八年级数学翻折变换折叠问题参考问题详解与精彩试题解析汇报Word文档下载推荐.docx
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如此∠BFN=30°
∴BN=BF=,
∴FN=BN=,
即点F到BC边的距离是,
[点评]此题考查了翻折变换的性质、等边三角形的性质、直角三角形的性质、勾股定理等知识;
熟练掌握翻折变换和等边三角形的性质,由勾股定理得出方程是解题的关键.
3.如图,在等腰Rt△ABC中∠C=90°
AC=BC=2.点D和点E分别是BC边和AB边上两点,连接DE.将△BDE沿DE折叠,得到△B′DE,点B恰好落在AC的中点处设DE与BB交于点F,如此EF=〔 〕
A.B.C.D.
[分析]根据等腰直角三角形的性质得到AB=AC=4,∠A=∠B=45°
过B′作B′H⊥AB与H,得到AH=B′H=AB′,求得AH=B′H=1,根据勾股定理得到BB′===,由折叠的性质得到BF=BB′=,DE⊥BB′,根据相似三角形即可得到结论.
∵在等腰Rt△ABC中∠C=90°
AC=BC=2,
∴AB=AC=4,∠A=∠B=45°
过B′作B′H⊥AB与H,
∴△AHB′是等腰直角三角形,
∴AH=B′H=AB′,
∵AB′=AC=,
∴AH=B′H=1,
∴BH=3,
∴BB′===,
∵将△BDE沿DE折叠,得到△B′DE,
∴BF=BB′=,DE⊥BB′,
∴∠BHB′=∠BFE=90°
∵∠EBF=∠B′BH,
∴△BFE∽△BHB′,
∴=,
∴EF=,
故答案为:
.
C.
[点评]此题考查了翻折变换〔折叠问题〕,等腰直角三角形的判定和性质,勾股定理,相似三角形的判定和性质,正确的作出辅助线是解题的关键.
4.如图,在△ABC中,AB=AC=2,∠BAC=30°
将△ABC沿AC翻折得到△ACD,延长AD交BC的延长线于点E,如此△ABE的面积为〔 〕
A.B.C.3D.
[分析]由折叠的性质可知∠CAD=30°
=∠CAB,AD=AB=2.由等腰三角形的性质得出∠BCA=∠ACD=∠ADC=75°
.求出∠ECD=30°
.由三角形的外角性质得出∠E=75°
﹣30°
=45°
过点C作CH⊥AE于H,过B作BM⊥AE于M,由直角三角形的性质得出CH=AC=1,AH=CH=.得出HD=AD﹣AH=2﹣.求出EH=CH=1.得出DE=EH﹣HD=﹣1,AE=AD+DE=1+,由直角三角形的性质得出AM=AB=1,BM=AM=.由三角形面积公式即可得出答案.
由折叠的性质可知:
∠CAD=30°
=∠CAB,AD=AB=2.
∴∠BCA=∠ACD=∠ADC=75°
∴∠ECD=180°
﹣2×
75°
=30°
∴∠E=75°
过点C作CH⊥AE于H,过B作BM⊥AE于M,如如下图:
在Rt△ACH中,CH=AC=1,AH=CH=.
∴HD=AD﹣AH=2﹣.
在Rt△CHE中,
∵∠E=45°
∴△CEH是等腰直角三角形,
∴EH=CH=1.
∴DE=EH﹣HD=1﹣〔2﹣〕=﹣1,
∴AE=AD+DE=1+,
∵BM⊥AE,∠BAE=∠BAC+∠CAD=60°
∴∠ABM=30°
∴AM=AB=1,BM=AM=.
∴△ABE的面积=AE×
BM=×
〔1+〕×
=;
B.
[点评]此题考查了翻折变换的性质、等腰三角形的性质、含30°
角的直角三角形的性质、等腰直角三角形的判定与性质、三角形面积等知识;
熟练掌握翻折变换和等腰三角形的性质是解题的关键.
5.如图,点F是长方形ABCD中BC边上一点将△ABF沿AF折叠为△AEF,点E落在边CD上,假设AB=5,BC=4,如此BF的长为〔 〕
[分析]根据矩形的性质得到CD=AB=5,AD=BC=4,∠B=∠D=∠C=90°
根据折叠的性质得到AE=AB=5,EF=BF,根据勾股定理得到DE===3,求得CE=2,设BF=EF=x,如此CF=4﹣x,根据勾股定理列方程即可得到结论.
