122基本初等函数的导数公式及导数的运算法则docxWord下载.docx
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y=f(x)=x\neQ"
)
二、提出问题,展示目标
我们知道,函数y=/(%)=兀"
⑺丘Q*)的导数为y=恣心,以后看见这种函数就可以直接按公式去做,而不必用导数的定义了。
那么其它基本初等函数的导数怎么呢?
又如何解决两个函数加。
减。
乘。
除的导数呢?
这一节我们就来解决这个问题。
三、合作探究
1.
(1)分四组对比记忆基本初等函数的导数公式表
y=0
y=f(x)=xn(ne2*)
y=
y=sinx
•
y=cosx
y=cosx
y=-sinx
y=/(兀)=ax
y=ax・Ina(a>
0)
y=fM=ex
y-ex
f(x)=log“X
./(兀)=log“xf(x)=(d>
0且。
丰1)
xlna
f(x)=\nx
/w=1
(2)根据基木初等函数的导数公式,求下列函数的导数.
(1)y=x2与y-2'
(2)y=3vy=log3x
2.导数运算法则:
(1)和(或差)的导数
法则1两个函数的和(或差)的导数,等于这两个函数的导数的和(或差),即
(吐以=〃土
例1求y=x+sin^的导数.
解:
/=(/)z+(sinx),=3#+cosx.
例2求y=x—x—x+^的导数.
解:
./=4,—2x—\.
(2)积的导数
法则2两个函数的积的导数,等于第一个函数的导数乘第二个函数,加上第一个函数乘第
二个函数的导数,即{uv),=i/v+uV.
由此可以得出(Cu),=C,u+Cl/=O+Ci/=Cl/.
也就是说,常数与函数的积的导数,等于常数乘函数的导数,即3=Cd・
例3求y=2x—^x+5^—4的导数.
/=6/—6^+5.
例4求y=(2/+3)(3x—2)的导数.
./=(2#+3)'
(3j~2)+(2,+3)(3x—2),=4*3x—2)+(2#+3)・3=18/-8x+9.
或:
y二6/-2/+9/-6,/=18/-4^+9
(3)商的导数
例5.求下列函数的导数
提示:
积法则,商法则,都是前导后不导,前不导后导,但积法则中间是加号,商法则屮间是减号.
四、当堂检测
1.填空:
⑴[(3,+1)(4,—3)]'
=()(4,—3)+(3Z+1)();
⑵(xsinx)z=()#・sinx+f・(_).
2.判断下列求导是否正确,如果不正确,加以改正:
[(3+,)(2—%)]'
=2x(2—,)+3,(3+,).
[(3+x)(2—x)],=2x(2—x)—3x(3+x).
3.
求下列函数的导数:
4.求函数y=xsinxcosx的导数
5.思考:
设f{x)=x(x+1)(x+2)…(x+h),求fr(0).
6.
函数f{x)=^(^r—1)(x—2)(x—3)•••(/—100)在丸=0处的导数值为()
五、课堂总结
(1)分四组写出基本初等函数的导数公式表:
(2)导数的运算法则:
1.和(或差)的导数(£
/±
r),=z/±
/.
2.积的导数{uv)f=dv+uV.
商的导数
6.课后作业
1.课本第18页习题1.1A组:
4
2.求下列函数的导数:
(1)y=(l+Qcos”;
(2)y=2Vcosx-3log2x
125
(3)y+—(4)y-xtanx一cosx
xx_x
七、板书设计
1.2.2基本初等函数的导
数及导数的运算法则
(1)
一、复习回顾
复习五种常见函数y=c、y=x、y=x2、y=i、y=的导数公式
三、合作探究
1.分四组对比记忆基本初等两数的导数公式表
(3)商的导数四、当堂检测
5.课堂总结
8.课后反思
第2课时
课程内容:
复合函数的导数
内容分析:
复合函数的导数是导数的重点,也是导数的难点.要弄清每一步的求导是哪个变量对哪个变量的求导•求导时对哪个变量求导要写明,可以通过具体的例子,让学生对求导法则有一个直观的了解.
教学目标:
1.知识与技能
(1)理解复合函数的概念
(2)能正确分解简单的复合函数,记住复合函数的求导公式
(3)理解并掌握复合函数的求导法则
2.过程与方法
(1)记基本初等函数求导公式,会利用基本初等函数求导公式求函数的导数
(2)通过分析复合层次确定函数的复合顺序,为正确求导奠定基础
3•情感态度与价值观
通过正确分解复合函数的复合过程,做到不漏,不重,熟练,正确•培养学生严谨的治学态度,做事的条理性和处理问题大局观,进而影响到学生的一生。
教学目的:
理解,善于发现规律,认识规律,掌握规律,利用规律
教学重点:
复合函数的求导法则的概念与应用
复合函数的求导法则的导入与理解
授课类型:
新授课
课时安排:
1课时
一、复习引入
1.常见函数的导数公式:
C'
=0;
(x/?
