解一元一次方程提高篇Word文档格式.docx
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此类问题一般先把方程化为ax+b=c的形式,分类讨论:
⑴当C:
0时'
无解;
(2)当c=o时'
原方程化为:
axb=o;
(3)当c0时,原方程可化为:
axb=c或axb--c.
2.含字母的一元一次方程
此类方程一般先化为一元一次方程的最简形式ax
=b,再分三种情况分类讨论:
(1)当a^O时,x=b;
(2)当a=0,b=0时,x
a
为任意有理数;
(3)当a=0,bK时,方程无解.
【典型例题】
类型一、解较简单的一元一次方程
.解方程:
(1)2x-5=x3;
(2)15.4x32=-0.6x.
32
【答案与解析】
解:
⑴討5誇3.
移项,合并得*8.
系数化为1,得x=48.
(2)15.4x+32=-0.6x.
移项,得15.4x+0.6x=-32.
合并,得16x=-32.
系数化为1,得x=-2.
【总结升华】方法规律:
解较简单的一元一次方
程的一般步骤:
(1)移项:
即通过移项把含有未知数的项放在等式的左边,把不含未知数的项(常数项)放在等式的右边.
(2)合并:
即通过合并将方程化为ax=b(aH0.)
(3)系数化为1:
即根据等式性质2:
方程两边都除以未知数系数a,即得方程的解X」.
举一反三:
【变式】下列方程的解法对不对?
如果不对,错在哪里?
应当怎样改正?
3x+2=7x+5
移项得3x+7x=2+5,合并得10x=7,
系数化为1得x=10.
【答案】以上的解法是错误的,其错误的原因是在移项时没有变号,也就是说将方程中右边的7x
移到方程左边应变为-7x,方程左边的2移到方程右边应变为-2.
正确解法:
移项得3x-7x=5-2,合并得-4x=3,系
数化为1得x「3.
类型二、去括号解一元一次方程。
2・解方程:
卜一扣一1)]=2(x_1)
223
【答案与解析】解法1:
先去小括号得:
再去中括
11122
xxx-
24433
解法3:
原方程可化为:
2【(x—1)1一扣-1)]今(x-1)
去中括号,得如一1严2-:
x(-(一1)
移项、合并,得
【总结升华】解含有括号的一元一次方程时,一般方法是由内到外或由外到内逐层去括号,但有时根据方程的结构特点,灵活恰当地去括号,以使计算简便•例如本题的方法3:
方程左、右两边都含(x-1),因此将方程左边括号内的一项x变为(X-1)后,把(x-1)视为一个整体运算.
❾3•解方程:
*2【2伊「卜卜=0.
2L2212丿一J
解法1:
(层层去括号)
去小括号1-4jL—m,
去中括号0
去大括号4^^8^442_1=0,
移项、合并同类项,得挣=驾系数化为1,得x=30.
解法2:
(层层去分母)
移项,得4榜2F1H「*,两边都乘2,得4」2;
2xT,卜1'
1=2,
移项,得3
两边都乘2,得1》一1一1=6
移项,得證x_1卜7,两边都乘2,得庆1=14,移项,得*=15,系数化为1,得X=30.
【总结升华】此题既可以按去括号的思路做,也可以按去分母的思路做.
【变式】解方程1呼卩_1)一61+4[=1.
213]4「5丿一J
【答案】
方程两边同乘2,得丄丄亠^一64=2,
3]4帖丿」
移项、合并同类项,得黑(*1卜6卜2,
两边同乘以3,得**1一6=一6.
移项、合并同类项,得寸*1=0,
两边同乘以4,得¥
一1=0,
移项,得5^1,系数化为1,得x=5.
类型三、解含分母的一元一次方程
【思路点拨】先将方程中的小数化成整数,再去分母,这样可避免小数运算带来的失误.