∴CD=AB=5,AD=BC=4,∠B=∠D=∠C=90°
∵将△ABF沿AF折叠为△AEF,
∴AE=AB=5,EF=BF,
∴DE===3,
∴CE=2,
设BF=EF=x,如此CF=4﹣x,
∵EF2=CF2+CE2,
∴x2=〔4﹣x〕2+22,
x=,
[点评]此题考查了翻折变换〔折叠问题〕,矩形的矩形,勾股定理,熟练掌握折叠的性质是解题的关键.
6.如图,在矩形纸片ABCD中,CB=12,CD=5,折叠纸片使AD与对角线BD重合,与点A重合的点为N,折痕为DM,如此△MNB的面积为〔 〕
A.B.C.D.26
[分析]由勾股定理得出BD==13,由折叠的性质可得ND=AD=12,∠MND=∠A=90°
NM=AM,得出∠EA′B=90°
BN=BD﹣ND=1,设AM=NM=x,如此BM=AB﹣AM=5﹣x,在Rt△BMN中,由勾股定理得出方程,解方程得出NM=AM=,即可得出答案.
AD=BC=12,AB=CD=5,
∴BD===13,
由折叠的性质可得:
ND=AD=12,∠MND=∠A=90°
NM=AM,
∴∠EA′B=90°
BN=BD﹣ND=13﹣12=1,
设AM=NM=x,如此BM=AB﹣AM=5﹣x,
在Rt△BMN中,NM2+BN2=BM2,
∴x2+12=〔5﹣x〕2,
∴NM=AM=,
∴△MNB的面积=BN×
NM=×
1×
A.
[点评]此题考查了折叠的性质、勾股定理以与矩形的性质.熟练掌握折叠的性质和矩形的性质,由勾股定理得出方程是解题的关键.
7.如图,在△ABC中∠ACB=90°
、∠CAB=30°
△ABD是等边三角形、将四边形ACBD折叠,使点D与点C重合,HK为折痕,如此sin∠ACH的是〔 〕
[分析]在Rt△ABC中,设BC=a,如此AB=2BC=2a,AD=AB=2a.设AH=x,如此HC=HD=AD﹣AH=2a﹣x.在Rt△ABC中,由勾股定理得AC2=3a2,在Rt△ACH中,由勾股定理得AH2+AC2=HC2,即x2+3a2=〔2a﹣x〕2.解得x=a,即AH=a.求得HC的值后,利用sin∠ACH=AH:
HC求值.
∵△ABD是等边三角形,
∴∠BAD=60°
AB=AD,
∵∠CAB=30°
∴∠CAH=90°
在Rt△ABC中,∠CAB=30°
设BC=a,如此AB=2BC=2a.
∴AD=AB=2a.
设AH=x,如此HC=HD=AD﹣AH=2a﹣x,
在Rt△ABC中,AC2=〔2a〕2﹣a2=3a2,
在Rt△ACH中,AH2+AC2=HC2,即x2+3a2=〔2a﹣x〕2,
解得x=a,即AH=a.
∴HC=2a﹣x=2a﹣a=a.
∴sin∠ACH==,
[点评]此题考查了折叠的性质,锐角三角函数值,勾股定理的应用,熟练掌握折叠的性质和解直角三角形是解题的关键.
8.如图,在矩形ABCD中,AB=1,在BC上取一点E,连接AE、ED,将△ABE沿AE翻折,使点B落在B'
处,线段EB'
交AD于点F,将△ECD沿DE翻折,使点C的对应点C'
落在线段EB'
上,假设点C'
恰好为EB'
的中点,如此线段EF的长为〔 〕
[分析]由折叠的性质可得AB=AB'
=CD=C'
D=1,∠B=∠B'
=90°
=∠C=∠DC'
E,BE=B'
E,CE=C'
E,由中点性质可得B'
E=2C'
E,可得BC=AD=3EC,由勾股定理可求可求CE的长,由"
AAS〞可证△AB'
F≌△DC'
F,可得C'
F=B'
F=,即可求解.
