体育单招数学圆锥曲线答案.docx
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体育单招数学圆锥曲线答案
一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,共60分)
1.椭圆+=1与双曲线-=1有相同的焦点,则k应满足的条件是( )
A.k>3B.2 C.k=2D.0 考点 双曲线性质的应用 题点 双曲线与椭圆结合的有关问题 答案 C 解析 由9-k2=k+3,即k2+k-6=0, 解得k=2或-3. 又由题意知k2<9且k>0, 所以0 所以k=2. 2.已知双曲线的离心率为2,焦点是(-4,0),(4,0),则双曲线的方程为( ) A.-=1B.-=1 C.-=1D.-=1 考点 双曲线性质的应用 题点 求双曲线的标准方程 答案 A 解析 依题意得c=4,e===2,a=2,b2=c2-a2=12, 因此所求的双曲线的标准方程为-=1,故选A. 3.若双曲线的顶点为椭圆x2+=1长轴的端点,且双曲线的离心率与该椭圆的离心率的积为1,则双曲线的方程为( ) A.x2-y2=1B.y2-x2=1 C.x2-y2=2D.y2-x2=2 考点 双曲线性质的应用 题点 双曲线与椭圆结合的有关问题 答案 D 解析 椭圆x2+=1的离心率为,则双曲线的离心率为,且双曲线的顶点为(0,±),故选D. 4.设圆锥曲线C的两个焦点分别为F1,F2,若曲线C上存在点P满足|PF1|∶|F1F2|∶|PF2|=4∶3∶2,则曲线C的离心率等于( ) A.或B.或2 C.或2D.或 考点 圆锥曲线的综合问题 题点 圆锥曲线的综合问题 答案 A 解析 设|PF1|=4k,|F1F2|=3k,|PF2|=2k. 若曲线C为椭圆,则2a=6k,2c=3k, ∴e===; 若曲线C为双曲线,则2a=2k,2c=3k, ∴e===. 5.设双曲线-=1(a>0,b>0)的虚轴长为2,焦距为2,则双曲线的渐近线方程为( ) A.y=±xB.y=±x C.y=±xD.y=±2x 考点 双曲线性质的应用 题点 由双曲线的几何性质求方程 答案 A 解析 ∵2b=2,2c=2,∴b=1,c=, 则a==,∴=. 故双曲线的渐近线方程为y=±x=±x. 6.M是抛物线y2=2px(p>0)上一点,F为抛物线的焦点,以Fx为始边,FM为终边的角为α,且α=60°,若|FM|=4,则p等于( ) A.1B.2 C.3D.4 考点 抛物线的焦点弦问题 题点 与焦点弦有关的其他问题 答案 B 解析 不妨设M在第一象限,过点M作MN⊥x轴,垂足为N,计算可得|MN|=2,|FN|=2,所以M的坐标为,代入y2=2px(p>0),得p=2或p=-6(舍). 7.等轴双曲线C的中心在原点,焦点在x轴上,C与抛物线y2=16x的准线交于A,B两点,|AB|=4,则C的实轴长为( ) A.B.2C.4D.8 考点 抛物线的几何性质 题点 抛物线与其他曲线结合有关问题 答案 C 解析 设双曲线的方程为-=1(a>0), 抛物线的准线为x=-4,且|AB|=4, 故可得A(-4,2),B(-4,-2), 将点A坐标代入双曲线方程,得a2=4, 故a=2,故实轴长为4. 8.已知点A(0,2),B(2,0).若点C在抛物线x2=y的图象上,则使得△ABC的面积为2的点C的个数为( ) A.4B.3 C.2D.1 考点 直线与抛物线的位置关系 题点 判断交点个数问题 答案 A 解析 由已知可得|AB|=2,要使S△ABC=2,则点C到直线AB的距离必须为,设C(x,x2),而lAB: x+y-2=0, 所以有=, 所以x2+x-2=±2, 当x2+x-2=2时,有两个不同的C点; 当x2+x-2=-2时,亦有两个不同的C点. 因此满足条件的C点有4个,故选A. 9.