是从特殊到一般的推理方法,通常归纳的个体数目越多,越具有代表性,那么推广的一般性命题也会越可靠,它是一种发现一般性规律的重要方法。
教学重点:
了解合情推理的含义,能利用归纳进行简单的推理。
教学难点:
用归纳进行推理,做出猜想。
教学过程:
一、课堂引入:
从一个或几个已知命题得出另一个新命题的思维过程称为推理。
见书上的三个推理案例,回答几个推理各有什么特点?
都是由“前提”和“结论”两部分组成,但是推理的结构形式上表现出不同的特点,据此可分为合情推理与演绎推理
二、新课讲解:
1、蛇是用肺呼吸的,鳄鱼是用肺呼吸的,海龟是用肺呼吸的,蜥蜴是用肺呼吸的。
蛇,鳄鱼,海龟,蜥蜴都是爬行动物,所有的爬行动物都是用肺呼吸的。
2、三角形的内角和是,凸四边形的内角和是,凸五边形的内角和是
由此我们猜想:
凸边形的内角和是
3、
,由此我们猜想:
(均为正实数)
这种由某类事物的部分对象具有某些特征,推出该类事物的全部对象都具有这些特征的推理,或者由个别事实概栝出一般结论的推理,称为归纳推理.(简称:
归纳)
归纳推理的一般步骤:
⑴对有限的资料进行观察、分析、归纳整理;
⑵提出带有规律性的结论,即猜想;
⑶检验猜想。
三、例题讲解:
例1已知数列的通项公式,
,试通过计算的值,推测出的值。
【学生讨论:
】
(学生讨论结果预测如下)
(1)
由此猜想,
学生讨论:
1)哥德巴赫猜想:
任何大于2的偶数可以表示为两个素数的之和。
2)三根针上有若干个金属片的问题。
四、巩固练习:
1、已知
,经计算:
,推测当时,有__________________________.
2、已知:
,
。
观察上述两等式的规律,请你写出一般性的命题,并证明之。
3、观察
(1)
(2)
由以上两式成立,推广到一般结论,写出你的推论。
注:
归纳推理的几个特点:
1.归纳是依据特殊现象推断一般现象,因而,由归纳所得的结论超越了前提所包容的范围.
2.归纳是依据若干已知的、没有穷尽的现象推断尚属未知的现象,因而结论具有猜测性.
3.归纳的前提是特殊的情况,因而归纳是立足于观察、经验和实验的基础之上.
归纳是立足于观察、经验、实验和对有限资料分析的基础上.提出带有规律性的结论.
五、教学小结:
1.归纳推理是由部分到整体,从特殊到一般的推理。
通常归纳的个体数目越多,越具有代表性,那么推广的一般性命题也会越可靠,它是一种发现一般性规律的重要方法。
2.归纳推理的一般步骤:
1)通过观察个别情况发现某些相同的性质。
2)从已知的相同性质中推出一个明确表述的一般命题(猜想)。
六、作业:
七、教后感:
课题:
合情推理
(二)——类比推理
1、通过对已学知识的回顾,进一步体会合情推理这种基本的分析问题法,认识类比推理的基本方法与步骤,并把它们用于对问题的发现与解决中去。
2、类比推理是从特殊到特殊的推理,是寻找事物之间的共同或相似性质,类比的性质相似性越多,相似的性质与推测的性质之间的关系就越相关,从而类比得出的结论就越可靠。
了解合情推理的含义,能利用类比进行简单的推理。
用类比进行推理,做出猜想。
一、复习引入:
1、什么叫推理?
推理由哪几部分组成?
2、合情推理的主要形式有和.
3、归纳推理是从事实中概括出结论的一种推理模式
4、归纳推理的特点:
5、
(均为实数),
请推测==。
春秋时代鲁国的公输班(后人称鲁班,被认为是木匠业的祖师)一次去林中砍树时被一株齿形的茅草割破了手,这桩倒霉事却使他发明了锯子.
他的思路是这样的:
茅草是齿形的,茅草能割破手,需要一种能割断木头的,它也可以是齿形的。
这个推理过程是归纳推理吗?
例1、试根据等式的性质猜想不等式的性质。
等式的性质:
猜想不等式的性质:
(1)a=b⇒a+c=b+c;
(1)a>b⇒a+c>b+c
(2)a=b⇒ac=bc;
(2)a>b⇒ac>bc;
(3)a=b⇒a2=b2;
等等(3)a>b⇒a2>b2;
等等。
问:
这样猜想出的结论是否一定正确?
由两个(两类)对象之间在某些方面的相似或相同,推演出他们在其他方面也相似或相同;
或其中一类对象的某些已知特征,推出另一类对象也具有这些特征的推理称为类比推理(简称类比).简言之,类比推理是由特殊到特殊的推理.
类比推理的一般步骤:
⑴找出两类对象之间可以确切表述的相似特征;
⑵用一类对象的已知特征去推测另一类对象的特征,从而得出一个猜想;
即
例2、试将平面上的圆与空间的球进行类比.
圆的定义:
平面内到一个定点的距离等于定长的点的集合.
球的定义:
到一个定点的距离等于定长的点的集合.
圆截面圆
弦大圆
直径周长表面积
圆面积球体积
圆的性质
球的性质
圆心与弦(不是直径)的中点的连线垂直于弦
球心与截面圆(不是大圆)的圆点的连线垂直于截面圆
与圆心距离相等的两弦相等;
与圆心距离不等的两弦不等,距圆心较近的弦较长
与球心距离相等的两截面圆相等;
与球心距离不等的两截面圆不等,距球心较近的截面圆较大
圆的切线垂直于过切点的半径;
经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点
球的切面垂直于过切点的半径;
经过球心且垂直于切面的直线必经过切点
经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心
经过切点且垂直于切面的直线必经过球心
三、巩固练习:
1、类比平面内直角三角形的勾股定理,试给出空间中四面体性质的猜想.
2、若数列为等差数列,且
,则。
现已知数列为等比数列,且
,类比以上结论,可得到什么结论?
你能说明结论的正确性吗?
四、教学小结:
1、类比推理是从特殊到特殊的推理,是寻找事物之间的共同或相似性质。
类比的性质相似性越多,相似的性质与推测的性质之间的关系就越相关,从而类比得出的结论就越可靠。
2、类比推理的一般步骤:
a)找出两类事物之间的相似性或者一致性。
b)用一类事物的性质去推测另一类事物的性质,得出一个明确的命题(猜想)。
五、作业:
六、教后感
gkxx
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- 函数的单调性 高中数学 函数 调性 教案 新人 必修