∴AB=CD=1,AD=BC,∠B=∠C=90°
AB=AB'
E,
∵点C'
的中点,
∴B'
∴BE=2CE,
∴BC=AD=3EC,
∵AE2=AB2+BE2,DE2=DC2+CE2,AD2=AE2+DE2,
∴1+4CE2+1+CE2=9CE2,
CE=,
E=BE=,BC=AD=,C'
E=,
C'
=,
在△AB'
F和△DC'
F中,
∴△AB'
F〔AAS〕,
∴C'
F=,
∴EF=C'
E+C'
[点评]此题考查了翻折变换,矩形的性质,全等三角形的性质,勾股定理,求出CE的长是此题的关键.
9.如图,▱ABCD中,AB=6,∠B=75°
将△ABC沿AC边折叠得到△AB′C,B′C交AD于E,∠B′AE=45°
如此点A到BC的距离为〔 〕
A.2B.3C.D.
[分析]过B′作B′H⊥AD于H,根据等腰直角三角形的性质得到AH=B′H=AB′,根据折叠的性质得到AB′=AB=6,∠AB′E=∠B=75°
求得∠AEB′=60°
解直角三角形得到HE=B′H=,B′E=2,根据平行线的性质得到∠DAC=∠ACB,推出AE=CE,根据全等三角形的性质得到DE=B′E=2,求得AD=AE+DE=3+3,过A作AG⊥BC于G,根据直角三角形的性质即可得到结论.
过B′作B′H⊥AD于H,
∵∠B′AE=45°
∴△AB′H是等腰直角三角形,
∵将△ABC沿AC边折叠得到△AB′C,
∴AB′=AB=6,∠AB′E=∠B=75°
∴∠AEB′=60°
∴AH=B′H=×
6=3,
∴HE=B′H=,B′E=2,
∵▱ABCD中,AD∥BC,
∴∠DAC=∠ACB,
∵∠ACB=∠ACB′,
∴∠EAC=∠ACE,
∴AE=CE,
∵∠AB′E=∠B=∠D,∠AEB′=∠CED,
∴△AB′E≌△CDE〔AAS〕,
∴DE=B′E=2,
∴AD=AE+DE=3+3,
∵∠AEB′=∠EAC+∠ACE=60°
∴∠ACE=∠CAE=30°
∴∠BAC=75°
∴AC=AD=BC,∠ACB=30°
过A作AG⊥BC于G,
∴AG=AC=,
[点评]此题考查了翻折变换〔折叠问题〕,全等三角形的判定和性质,解直角三角形,正确的作出辅助线是解题的关键.
10.如图1,在△ABC中,∠ACB=90°
∠CAB=30°
△ABD是等边三角形,E是AB的中点,连结CE并延长交AD于F,如图2,现将四边形ACBD折叠,使D与C重合,HK为折痕,如此sin∠ACH的值为〔 〕
∵∠BAD=60°
设BC=a,
∴AB=2BC=2a.
[点评]此题考查了折叠的性质,锐角三角函数值,勾股定理的应用,注意:
折叠的性质:
折叠是一种对称变换,它属于轴对称,根据轴对称的性质,折叠前后图形的形状和大小不变,位置变化,对应边和对应角相等.
11.如图,在△ABC中,D是AC边上的中点,连结BD,把△BDC沿BD翻折,得到△BDC'
DC′与AB交于点E,连结AC'
假设AD=AC′=2,BD=3,如此点D到BC′的距离为〔 〕
[分析]连接CC'
交BD于点M,过点D作DH⊥BC'
于点H,由翻折知,△BDC≌△BDC'
BD垂直平分CC'
证△ADC'
为等边三角形,利用解直角三角形求出DM=1,C'
M=DM=,BM=2,在Rt△BMC'
中,利用勾股定理求出BC'
的长,在△BDC'
中利用面积法求出DH的长.
如图,连接CC'
于点H,
∵AD=AC′=2,D是AC边上的中点,
∴DC=AD=2,
由翻折知,△BDC≌△BDC'
∴DC=DC'
=2,BC=BC'
CM=C'
M,
∴AD=AC′=DC'
=2,
∴△ADC'
为等边三角形,
∴∠ADC'
=∠AC'
D=∠C'
AC=60°
∵DC=DC'
∴∠DCC'
=∠DC'
C=×
60°
在Rt△C'
DM中,
∠DC'
C=30°
DC'
∴DM=1,C'
M=DM=,
∴BM=BD﹣DM=3﹣1=2,
在Rt△BMC'
中,
BC'
===,
∵S△BDC'
=BC'
•DH=BD•CM,
∴DH=3×
∴DH=,
[点评]此题考查了轴对称的性质,解直角三角形,勾股定理等,解题关键是会通过面积法求线段的长度.
