第19章四边形知识点与常见题型总结文档格式.docx

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10、直角三角形的性质直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半

11、矩形对角线产生的三角形的特点矩形的一条对角线把矩形分成两个全等的直角三角形,两条对角线把矩形分成四个小的全等的等腰三角形

12、有关矩形面积的计算①面积公式:

矩形面积=长宽②如图、矩形的两条对角线相交于,则

13、菱形的定义一组邻边相等的平行四边形叫做菱形

14、菱形的性质①具有平行四边形的一切性质②菱形的四条边都相等③菱形的两条对角线互相垂直,并且每一条对角线平分一组对角④菱形是轴对称图形,每条对角线所在的直线都是它的对称轴

15、菱形的判定方法①有一组邻边相等的平行四边形是菱形②对角线互相垂直的平行四边形是菱形③四条边都相等四边形是菱形

16、有关菱形的面积计算由于菱形的对角线互相垂直平分,也可以用平行四边形的面积计算公式=底高

17、正方形的定义一组邻边相等的矩形叫做正方形正方形不仅是特殊的平行四边形,而且是特殊的矩形,又是特殊的菱形

18、正方形的性质正方形具有平行四边形,矩形,菱形的一切性质①边:

四边相等,对边平行②角:

四个角都是直角③对角线:

互相平分;

相等;

且垂直;

每一条对角线平分一组对角,即正方形的对角线与边的夹角为④正方形是轴对称图形,有四条对称轴

19、正方形的判定①菱形+矩形的一条特征②菱形+矩形的一条特征③平行四边形+一个直角+一组邻边相等说明一个四边形是正方形的一般思路是:

先判断它是矩形,在判断这个矩形也是菱形;

或先判断它是菱形,再判断这个菱形也是矩形

20、正方形对角线产生的三角形特点正方形的一条对角线把正方形分成两个全等的等腰直角三角形,两条对角线把正方形分成四个小的全等的等腰直角三角形

21、正方形常用的辅助线添加方法①正方形中常连对角线,把四边形的问题转化为三角形的问题②有垂直时做垂线构造正方形③有正方形一边中点时常取另一边中点构造图形来应用④利用旋转法将与正方形有关的题目的分散元素集中起来,从而为解决问题创造条件

22、平行四边形,菱形,矩形,和正方形四者之间的关系

23、梯形定义:

一组对边平行而另一组对边不平行的四边形叫做梯形梯形的底:

梯形中平行的两边叫做梯形的底,通常把较短的底叫做上底,较长的底叫做下底梯形的腰:

梯形中不平行的两边叫做梯形的腰梯形的高:

梯形两底之间的距离叫做梯形的高等腰梯形:

两腰相等的梯形直角梯形:

一腰垂直于底的梯形

24、梯形的判定①判定四边形一组对边平行,另一组对边不平行②一组对边平行但不相等的四边形是梯形

25、等腰梯形的性质①两底平行,两腰相等②等腰梯形在同一底上的两个角相等③等腰梯形的两条对角线相等④等腰梯形是轴对称图形,只有一条对称轴,一底的垂直平分线是它的对称轴

26、等腰梯形的判定①两腰相等的梯形是等腰梯形②在同一底上的两个角相等的梯形是等腰梯形（以前出现,但是在新课标中没有出现的判定方法:

