41自然数的定义pdf文档格式.docx
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3
Peano系统
•三元组<
M,F,e>
F:
M→M
(1)e∈M
(2)M在F下封闭
(3)e∉ranF
(4)F是单射
eF(e)F2(e)F3(e)
(5)A⊆M∧e∈A∧A在F下封闭⇒A=M
(极小性公理)
4
为何如此定义?
5
GiuseppePeano
•
–1858-1932,意大利数学家
–数理逻辑集合论奠基人之一
•引入∈和⊂记号
(他最初用的是ε和⊃)
•皮亚诺公理(最初是9条)
–皮亚诺曲线
•一条充满平面的连续曲线
6
如何实现?
•如何利用集合来构造Peano系统?
•借助于下面两个概念
–后继
–归纳集
7
冯∙诺依曼
JohnvonNeumann
–1903-1957,匈牙利裔美国科学家
•数学(以集合论为例)
–基础公理,类(1925博士论文)
–后继,归纳集(自然数构造)
•量子力学(奠基人之一)
•博弈论(奠基人)
•计算机(冯∙诺依曼体系结构)
8
后继
•A是集合
•A的后继(successor):
A+=A⋃{A}
•特征:
A⊆A+∧A∈A+
9
后继举例
•∅+=∅⋃{∅}={∅}
∅++={∅}+={∅}⋃{{∅}}={∅,{∅}}
∅+++={∅,{∅},{∅,{∅}}}
•{a}+={a}⋃{{a}}={a,{a}}
{a}++={a,{a},{a,{a}}}
{a}+++={a,{a},{a,{a}},{a,{a},{a,{a}}}}
•{∅,a}+={∅,a,{∅,a}}
{∅,a}++={∅,a,{∅,a},{∅,a,{∅,a}}}
10
归纳集
•A是归纳集⇔
(1)∅∈A
(2)∀x(x∈A→x+∈A)
•A是归纳集⇔A含有∅且对后继封闭
11
归纳集举例
•A={∅,∅+,∅++,∅+++,…}
•A={∅,∅+,∅++,∅+++,…,a,a+,a++,a+++,…}
•A={∅+,∅++,∅+++}
–不是归纳集,少∅
•A={∅,∅+,∅++,∅+++,…,a}
–不是归纳集,少a+,a++,a+++,…
12
自然数
•自然数是属于每个归纳集的集合
•∅
•∅+={∅}
•∅++={∅,{∅}}
•∅+++={∅,{∅},{∅,{∅}}}
•∅++++={∅,{∅},{∅,{∅}},{∅,{∅},{∅,{∅}}}}
•……
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自然数的记号
•0=∅
•1=∅+={∅}={0}
•2=∅++={∅,{∅}}={0,1}
•3=∅+++={0,1,2}
•n=(n-1)+={0,1,2,…,n-1}
14
自然数作为集合
2⋂3={0,1}⋂{0,1,2}={0,1}=2=min(2,3)
2⋃3={0,1}⋃{0,1,2}={0,1,2}=3=max(2,3)
3-2={0,1,2}-{0,1}={2}(-是集合运算)
2-3={0,1}-{0,1,2}=∅=0
⋃n=⋃{0,1,…,n-1}=n-1=max(0,1,…,n-1)
⋂n=⋂{0,1,…,n-1}=0=min(0,1,…,n-1)
•0∈1∈2∈3∈…0⊆1⊆2⊆3⊆…
15
自然数集
•D={v|v是归纳集}
–D不是集合,否则导致悖论!
–D是“类”
•自然数集N=∩D
•⇒自然数集是包含于每个归纳集的集合
16
对比
•自然数是属于每个归纳集的集合
•自然数集是包含于每个归纳集的集合
17
定理4.1
定理4.1N是归纳集
证明N=∩D=∩{v|v是归纳集}
={x|∀v(v是归纳集→x∈v)}.
(1)∀v,v是归纳集⇒∅∈v.∴∅∈N.
(2)∀a,a∈N⇒∀v(v是归纳集→a∈v)(N定义)
⇒∀v(v是归纳集→a+∈v)(归纳集定义)
⇒a+∈N.∴N对后继封闭.