12.如图,在△ABC中,∠ABC=45°
AB=3,AD⊥BC于点D,BE⊥AC于点E,AE=1.连接DE,将△AED沿直线AE翻折至△ABC所在的平面,得△AEF,连接DF.过点D作DG⊥DE交BE于点G.如此四边形DFEG的周长为〔 〕
A.8B.4C.2+4D.3+2
[分析]先证△BDG≌△ADE,得出AE=BG=1,再证△DGE与△EDF是等腰直角三角形,在直角△AEB中利用勾股定理求出BE的长,进一步求出GE的长,可通过解直角三角形分别求出GD,DE,EF,DF的长,即可求出四边形DFEG的周长.
∵∠ABC=45°
AD⊥BC于点D,
∴∠BAD=90°
﹣∠ABC=45°
∴△ABD是等腰直角三角形,
∴AD=BD,
∵BE⊥AC,
∴∠GBD+∠C=90°
∵∠EAD+∠C=90°
∴∠GBD=∠EAD,
∵∠ADB=∠EDG=90°
∴∠ADB﹣∠ADG=∠EDG﹣∠ADG,
即∠BDG=∠ADE,
∴△BDG≌△ADE〔ASA〕,
∴BG=AE=1,DG=DE,
∵∠EDG=90°
∴△EDG为等腰直角三角形,
∴∠AED=∠AEB+∠DEG=90°
+45°
=135°
∵△AED沿直线AE翻折得△AEF,
∴△AED≌△AEF,
∴∠AED=∠AEF=135°
ED=EF,
∴∠DEF=360°
﹣∠AED﹣∠AEF=90°
∴△DEF为等腰直角三角形,
∴EF=DE=DG,
在Rt△AEB中,
BE===2,
∴GE=BE﹣BG=2﹣1,
在Rt△DGE中,
DG=GE=2﹣,
∴EF=DE=2﹣,
在Rt△DEF中,
DF=DE=2﹣1,
∴四边形DFEG的周长为:
GD+EF+GE+DF
=2〔2﹣〕+2〔2﹣1〕
=3+2,
[点评]此题考查了等腰直角三角形的判定与性质,全等三角形的判定与性质,勾股定理,解直角三角形等,解题关键是能够灵活运用等腰直角三角形的判定与性质.
二.填空题〔共7小题〕
13.如图,把三角形纸片折叠,使点B、点C都与点A重合,折痕分别为DE、FG,得到∠AGE=30°
假设AE=EG=2厘米,如此△ABC的边BC的长为 〔6+4〕 厘米.
[分析]根据折叠的性质和含30°
的直角三角形的性质解答即可.
∵把三角形纸片折叠,使点B、点C都与点A重合,折痕分别为DE,FG,
∴BE=AE,AG=GC,
∵∠AGE=30°
AE=EG=2厘米,
∴AG=6厘米,
∴BE=AE=2厘米,GC=AG=6厘米,
∴BC=BE+EG+GC=〔6+4〕厘米,
〔6+4〕,
[点评]此题考查翻折问题,关键是根据折叠的性质和含30°
的直角三角形的性质解答.
14.如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°
BC=6,CD是斜边AB上的中线,将△BCD沿直线CD翻折至△ECD的位置,连接AE.假设DE∥AC,计算AE的长度等于.
[分析]根据题意、解直角三角形、菱形的性质、翻折变化可以求得AE的长.
由题意可得,
DE=DB=CD=AB,
∴∠DEC=∠DCE=∠DCB,
∵DE∥AC,∠DCE=∠DCB,∠ACB=90°
∴∠DEC=∠ACE,
∴∠DCE=∠ACE=∠DCB=30°
∴∠ACD=60°
∠CAD=60°
∴△ACD是等边三角形,
∴AC=CD,
∴AC=DE,
∵AC∥DE,AC=CD,
∴四边形ACDE是菱形,
∵在Rt△ABC中,∠ACB=90°
BC=6,∠B=30°
∴AC=,
∴AE=.
[点评]此题考查翻折变化、平行线的性质、直角三角形斜边上的中线,解答此题的关键是明确题意,找出所求问题需要的条件,利用数形结合的思想解答.