已知双曲线-=1的两个焦点分别为F1,F2,则满足△PF1F2的周长为6+2的动点P的轨迹方程为( ) A.+=1B.+=1(x≠0) C.+=1D.+=1(x≠0) 考点 双曲线性质的应用 题点 双曲线与椭圆结合的有关问题 答案 B 解析 ∵双曲线的方程为-=1, ∴a2=2,b2=3,可得c2=a2+b2=5, 因此双曲线-=1的两个焦点分别为F1(0,-),F2(0,). ∵△PF1F2的周长为6+2,|F1F2|=2, ∴|PF1|+|PF2|=6>2, ∴点P的轨迹是以F1,F2为焦点的椭圆(上、下顶点除外). 由椭圆的定义,得椭圆长轴长为6,长半轴长为3, ∴该椭圆的短半轴长为2, ∴点P的轨迹方程为+=1(x≠0). 10.我们把焦点相同,且离心率互为倒数的椭圆和双曲线称为一对“相关曲线”.已知F1,F2是一对相关曲线的焦点,P是它们在第一象限的交点,当∠F1PF2=60°时,这一对相关曲线中双曲线的离心率是( ) A.2B. C.D. 考点 双曲线性质的应用 题点 双曲线与椭圆结合的有关问题 答案 D 解析 设|F1P|=m,|F2P|=n,|F1F2|=2c, 由余弦定理,得(2c)2=m2+n2-2mncos60°, 即4c2=m2+n2-mn, 设a1是椭圆的长半轴,a2是双曲线的实半轴, 由椭圆、双曲线定义,得 m+n=2a1,m-n=2a2, ∴m=a1+a2,n=a1-a2, 将它们及离心率互为倒数关系代入前式得 3a-4c2+a=0, a1=3a2,e1e2=·==1, 解得,e2=,故选D. 11.探照灯反射镜的轴截面是抛物线的一部分,光源位于抛物线的焦点处,已知灯口的直径为60cm,灯深40cm,则抛物线的标准方程可能是( ) A.y2=xB.y2=x C.x2=-yD.x2=-y 考点 抛物线的标准方程 题点 求抛物线方程 答案 C 解析 如果设抛物线的方程为y2=2px(p>0),则抛物线过点(40,30),从而有302=2p×40,即2p=, 所以所求抛物线方程为y2=x. 虽然选项中没有y2=x,但C中的2p=符合题意. 12.已知抛物线y2=x,点A,B在该抛物线上且位于x轴的两侧,·=2(其中O为坐标原点),则△ABO与△AFO的面积之和的最小值是( ) A.2B.3C.D. 考点 直线与抛物线的位置关系 题点 直线与抛物线相交时的其他问题 答案 B 解析 如图,可设A(m2,m), B(n2,n),其中m>0,n<0, 则=(m2,m),=(n2,n), ·=m2n2+mn=2, 解得mn=1(舍)或mn=-2. ∴lAB: (m2-n2)(y-n)=(m-n)·(x-n2), 即(m+n)(y-n)=x-n2, 令y=0, 解得x=-mn=2, ∴C(2,0),点C为直线AB与x轴的交点. S△AOB=S△AOC+S△BOC=×2×m+×2×(-n)=m-n,S△AOF=××m=m,则S△AOB+S△AOF=m-n+m=m-n=m+≥2=3,当且仅当m=,即m=时等号成立.故△ABO与△AFO的面积之和的最小值为3. 二、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分) 13.已知双曲线中心在原点,一个顶点的坐标是(3,0),且焦距与虚轴长之比为5∶4,则双曲线的标准方程为________________. 考点 双曲线的标准方程的求法 题点 待定系数法求双曲线的标准方程 答案 -=1 解析 由题意得双曲线的焦点在x轴上,且a=3,焦距与虚轴长之比为5∶4,即c∶b=5∶4, 又c2=a2+b2,所以c=5,b=4, 所以双曲线的标准方程为-=1. 14.若椭圆+=1过抛物线y2=8x的焦点,且与双曲线x2-y2=1有相同的焦点,则该椭圆的方程为________________. 