届甘肃省兰州一中高三第三次模拟考试 数学文Word格式.docx
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8.已知某个几何体的三视图如图所示,根据图中标出的尺寸(单位:
cm),则这个几何体的体积是().
A.8cm3B.12cm3
C.24cm3D.72cm3
9.下图是某算法的程序框图,若程序运行后输出的结果是27,则判断框①处应填入的条件是( ).
A.n>
2B.n>
3
C.n>
4D.n>
5
10.P是双曲线
-y2=1右支(在第一象限内)上的任意一点,A1,A2分别是左右顶点,O是坐标原点,直线PA1,PO,PA2的斜率分别为k1,k2,k3,则斜率之积k1k2k3的取值范围是().
A.(0,1)B.(0,
)
C.(0,
)D.(0,
)
11.已知函数f(x)=|2x-1|,f(a)>
f(b)>
f(c),则以下情
况不可能发生的是().
A.a<
b<
cB.a<
c<
b
C.b<
aD.b<
a<
c
12.点P在直径为5的球面上,过P作两两互相垂直的三条弦(两端点均在球面上的线段),若其中一条弦长是另一条弦长的2倍,则这三条弦长之和的最大值是( ).
A.2
B.2
C.
D.
第Ⅱ卷(非选择题共90分)
本卷包括必考题和选考题两部分.第13题~第21题为必考题,每个试题考生都必修作答.第22题~第24题为选考题,考生根据要求作答.
二、填空题:
本大题共4小题,每小题5分,共20分.
13.若平面区域
是一个三角形,则k的取值范围是___________.
14.一个立方体骰子的六个面分别标有数字1,2,2,3,3,4;
另一个立方体骰子的六个面分别标有数字1,3,4,5,6,8.掷两粒骰子,则其最上面所标的两数之和为7的概率是___________.
15.设a=(4,3),a在b上的投影为
,b在x轴上的投影为1,则b=___________.
16.已知等差数列{an}的前n项和为Sn=(a+1)n2+a,某三角形三边之比为a2:
a3:
a4,则该三角形的面积___________.
三、解答题:
本大题共6小题,共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17.(本小题满分12分)
数列{an}中,a1=2,an+1=an+kn(k是不为零的常数,nN*),且a1,a2,a3成等比数列.
(Ⅰ)求k的值和{an}的通项公式;
(Ⅱ)求数列{
}的前n项和Tn.
18.(本小题满分12分)
在三棱柱ABC-A1B1C1中,AB=BC=CA=AA1=2,侧棱AA1⊥面ABC,D、E分别是棱A1B1、AA1的中点,点F在棱AB上,且AF=
AB.
(Ⅰ)求证:
EF∥平面BDC1;
(Ⅱ)求三棱锥D-BEC1的体积.
19.(本小题满分12分)
为了调查高一新生中女生的体重情况,校卫生室随机选取20名女生作为样本测量她们的体重(单位:
kg),获得的所有数据按照区间(40,45],(45,50],(50,55],(55,60]进行分组,得到频率分布直方图如图所示.已知样本中体重在区间(45,50]上的女生数与体重在区间(55,60]上的女生数之比为4:
3.
(Ⅰ)求a,b的值;
(Ⅱ)从样本中体重在区间(50,60]上的女生中随机抽取两人,求体重在区间(55,60]上的女生至少有一人被抽中的概率.
20.(本小题满分12分)
已知⊙C过点P(1,1),且与⊙M:
(x+2)2+(y+2)2=r2(r>
0)关于直线x+y+2=0对称.
(Ⅰ)求⊙C的方程;
(Ⅱ)过点P作两条相异直线分别与⊙C相交于A,B,且直线PA和直线PB的倾斜角互补,O为坐标原点,试判断直线OP和AB是否平行?
请说明理由.
21.(本小题满分12分)
已知函数f(x)=2x-
+blnx,曲线y=f(x)在点(1,f
(1))处切线方程为3x+y-8=0.
(Ⅰ)求a,b的值,并求函数f(x)的单调递增区间;
(Ⅱ)设g(x)=f(x)-
,试问过点(2,2)可作多少条直线与曲线y=g(x)相切?
请考生在第22,23,24三题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题计分,做答时请写清题号.
22.(本小题满分10分)选修4-1:
几何证明选讲
在△ABC中,AB=AC,过点A的直线与其外接圆交于点P,交BC延长线于点D.
;
(Ⅱ)若AC=2,求AP·
AD的值.