15.Rt△ABC中,∠ACB=90°
AC=8,BC=4,D为斜边AB上的中点,E是直角边AC上的一点,连接DE,将△ADE沿DE折叠至△A′DE,A′E交BD于点F,假设△DEF的面积是△ADE面积的一半,如此CE= 2 .
[分析]根据等高的两个三角形的面积比等于边长比可得AD=2DF,A'
F=EF,通过勾股定理可得AB的长度,可可求AD,DF,BF的长度,可得BF=DF,可证BEDA'
是平行四边形,可得BE=A'
D=2,根据勾股定理可得CE的长度
如图连接BE
∵∠ACB=90°
AC=8,BC=4
∴AB=4
∵D是AB中点
∴BD=AD=2
∵折叠
∴AD=A'
D=2,S△ADE=S△A'
DE
∵S△DEF=S△ADE
∴AD=2DF,S△DEF=S△A'
∴DF=,A'
F=EF
∴BF=DF=,且A'
∴四边形BEDA'
是平行四边形
∴A'
D=BE=
∴根据勾股定理得:
CE=2
故答案为2
[点评]此题考查了折叠问题,直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半,关键是用面积法解决问题.
16.如图,在△ABC中,AB=AC=5,tanA=,BC=,点D是AB边上一点,连接CD,将△BCD沿着CD翻折得△B1CD,DB1⊥AC且交于点E,如此DE=.
[分析]作BF⊥AC于F,证明△B1EC≌△CFB〔AAS〕,得出B1E=CF=1,设DE=3a,如此AD=5a,得出BD=B1D=3a+1,得出方程,解方程即可.
作BF⊥AC于F,如如下图:
如此∠AFB=∠CFB=90°
在Rt△ABF中,tanA==,AB=5,
∴AF=4,BF=3,sinA==,
∴CF=AC﹣AF=1,
B1C=BC=,∠CB1E=∠ABC,B1D=BD,
∵AB=AC,
∴∠ABC=∠BCF,
∴∠CB1E=∠BCF,
∵DB1⊥AC,
∴∠B1EC=90°
=∠CFB,
在△B1EC和△CBF中,,
∴△B1EC≌△CFB〔AAS〕,
∴B1E=CF=1,
设DE=3a,如此AD=5a,
∴BD=B1D=3a+1,
∵AD+BD=AB,
∴3a+1+5a=5,
∴a=,
∴DE=;
[点评]此题考查了翻折的性质、等腰三角形的性质、全等三角形的判定与性质、解直角三角形以与方程的解题思想,熟练掌握翻折变换的性质,证明三角形全等是解题的关键.
17.如图,在Rt△ABC中,∠ABC=90°
把△ABC沿斜边AC折叠,使点B落在B’,点D,点E分别为BC和AB′上的点,连接DE交AC于点F,把四边形ABDE沿DE折叠,使点B与点C重合,点A落在A′,连接AA′交B′C于点H,交DE于点G.假设AB=3,BC=4,如此GE的长为.
[分析]设HC=HA=x,在Rt△CA′H中,可得x2=32+〔4﹣x〕2,解得x=,由△CA′H∽△AGE,可得=,由此即可解决问题.
由题意四边形ABCA′是矩形,BD=CD=2,AG=GA′=2,
∵BC∥AA′,
∴∠BCA=∠CAA′,
∴∠HCA=∠HAC,
∴HC=HA,设HC=HA=x,
在Rt△CA′H中,x2=32+〔4﹣x〕2,
∴x=,
∴A′H=4﹣=,
由△CA′H∽△AGE,可得:
∴EG=.
[点评]此题考查翻折变换,解直角三角形,勾股定理,相似三角形的判定和性质等知识,解题的关键是灵活运用所学知识解决问题,属于中考常考题型.
18.如图,在平行四边形ABCD中,∠B=30°
且BC=CA,将△ABC沿AC翻折至△AB′C,AB′交CD于点E,连接B′D.假设AB=3,如此B′D的长度为 6 .
[分析]作CM⊥AB于M,由折叠的性质得:
B'
C=BC=AC,∠AB'
C=∠B=∠CAB'
AB'
=AB=CD,由平行四边形的性质得出AD=CB,AB=CD,∠ADC=∠B=30°
求出AD=AC,AM=BM
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