约分,得:
8x-3-25x+4=12-10X
移项,合并得:
方程两边同乘以1,去分母得:
8x-3-25x+4
=12-10x
移项,合并得:
11
x_7・
【总结升华】解此题一般是先将分母变为整数,再去分母,如解法1;
但有时直接去分母更简便一些,如解法2.
【变式】解方程.
0.50.3
原方程可化为专2尹=i.
53
去分母,得3(4y+9)-5(3+2y)=15.
去括号,得12y+27-15-10y=15.移项、合并同类项,得2y=3.
系数化为1,得y=|.
类型四、解含绝对值的方程
°
5•解方程:
3|2x|-2=0
【思路点拨】将绝对值里面的式子看作整体,先求出整体的值,再求x的值.
2x=|
|
当X时,得2x=f,解得:
X=|,当X<
0时,得-2x=|,解得:
x=-|,所以原方程的解是x=1或x=-1.
33
【总结升华】此类问题一般先把方程化为|ax+b=c的形式,再根据(axb)的正负分类讨论,注意不要漏解.
【变式】解方程|x-2卜1=0.
|x-2|=1,当x-2>
Q即x》2时,
原方程可化为x-2=1,解得x=3;
当x-2v0,即xv2时,原方程变形为-(x-2)=1,解
得x=1.K]
所以原方程的解为x=3或x=1.
类型五、解含字母系数的方程
6.解关于x的方程:
mx-1=nx
(m_n)x=1
当m—n=O,即m=n时,方程有唯一解为:
x=^^;
m—n
当m-n=O,即m=n时,方程无解.
【总结升华】解含字母系数的方程时,先化为最简形式ax=b,再根据x系数a是否为零进行分类讨论.
【变式】若关于x的方程
(k-4)x=6有正整数解,求自然数k的值.
•••原方程有解,•••k-4=0
约数,即k-4可为:
1,2,3,6
・•・k为:
5,6,7,10
答:
自然数k的值为:
5,6,7,10.
巩固练习题
一、选择题
1.关于x的方程3x+5=0与3x+3k=1的解相同,则k的值为().
A.-2B.3C.2D.-4
2•下列说法正确的是()
A•由7x=4x-3移项得7x-4x=-3
B.由•口去分母得2(2x-1)=1+3(x-3)
C.由2(2x-1)-3(x-3)=1去括号得4X-2-3X-9=4
D.由2(x-1)=x+7移项合并同类项得x=5
3.将方程筈去分母得到方程6x-3-2x-2=6,
其错误的原因是()
A.分母的最小公倍数找错
B.去分母时,漏乘了分母为1的项
C•去分母时,分子部分的多项式未添括号,造成符号错误
D•去分母时,分子未乘相应的数
4.解方程4牛-30卜7,较简便的是()•
A.先去分母B.先去括号C.先两边都
除以5d.先两边都乘以5
55
5.小明在做解方程作业时,不小心将方程中一个常数污染了看不清楚,被污染的方程是:
2『冷十+■怎么办呢?
小明想了想,便翻看了书后的答案,此方程的解是y=5,于是小明很快补上了
3
这个常数,并迅速完成了作业.同学们,你们能补出这个常数吗?
它应是().
A.1B.2C.3D.4
6.(山东日照)某道路一侧原有路灯106盏,相
邻两盏灯的距离为36米,现计划全部更换为新型的节能灯,且相邻两盏灯的距离变为70米,则
需更换的新型节能灯有()
A.54盏B.55盏C.56
盏D.57盏
7.△"
表示一种运算符号,其意义是a」b=2a-b,若xA(1A3)=2,则x等于()。
A.1B.*C.|D.2
8.关于x的方程(3m8n)x7=0无解,则mn是()
A•正数B.非正数C.负数D.非
负数二、填空题
9.(福建泉州)已知方程|x|=2,那么方程的解
是.
10.当x=时,x—字的值等于2.
11.已知关于X的方程的|a-x拧+3解是4,则
(-a)2_2a=.
12.若关于x的方程ax+3=4x+1的解为正整数,
则整数a的值是
13•已知关于x的方程mx3=2(x-m)的解满足x-2-3=0,则m的值是.
