小学奥数 数形结合.docx

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小学奥数数形结合

专题二数形结合

【方法简介】

数形结合的思想是一种重要的数学思想方法，就是通过数与形之间的对应和转化来解决数学问题,利用它可使复杂问题简单化,抽象问题具体化,它兼有数的严谨与形的直观之长,是优化解题过程的重要途径之一,有助于把握数学问题的本质,“数”和“形”是紧密联系的。

我们在研究“数”的时候，往往要借助于“形”，在探讨“形”的性质时，又往往离不开“数”。

由于使用了数形结合的方法，很多问题便迎刃而解，且解法简捷.

【应用场合】简易方程：

路程问题、和差倍问题，几何应用，统计与可能性

【典型应用1】简易问题

应用1：

在简易方程题目中最为关键的一点就是找等量关系，通过画线段图就能清晰找出这种关系.先选对参照物，分清楚研究对象，再根据题目画出研究对象的数量关系，最后设未知数，列方程.

【题1】小胖和小巧一共有208张邮票，小胖的邮票张数是小巧的3倍，小胖、小巧各有多少张邮票？

[略解]

解：

设小巧有张邮票，那么小胖有3张邮票.

,.

答：

小巧有52张邮票，那么小胖有156张邮票.

【技巧贴士】这是一道典型的和倍问题，首先找出等量关系，从图中可以看出小巧与小胖的邮票数之和为208张，再列方程.最后提醒别忘了算小胖的邮票数.

【题2】

一辆客车和一辆轿车从宁波出发开往上海，轿车比客车迟开0.3小时，客车平均每小时行驶90千米，轿车平均每小时行108千米.轿车开出多少小时后追上客车？

[略解]

解：

设轿车开出小时后追上客车.

，，

答：

轿车开出1.5小时后追上客车.

【技巧贴士】

这是道追及问题，在本题中因为客车与轿车行驶的路程是相等的，我们可以将两辆车的路程画作两段来分析题目,这样更容易找出等量关系.

【题3】

小刘和小王两家之间的路程是1500千米，两人同时从家里出发相向而行，小刘平均每分钟走72米，小王平均每分钟走75米，几分钟后两人还相距324米？

[略解]

解：

设分钟后两人还相距324米.

，

答：

设8分钟后两人还相距324米.

【技巧贴士】

本道题目是将相遇问题进行了改变，我们还可以这样理解题目，小王和小刘之间还有324米就相遇了，所以1500米减去324米，就是他们一共走的总路程，即方程为.

【巩固练习】第一期

第一部分基础达标

1.商店里出售精装、平装两种集邮册.精装集邮册的售价比平装集邮册贵9.6元，是平装集邮册价格的1.6倍，这两种集邮册的售价分别是多少元？

2.一辆轿车和一辆大巴士先后从南京出发开往上海，大巴士先行150千米后轿车也出发了，大巴士平均每小时行80千米，轿车平均每小时行100千米.轿车几小时后追上大巴士？

3.上海到宁波的高速公路全长296千米，两辆旅游巴士车同时从两地出发，途中巴士车A休息了0.6小时，结果巴士车B1.85小时后与A车在途中相遇.已知B车平均每小时行驶92千米，A车平均每小时行多少千米？

第二部分强化训练

4.动物园里的狮子和老虎的数量相差14只，狮子的数量比老虎的2倍还多2只，则动物园里的狮子和老虎各有多少只？

5.一盒巧克力平均分给几个小朋友，如果每人分6颗，那么还剩下14颗；如果每人分8颗，那么正好分完.一共有多少小朋友？

这盒巧克力有多少颗？

6.甲乙两人相距若干米，如果两人相对而行，2分钟可以相遇；如果两人同时同向而行，甲在乙后，6分钟可以追上乙.如果乙每分钟走60米，那么甲每分钟走多少米？

7.暑假里小诗和小琪从学校出发骑车去电影院看电影.已知小诗骑车速度为每分钟220米，小琪为每分钟280米.小诗出发6分针后小琪去追赶，结果两人同时达到电影院，小琪骑了多少分钟？

如果小诗19:

00出发，电影19:

30开始，那么他们两人能否在电影院开映前进入电影院？

8.甲、乙两地相距1500米，有两人分别从甲、乙两地同时相向出发，10分钟后相遇，如果两人各自提速20%，仍从甲、乙两地同时相向出发，则出发后多少秒后相遇？

9.在一个600米的环形跑道上，兄两人同时从同一个起点按顺时针方向跑步，两人每隔12分钟相遇一次，若两个人速度不变，还是在原来出发点同时出发，哥哥改为按逆时针方向跑，则两人每隔4分钟相遇一次，两人跑一圈各要多少分钟？

10.甲、乙二人分别从A、B两地同时出发匀速相向而行，出发后8小时两人相遇．若两人每小时都多走2千米，则出发后6小时两人就相遇在距离AB中点3千米的地方．已知甲比乙行得快．甲原来每小时行多少千米？

【典型应用2】几何应用

应用2：

几何题目的实质是以形化数，现阶段我们应该掌握基础图形的面积公式、周长公式和体积公式。

有些平面图形从表面上看，根本不是长方形或正方形，但我们可以运用所学的知识将其转化为标准的长方形和正方形，再进行解答.遇到立体图形时，我们应该从图形的不同角度看问题，注意长宽高的变化.

【题1】如图，把一张长19厘米，宽13厘米的长方形白纸折成右图形壮，EC=5.5厘米，求阴影部分的面积．

[略解]解：

（5.5+13）×13÷2-（13-5.5）×19÷2=18.5×13÷2-7.5×19÷2=120.25-71.25=49（平方厘米）.答：

阴影部分的面积是49平方厘米．

【技巧贴士】求组合图形面积一般用割补法，弄清楚阴影部分是哪些图形的和或差.在这道题中，阴影部分的面积=梯形的面积-折过来的部分的面积，又因梯形的上底、下底和高分别为5.5厘米、13厘米和19厘米，折过来的部分的两条直角边分别为19-5.5=13.5厘米、19厘米，从而利用梯形和三角形的面积公式即可求解．

【题2】有个零件形状如图，这个零件的体积是多少立方厘米？

如果1立方厘米铁的重量为7.8克，用铁制成的这种零件有多少重？

[略解]解：

（1）零件的体积：

6×3×2+（9-6）×3×6=36+54=90（立方厘米）答：

这个零件的体积是90立方厘米．

（2）90×7.8=702（克）答：

用铁制成的这种零件重702克．

【技巧贴士】此题主要考查长方体的体积的计算方法在实际生活中的应用，关键是先将零件变成规则的图形再求其体积．这个零件由2个长方体组成，它们的长、宽、高分别为：

6厘米、3厘米、2厘米；（9-6）厘米、3厘米、6厘米，利用长方体的体积V=abh即可求出这个零件的体积；再用这个零件的体积乘单位体积的铁的重量，就是这个零件的总重量．

【巩固练习】第二期

第一部分基础达标

1.如图，BC=15厘米，CD=8厘米，三角形AFB的面积比三角形DEF的面积大30平方厘米，求DE的长．

2.一块平行四边形的草地中有一条长5.2米、宽1米的小路.这块草地的面积是多少平方米？

3.图中表示的小正方体的表面积为54平方米，则如图中用8个这样的小正方体组成的正方体的表面积是______平方米．

4.一个长方形玻璃缸，从里面量长50厘米，宽30厘米，水深12厘米，把一个机器零件浸没在水中，这时水面高度15厘米，求零件的体积．

第二部分强化训练

5.如图的长方形中有三个三角形，它们面积间的关系是（　　）

A.B.C.D.

6.把一个长、宽、高分别是5厘米、4厘米、3厘米的长方体截成两个小长方体，表面积最多增加（　　）.