由
(1)
(2),N是归纳集.#
18
N是最小的归纳集
•N是最小的归纳集:
∀v(v是归纳集→N⊆v)
•N={0,1,2,3,…}
19
后继函数
•后继函数:
σ:
N→N,∀n∈N,σ(n)=n+
•例:
σ(0)=0+=1,
σ
(1)=1+=2=0++,
σ
(2)=2+=3=1++=0+++,
……
20
定理4.2
•<
N,σ,0>
是Peano系统
21
定理4.2<
证明
(1)∅∈N:
定理4.1.
(2)∀n(n∈N→σ(n)=n+∈N):
定理4.1.(3)∅∉ranσ:
∀n∈N,σ(n)=n+=n⋃{n}≠∅
(4)σ是单射的:
定理4.3(后面)
(5)S⊆N∧∅∈S∧∀n∈S(n+∈S)⇒S=N:
∅∈S∧∀n∈S(n+∈S)⇒S是归纳集⇒N⊆S.#
•注意:
不用(4)证明(5),用(5)证明(4)
22
数学归纳法原理
•目标:
证明∀n∈N,P(n)为真
•步骤:
(一)构造S={n|n∈N∧P(n)}
(二)证明S是归纳集
(1)∅∈S
(2)∀n(n∈S→n+∈S)
∴S=N
23
定理4.3
定理4.3任何自然数的元素均为它的子集
证明令S={n|n∈N∧∀x(x∈n→x⊆n)}
(1)∅∈S:
∅∈N∧∀x(x∈∅→x⊆∅)
(2)n∈S⇒n+∈S,即∀x,x∈n+⇒x⊆n+:
∀x,x∈n+=n⋃{n}⇒x∈n∨x∈{n}
⇒x∈n∨x=n⇒x⊆n∨x=n(归纳假设)
⇒x⊆n+(n⊆n+)∴S=N.#
24
定理4.2证明(4)
•σ是单射,即σ(m)=σ(n)⇒m=n或
m+=n+⇒m=n
•证明:
m+=n+⇒n∈n+=m+=m⋃{m}
⇒n∈m∨n=m⇒n⊆m∨n=m(定理4.3)
同理,m+=n+⇒m⊆n∨m=n.
但是n⊆m∧m⊆n⇒m=n.#
25
定理4.4
•∀m,n∈N,m+∈n+⇔m∈n.
(⇒)
m+∈n+=n⋃{n}
⇒m+∈n∨m+=n
⇒m+⊆n(定理4.3)
⇒m∈m+⊆n
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定理4.4证明(⇐)
•∀m,n∈N,m+∈n+⇐m∈n.
令S={n|n∈N∧∀m(m∈n→m+∈n+)}
(1)∅∈S:
∅∈N∧∀m(m∈∅→m+∈∅+).
(2)n∈S⇒n+∈S,即∀m(m∈n+⇒m+∈n++):
m∈n+=n⋃{n}⇒m∈n∨m=n
⇒m+∈n+∨m+=n+(归纳假设)⇒m+∈n++(n+⊆n++∧n+∈n++).∴S=N.#
27
定理4.5
定理4.5任何自然数都不是自己的元素.
证明令S={n|n∈N∧n∉n}.
(1)∅∈S:
∅∈N∧∅∉∅.
(2)n∈S⇒n+∈S:
n∉n⇒n+∉n+(定理4.4)
∴S=N.#
28
定理4.6
定理4.6∅属于除0外的任何自然数.
证明令S={n|n∈N∧n≠0∧∅∈n}⋃{0}
(1)∅∈S:
显然
n∈S⇒n=0∨∅∈n⇒∅∈n+⇒n+∈S.
∴S=N.#
29
定理4.7(三歧性)
•∀m,n∈N,m∈n,m=n,n∈m中恰有一式成立证明概要:
•至多成立一式:
–m∈n∧n∈m⇒m∈n⊆m(定理4.3)⇒m∈m
–m∈n∧m=n⇒m∈m,与定理4.5矛盾!
•至少成立一式:
–S={n|n∈N∧∀m(m∈N→m∈n∨m=n∨n∈m)}
30
小结
•.Peano系统
•后继,归纳集,自然数,自然数集
•自然数性质的证明
31
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