14.a、b、c、d为有理数,现规定一种新的运算:
三、解答题
15.解下列方程:
17.如图所示,用三种大小不同的六个正方形和一
个缺角的正方形拼成长方形ABCD,其中,GH=2cm,GK=2cm,设BF=xcm,
(1)用含x的代数式表示
(2)若DC=10cm,求x的值.
(3)求长方形ABCD的面积.
1.【答案】C
【解析】方程3x+5=0的解为x—5,代入方程3
3x+3k=1,再解方程可求出k.
2.【答案】A.
【解析】由7x=4x-3移项得7x-4x=-3;
B.宁=1导去分母得2(2x-1)=6+3(x-3);
C.把2(2x-1)-3(x-3)=1去括号得4x-2-3x+9=1;
D.2(x-1)=x+7,2x-2=x+7,2x-x=7+2,x=9
3.【答案】C
【解析】把方程筈1去分母,得23
3(2x-1)-2(x-1)=6,6x-3-2x+2=6与6x-3-2x-2=6相比较,很显然是符号上的错误.
4.【答案】B
【解析】因为4与5互为倒数,所以去括号它
54
们的积为1.
5.【答案】B
【解析】设被污染的方程的常数为k,则方程为2y-2=2y+k,把y=5代入方程得詈-养^栋,移项得
心51罟,合并同类项得-k=-2,系数化为1得k
623
=2,故选B.
6.【答案】B
【解析】设有x盏,则有(x_1)个灯距,由题意可得:
36(106-1)=70(x-1),解得:
x=55
7.【答案】B
【解析】由题意可得:
△”表示2倍的第一个
数减去第二个数,由此可得:
1,3=21一3=一1,而xg)—2X仁2,解得:
V
8.【答案】B
【解析】原方程可化为:
(3m8n)x「7,将“m8n”看作整体,只有3m8n=0时原方程才无解,由此可得m,n均为零或一正一负,所以mn的值应为非正数.
9.【答案】Xi=2,X2=-2
10.【答案】-31
11.【答案】24
【解析】把x=4代入方程,得号a-4=]3,解得a
=6,从而(-a)2-2a=24.
12•【答案】2或3
【解析】由题意,求出方程的解为:
ax-4x=l-3
(a_4)x—2,x—二,因为解为正整数,所以
a_477
a_4二一1或一2,即a=2或3.
13.【答案】-5或1
【解析】由|X—2—3=0,得:
%-2=3或-3,即x为5或-1。
当x=5时,代入mx3=2(x—m)得,m=1;
当x—1时,代入得m=一5.
14.【答案】3
【解析】由题意,得2>
5-4(1-x)=18,解得x=3.
15.【解析】
(1)原方程可化为:
,宁
(3)原方程可化为:
去分母,化简得:
—15x=13
16.【解析】
⑴原方程可化为:
(-4)x=b8
当a=4时,方程有唯一解:
当a=4,b—8时,方程无解;
当a=4,b「8时,原方程的解为任意有理数,即有无穷多解.
(2)(m-1)x=(m-1)(m-2)
当m—1=0,即m=1时,方程有唯一的解:
x二m—2.当m-1=0,即m=1时,原方程变为0x=0.原方程的解为任意有理数,即有无穷多解.
⑶(m—1)(m—2)x=mT
m"
m=2时,原方程有唯一解:
..1・x_m-2;
当m=1时,原方程的解为任意有理数,即有无穷多解;
当m=2时,原方程无解.
17.【解析】
(1)x2,2x2(或3x).
(2)2x+2+x+2=10.解得x=2.
(3)从两个角度表示线段DM长度时可得:
3x=2x+2,解得x=2.
长方形的长为:
x+x+x+x+2+x+2=14Cm,
宽为:
4x+2=4x2+2=10Cm.
所以长方形的面积为:
1410=140cm2
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- 一元一次方程 提高