23.(本小题满分10分)选修4-4:
坐标系与参数方程
在平面直角坐标系xoy中,动点A的坐标为(2-3sin,3cos-2),其中R.以原点O为极点,以x轴非负半轴为极轴建立极坐标系,直线l的方程为cos(-
)=a.
(Ⅰ)判断动点A的轨迹表示什么曲线;
(Ⅱ)若直线l与动点A的轨迹有且仅有一个公共点,求实数a的值.
24.(本小题满分10分)选修4-5;
不等式选讲
若实数a,b满足ab>
0,且a2b=4,若a+b≥m恒成立.
(Ⅰ)求m的最大值;
(Ⅱ)若2|x-1|+|x|≤a+b对任意的a,b恒成立,求实数x的取值范围.
兰州一中2015届高三第三次模拟试题
文科数学参考答案
一、选择题
1.C解析:
∵A=(-1,1),B=[0,3],则A∩B=[0,1).故选C.
2.A解析:
.故选A.
3.D解析:
f(x)=-sin(2x),由2k+
≤2x≤2k+
得k+
≤x≤k+
,取k=-1.故选D.
4.C解析:
8a1-a4=0q3=8q=2,
=1+q2=5.故选C.
5.A解析:
△PAC在上下底面上的射影为①,在其它四个面上的射影为④.故选A.
6.C解析:
直线即a(x-1)+by=0,过定点P(1,0),而点P在圆(x+1)2+y2=5内,故相交.
故选C.
7.B解析:
易知这三个点都在单位圆上,而且都在第一,二象限,由平几知识可知,这样的三个点构成的必然是钝角三角形.故选B.
8.B解析:
三视图的直观图是有一个侧面垂直于底面三棱锥,底面是底边长为6高为4的等腰三角形,三棱锥的高为3,∴这个几何体的体积V=
×
6×
4×
3=12.故选B.
9.B解析:
由框图的顺序,s=0,n=1,s=(s+n)n=(0+1)×
1=1;
n=2,依次循环s=(1+2)×
2=6,n=3;
注意此刻3>
3仍然是“否”,所以还要循环一次s=(6+3)×
3=27,n=4,此刻输出s=27.故选B.
10.B解析:
k1k2k3=
.故选B.
11.D解析:
当x≤0时,f(x)递减;
当x≥0时,f(x)递增,∴b<
c不可能.故选D.
12.C解析:
设三条弦长分别是a,2a,h,则a2+(2a)2+h2=25,即5a2+h2=25,三条弦长之和S=3a+h,将h=S-3a代入5a2+h2=25,得14a2-6aS+S2-25=0,由≥0得S2≤70.故选C.
二、填空题
13.(-∞,-2)∪(0,
].解析:
直线y+2=k(x+1)过定点(-1,-2),作图得k的取值范围是
(-∞,-2)∪(0,
].
14.
解析:
在36对可能的结果中,和为7的有6对:
(1,6),(2,5),(2,5),(3,4),(3,4),(4,3).∴得到两数之和为7的概率是
.
15.(1,-1)解析:
由题意可知b的终点在直线x=1上,可设b=(1,y),则
,
,17y2+48y+31=0,∴y=-1或y=-
(增解,舍去),∴b=(1,-1).
16.
∵{an}是等差数列,∴a=0,Sn=n2,∴a2=3,a3=5,a4=7.
设三角形最大角为,由余弦定理,得cos=-
,∴=120°
.∴该三角形的面积
S=
3×
5×
sin120°
=
三、解答题
17.(Ⅰ)解:
a1=2,a2=2+k,a3=2+3k,由a22=a1a3得,(2+k)=2(2+3k),
∵k≠0,∴k=2.·
·
2分
由an+1=an+2n,得an-an-1=2(n-1),
∴an=a1+(a2-a1)+(a3-a2)+·
+(an-an-1)=2+2[1+2+·
+(n-1)]=n2-n+2.·
6分
(Ⅱ)解:
.·
8分
∴Tn=
,·
10分
两式相减得,
∴Tn=1-
12分
18.(Ⅰ)证明:
设O为AB的中点,连结A1O,
∵AF=
AB,O为AB的中点,∴F为AO的中点,
又E为AA1的中点,∴EF∥A1O.
又∵D为A1B1的中点,O为AB的中点,∴A1D=OB.
又A1D∥OB,∴四边形A1DBO为平行四边形.