A.20平方厘米B.30平方厘米C.40平方厘米D.60平方厘米

7.一个长6分米、宽4分米、高2分米的木箱．用三根铁丝捆起来（如图），打结处要用1分米铁丝．这根铁丝总长至少为多少分米？

8.将15个棱长为1的正方体堆放在桌面上（如图），喷上红色后再将它们分开．涂上红色的部分，面积是多少平方厘米？

9.如图，AD=DE=EC，F是BC中点，G是FC中点，如果三角形ABC的面积是24平方厘米，则阴影部分是多少平方厘米？

10.一张长方形纸板，长24厘米，宽16厘米．现在在它的四个角上剪去大小相等的四个正方形，然后做成一个无盖的纸盒．当剪去的正方形边长为多少厘米时（取整厘米数），这个纸盒的容积最大（纸板的厚度忽略不计）．这时纸盒的容积是多少立方厘米？

【典型应用3】统计与可能性

应用3：

统计初步分为四个步骤：

数据收集、数据整理、数据呈现和数据分析.做统计题目就是要懂得去看图分析，总结统计图所给的信息，通常情况下，我们用条形统计图表示各类数量的多少，用折线统计图表示数量增减变化的情况，平均数是最常用的统计量,不但可以反映一组数据的总体情况，也可以用来分析不同数量的几组同类数据.

【题1】五年级全体学生参加活动，上周到图书馆借书情况如条形统计图.

（1）第_____天借书大于或等于70本？

（2）这周平均每天借书多少本？

（按5天计算，计算结果用四舍五入法凑整到个位）

[略解]通过观察统计图，可知：

（1）第二天借书等于70本；第三天（77本）和第五天（90本）借书大于70本；

（2）用这一周总共借书的本数除以5即得这一周平均每天借书的本数．

【技巧贴士】此题先读出统计图中已知的条件，再根据求平均数的方法求出这一周平均每天借书的本数.

【题2】小红到离家6千米的一个风景区游玩，请根据如图的折线图回答：

（1）小红在风景区玩了多长时间？

（2）如果一直走不休息，她几时几分可到达风景区？

（3）小红骑车回家时每小时行多少千米？

[略解]解：

（1）因为9点到10点分平均分2个时间段，每段30分钟．所以小红在风景区玩了30分钟．

（2）因为8点到9点之间分成了3段，60÷3=20（分钟），中间休息了20分钟，如果不休息，8点40分就可以到达.（3）因为9点到10点平均分2个时间段，60÷2=30（分钟），所以小红回家用了30分钟=小时．6÷=12（千米）；答：

小红骑车回家时每小时行12千米．

【技巧贴士】本题考查折现统计图，看学生能不能运用统计图提供的信息解决实际问题.

【巩固练习】第三期

第一部分基础达标

1.根据统计图信息完成下列问题

（1）上面统计图表示小巧本学期4次数学测验成绩增减变化的情况，它是_______统计图．

（2）小巧第3次数学测验成绩是_______分．

（3）小巧第5次数学测验成绩得_______分，才能使这5次数学测验的平均成绩是91分．

2.新华书店第一、第二季度各类图书销售情况如下表，请根据此表完成下面的统计图．

童话

漫画

科普

趣味数学

第一季度

45本

95本

70本

75本

第二季度

30本

90本

85本

85本

（1）新华书店第一、第二季度各类图书销售情况统计图

（2）如果书店想进一些新书，你有什么好推荐？

3.小芳统计了全班同学的体重，并将数据记录在下表中．

从这个班中任选一个同学，他的体重在28～30kg之间的可能性是多少？

4.下面记录的是五（3）班第1组女生的一次跳远成绩．（单位：

m）

2.83   3.32   2.75     3.17    2.58    2.65

3.24   3.29   3.41    3.26     2.98    3.52

（1）这组数据的中位数，平均数各是多少？

（2）用哪个数代表这个组数据的一般水平更合适？

（3）如果2.80m以上为及格，有多少名同学及格了，超过半数了吗？

第二部分强化训练

5.教练陪小明练习100米蛙泳，他们两人游泳的距离和时间的关系如下图，请看图回答问题．

（1）小明比教练先游______秒．

（2）小明游到______米时，速度明显慢了下来．

（3）两人都到达终点时，教练游的时间是小明的.

6.小丁和小华进行800米赛跑的时间与路程关系如下图．

（1）______赢得了比赛的胜利．

（2）小华的平均速度是每分钟_______米．（结果保