考点 双曲线性质的应用 题点 双曲线与椭圆结合的有关问题 答案 +=1 解析 抛物线y2=8x的焦点坐标为(2,0), 双曲线x2-y2=1的焦点坐标为(±,0) 由题意得 ∴a2=4,b2=2, ∴椭圆的方程为+=1. 15.直线x-2y+3=0与椭圆+=1(a>b>0)相交于A,B两点,且P(-1,1)恰好为AB中点,则椭圆的离心率为________. 考点 直线与椭圆的位置关系 题点 直线与椭圆相交时弦中点问题 答案 解析 由消去x, 得(4b2+a2)y2-12b2y+9b2-a2b2=0, Δ=144b4-4(a2+4b2)(9b2-a2b2)>0,即a2+4b2>9. 设A(x1,y1),B(x2,y2),则y1+y2=, ∵线段AB的中点为(-1,1), ∴=2,得a2=2b2. 又a2=b2+c2,∴a2=2c2,∴e==. 16.过抛物线C: y2=4x的焦点F作直线l交抛物线C于点A,B,若|AF|=3|BF|,则l的斜率是________. 考点 直线与抛物线的位置关系 题点 直线与抛物线的综合问题 答案 ± 解析 ∵抛物线C的方程为y2=4x, ∴它的焦点为F(1,0), 由题意知,直线l的斜率存在, ∴设直线l的方程为y=k(x-1), 由消去x得y2-y-k=0. 设A(x1,y1),B(x2,y2), 可得y1+y2=,① y1y2=-4,② ∵|AF|=3|BF|, ∴y1+3y2=0,可得y1=-3y2, 代入①,②得-2y2=,且-3y=-4, 消去y2,得k2=3,解得k=±. 三、解答题(本大题共6小题,共70分) 17.(10分)已知一个椭圆中心在原点,焦点在同一坐标轴上,焦距为2.一双曲线和这个椭圆有公共焦点,且双曲线的实半轴长比椭圆的长半轴长小4,双曲线离心率与椭圆离心率之比为7∶3,求椭圆和双曲线的标准方程. 考点 双曲线性质的应用 题点 双曲线与椭圆结合的有关问题 解 ①若焦点在x轴上, 设椭圆方程为+=1(a>b>0),c=. 设双曲线方程为-=1,m=a-4. ∵=,易得a=7,m=3. ∴b2=36,n2=4. ∴椭圆的标准方程为+=1, 双曲线的标准方程为-=1. ②若焦点在y轴上, 同理可得椭圆的标准方程为+=1,双曲线的标准方程为-=1. 18.(12分)已知双曲线C1: x2-=1. (1)求与双曲线C1有相同焦点,且过点P(4,)的双曲线C2的标准方程; (2)直线l: y=x+m分别与双曲线C1的两条渐近线相交于A,B两点.当·=3时,求实数m的值. 考点 直线与双曲线的位置关系 题点 直线与双曲线的位置关系 解 (1)∵双曲线C1: x2-=1, ∴焦点坐标为(,0),(-,0). 设双曲线C2的标准方程为-=1(a>0,b>0), ∵双曲线C2与双曲线C1有相同焦点,且过点P(4,), ∴解得 ∴双曲线C2的标准方程为-y2=1. (2)双曲线C1的两条渐近线分别为y=2x,y=-2x. 由可得x=m,y=2m,∴A(m,2m). 由可得x=-m,y=m, ∴B. ∴·=-m2+m2=m2. ∵·=3,∴m2=3,∴m=±. 19.(12分)已知点P(3,4)是椭圆+=1(a>b>0)上的一点,F1,F2为椭圆的两焦点,若PF1⊥PF2,试求: (1)椭圆的方程; (2)△PF1F2的面积. 考点 椭圆的几何性质 题点 求椭圆的标准方程 解 (1)令F1(-c,0),F2(c,0), 则b2=a2-c2.因为PF1⊥PF2, 所以kPF1·kPF2=-1,即·=-1, 解得c=5,所以设椭圆方程为+=1. 因为点P(3,4)在椭圆上,所以+=1. 解得a2=45或a2=5. 又因为a>c,所以a2=5舍去. 故所求椭圆的方程为+=1. (
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