对角线相等的梯形是等腰梯形）

27、梯形的面积面积=（上底+下底）高

2、三角形中位线：

连接三角形两边中点的线段，叫做三角形的中位线，三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半

梯形中位线：

连接梯形两腰中点的线段，叫做梯形的中位线、梯形中位线平行于两底，并且等于两底和的一半基础题型

1、如图在平行四边形中，，求这个平行四边形各内角的度数解：

四边形是平行四边形，由于故设，则即解得　因此，

平行四边形各内角度数分别是，，，２、已知平行四边形的周长为，，相交于，且的周长比的周长小于，如图，求平行四边形各边的长解：

四边形为平行四边形

，，的周长＝　的周长＝且的周长比的周长小于

又平行四边形的周长为

，，３、如图，已知：

在平行四边形中，是对角线，于，于

求证：

证明：

方法一：

四边形是平行四边形

，

方法二：

连接，交于四边形是平行四边形，又，，而（）４、如图所示，在平行四边形中，，分别是，延长线上的点，且，则与具有怎么样的位置关系？

试说明理由解：

在平行四边形中，，，，又　方法二、连接，交于在平行四边形中，，

（）　方法三、连接，交于，连接，由方法二知、，四边形为平行四边形５、如图，已知是平行四边形对角线的交点，，，，那么的周长为＿＿＿＿＿解：

根据平行四边形对角线互相平分以及对边相等的性质可知，，的周长为６、如图平行四边形中，，，与交于，则该图形中的平行四边形的个数共有（

）Ａ、

Ｂ、

Ｃ、

Ｄ、由题意可知图中的平行四边形分别是：

，，，，，，，，所以共有个７、如图，平行四边形中，平分交于，交的延长线于，，交于，交延长线于，垂足为，试证明：

，，

平分，

（）

８、如图，已知：

，，分别在的各边上，，，延长到，使、求证：

与互相平分、证明：

连接，

，又

，而　四边形为平行四边形　与互相平分９、如图，已知是的边的中点，是上的一点，试说明：

与互相平分证明：

连接，，四边形为平行四边形，是中点，　四边形为平行四边形与互相平分、如图，点，分别在平行四边形的边，上，且，，，垂足分别为，，求证：

与互相平分证明：

连接，四边形是平行四边形，，　四边形是平行四边形（一组对边平行且相等的四边形是平行四边形）与互相平分、如图，与互相平分，交点为，与互相平分，交点为，那么，四边形是平行四边形么？

你是怎么判定的？

解：

四边形是平行四边形证明：

连接，，，，与互相平分四边形是平行四边形，与互相平分四边形是平行四边形，，四边形是平行四边形、如图，已知,是的高，是的中点、求证：

，是的高，

，均为直角三角形

是的中点

是斜边上的中线，是斜边上的中线

、如图，先将矩形纸片对折一次折痕为，展开后又将纸片折叠使点落在上，此时折痕为，求度数的大小提示：

根据题意得过点作，垂足为则，（直角三角形中角所对的直角边等于斜边的一半，反过来也成立）、过矩形对角线的中点作分别交，于,，点为的中点，若，求证：

连接四边形是矩形是线段的垂直平分线

，　是中点

、在矩形，,，将矩形折叠，使点与点重合，折痕为，在展开，求折痕的长解：

　由勾股定理可得根据题意有，设，由勾股定理，即　解得　，　（提示：

对角线互相垂直的四边形面积等于对角线乘积的一半）、已知：

如图，是矩形对角线的交点，平分，，求的度数答案：

提示为等腰直角三角形，为等边三角形，为等腰三角形，，、如图，为过的直角顶点的直线，且于，于点，，为的中点，求证：

连接为直角三角形，为斜边的中点　，，，又（）　，，为的中点，即又，　（）总结：

在直角三角形中，出现中点时，常见的辅助线是斜边上的中线以及中位线、如图是菱形边的中点，于，交的延长线于，交于，求证：

四边形是菱形

，　（）

（），

即与互相平分方法二：

连接，由，得，则且四边形为平行四边形　与互相平分、如图，在中，，是的平分线，交于点，是边上的高，交于，于、求证：

四边形是菱形证明：

是的平分线

是的平分线，，

平行四边形是菱形、菱形中，，如果它的一条对角线长为，求菱形的边长　解：

若对角线，如图四边形为菱形，且则为等边三角形菱形的边长为若对角线，如图四边形为菱形，且则为等边三角形又　设，，由勾股定理可得，解得，综上所述：

菱形的边长为或、如图，四边形是正方形，是的中点，是上的一点，且求证：

连接，设，则

四边形是正方形　，

为中点

在中，　在中，　在中，

则，是直角三角形

（到初三的时候此题还有额外的证明方法）、如图，过正方形对角线上一点，作于，作于，连接，、求证：

，证明：

连接，延长交于点四边形是正方形，　（），，，四边形为矩形（有三个角为直角的四边形为矩形）

，（）　，

、如图正方形中，是的中点，，平分，交于求证：

取线段的中点，连接

四边形为正方形

为中点，为中点

平分

在与中

思考：

若点是线段上一个动点，其他条件不变，则上面的结论还成立么？

请参考上面的解题思路，本题还有额外的证明方法，但是需要初三学习的知识，现在就不列举了、如图，在梯形中，，，，分别是，的中点，且，求证：

梯形为等腰梯形证明：

过分别作，的平行线交于，，易知四边形和四边形　都是平行四边形

，，，，分别是，的中点，

是线段的垂直平分线　故梯形是等腰梯形、已知等腰梯形中，，，，，求它的腰长解：

过点作，交于点

四边形为平行四边形，

四边形为等边三角形　，　方法二过点作，垂足为，过点作，垂足为四边形为等腰梯形，（）四边形为矩形

、如图，在中，，平分，，点是的中点求证：

①　②证明：

①延长交于点

（）（又是高，又是角平分线，很容易联想到“三线合一”），点是的中点是三角形的中位线，②　、如图，在梯形中，，，是中点

取中点，连接　由梯形中位线性质可知且