∴A1O∥BD.又EF∥A1O,∴EF∥BD.
又EF平面DBC1,BD平面DBC1.
∴EF∥平面DBC1.…………………6分
∵AB=BC=CA=AA1=2,
D、E分别为A1B1、AA1的中点,AF=
AB,
∴C1D⊥面ABB1A1.
而
∵C1D=
∴
.………………………………12分
19.(Ⅰ)解:
样本中体重在区间(45,50]上的女生有a×
20=100a(人),·
1分
样本中体重在区间(50,60]上的女生有(b+0.02)×
20=100(b+0.02)(人),·
依题意,有100a=
100(b+0.02),即a=
(b+0.02).①·
3分
根据频率分布直方图可知(0.02+b+0.06+a)×
5=1,②·
4分
解①②得:
a=0.08,b=0.04.·
样本中体重在区间(50,55]上的女生有0.04×
20=4人,分别记为
A1,A2,A3,A4,·
7分
体重在区间(55,60]上的女生有0.02×
20=2人,分别记为B1,B2.·
从这6名女生中随机抽取两人共有15种情况:
(A1,A2),(A1,A3),(A1,A4),(A1,B1),(A1,B2),(A2,A3),(A2,A4),(A2,B1),
(A2,B2),(A3,A4),(A3,B1),(A3,B2),(A4,B1),(A4,B2),(B1,B2).·
其中体重在(55,60]上的女生至少有一人共有9种情况:
(A1,B1),(A1,B2),(A2,B1),(A2,B2),(A3,B1),(A3,B2),(A4,B1),(A4,B2),
(B1,B2).·
11分
记“从样本中体重在区间(50,60]上的女生随机抽取两人,体重在区间(55,60]上的女生
至少有一人被抽中”为事件M,则P(M)=
20.(Ⅰ)解:
设圆心C(a,b),则
,解得
则圆C的方程为x2+y2=r2,将点P的坐标代入得r2=2,
故圆C的方程为x2+y2=2.·
5分
由题意知,直线PA和直线PB的斜率存在,且互为相反数,
故可设PA:
y-1=k(x-1),PB:
y-1=-k(x-1),且k≠0,·
由
,得(1+k2)x2-2k(k-1)x+k2-2k-1=0,·
∵点P的横坐标x=1一定是该方程的解,故可得xA=
同理,xB=
9分
=1=kOP.·
∴直线AB和OP一定平行.·
21.(Ⅰ)解:
f(x)的定义域是(0,+∞),f′(x)=2+
+
依题设,f
(1)=5,f′
(1)=-3,∴a=-3,b=-2.·
∴f′(x)=2-
,令f′(x)>
0,又x>
0,∴x>
∴函数的单调增区间为(
,+∞).·
(Ⅱ)g(x)=f(x)-
=2x-2lnx,g′(x)=2-
设过点(2,2)与曲线g(x)的切线的切点坐标为(x0,y0),
则y0-2=g′(x0)(x0-2),即2x0-2lnx0-2=(2-
)(x0-2),∴lnx0+
2.·
令h(x)=lnx+
-2,则h′(x)=
,∴x=2.
∴h(x)在(0,2)上单调递减,在(2,+∞)上单调递增.·
∵h(
)=2-ln2>
0,h
(2)=ln2-1<
0,h(e2)=
>
0.
∴h(x)与x轴有两个交点,∴过点(2,2)可作2条曲线y=g(x)的切线.·
22.(Ⅰ)证明:
∵∠CPD=∠ABC,∠D=∠D,
∴△DPC~△DBA.
又∵AB=AC,∴
.·
∵∠ACD=∠APC,∠CAP=∠CAD,∴△APC~△ACD.
,∴AC2=AP·
AD=4.·
23.(Ⅰ)解:
设动点A的直角坐标为(x,y),则
∴动点A的轨迹方程为(x-2)2+(y+2)2=9,
其轨迹是以(2,-2)为圆心,半径为3的圆.·
直线l的极坐标方程cos(-
)=a化为直角坐标方程是x+y=
a.
=3,得a=3,或a=-3.·
24.(Ⅰ)解:
由题设可得b=
0,∴a>
0.∴a+b=a+
≥3,
当a=2,b=1时,a+b取得最小值3,∴m的最大值为3.·
要使2|x-1|+|x|≤a+b对任意的a,b恒成立,须且只须2|x-1|+|x|≤3.
用零点区分法求得实数x的取值范围是-
≤x≤
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