)'
=:
(sinx)'
=cosx;
(cosx)'
=-sinx・
2.法则1[况(兀)±
卩(兀)]=u(x)±
v\x).
法则2[m(x)v(x)]z=u'
(x)v(x)+w(x)v'
(x),[Cw(x)y二Cu'
(x)・
法则3—=—(v^O)・
3丿V
二、讲解新课
1.举出例子y=(3x-2)\y二sin兀2,让学生感觉到这既不是基本初等函数,也不是初等函数,然后引入如何函数的概念。
2.复合函数:
由几个函数复合而成的函数,叫复合函数.由函数y=f(u)与u=(p(x)复合而成的函数一般形式是y=f[(p(x)],其中〃称为中间变量.
3.求函数y二(3x-2)2的导数的两种方法与思路:
方法一:
)[=[(3兀一2)2丫=(9x2-12x+4)z=18x-12;
方法二:
将函数y=(3兀-2尸看作是函数y=u2和函数u=3x-2复合函数,并分别求对
应变量的导数如下:
yu—(w2)z=2u,ux—(3x—2/=3
两个导数相乘,得
yuux—2ulZB=2(3x一2)E3=18兀一12,
从而有y\=y\t,u\
对于一般的复合函数,结论也成立,以后我们求/,时,就可以转化为求%’和m,的乘积,关键是找中间变量,随着中间变量的不同,难易程度不同.
4.复合函数的导数:
设函数U=(p3在点无处有导数/冷3,函数尸在点无的对应点U处有导数y'
尸尸3),则复合函数y=f{(p3)在点X处也有导数,且儿二儿或尸A(p3)二尸(刃(p'
(%).
证明:
(教师参考不需要给学生讲)
设/有增量力上则对应的弘y分别有增量4弘/y,因为尸0(劝在点/可导,所以u=(p(方在点/处连续.因此当/U-O时,皿->
0.
当存0时,由怂=型•竺且
AxAmAx山®
△况mtoAx
・・・lim怂=
心TO心
vAy卄AyvAwvAvvAw
=lim=limlim——=limlim——
心TOAwAx心T()△比Att()心Mt()A%Ait()心
即y'
x=y\,'
ux(当m=0时,也成立)
例1试说明下列函数是怎样复合而成的?
(1)y=(2-x2)3;
(2)y=sinx2;
(3)y=cos(f-x);
(4)y=lnsin(3x-l).
(1)函数y=(2-x2)3由函数y=u3和u=2—F复合而成;
(2)函数ynsinx?
由函数y=sinu和弘=合而成;
JIJI
(3)函数丿=cos(x)由函数y=cosu和比=兀复合而成;
•4*4
(4)函数y=lnsin(3x-1)由函数y=\nu.u=siny和v=3x-1复合而成.
说明:
讨论复合函数的构成时,“内层”、“外层”函数一般应是基本初等函数,如一次函数、二次函数、指数函数、对数函数、三角函数等.
例2写出由下列函数复合而成的函数:
(1)y-cosw,m=1+x;
(2)y=Inm,w=Inx.
(1)=cos(l+x2);
(2)y=ln(lnx).
例3求y=(2x+l)5的导数.
设y=u5,w=2x+1,贝ij
儿=儿・叭=3儿・(2兀+1)‘
=5u4•2=5(2兀+1)?
•2=10(2x+1)4.
注意:
在利用复合函数的求导法则求导数后,要把中间变量换成口变量的函数.有时复合函数可以由几个基本初等函数组成,所以在求复合函数的导数时,先要弄清复合函数是由哪些基本初等函数复合而成的,特别要注意将哪一部分看作一个整体,然后按照复合次序从外向内逐层求导.
例4求f(x)=sinx的导数.
令尸f(x)二sin”;
u=x
・°
・V:
=A;
必:
=(sin〃)'
u•(Z)xz二cos”・2尸cos#•2a=2xcos#
.AV“-A
.e.ff(方二2xcos#
令尸/尸sin(2x+—),再令^sinr,
3
尸2卅一
分析:
i
7t7t
殳沪sin(2x+『时,求,“但此时"
仍是复合函数,所以可再设「2叮
例5求尸si『(2吟的导数.
•:
儿=y;
・0广/Xuy•Va)
JT
・・・y”•八…W5几・(2乜八
z71、.龙、
=2u•cosr•2=2sin(2x+—)cos(2/+—)•2
33
二4sin(2t+—)cos(2^+—)二2sin(4^+—)
333
2兀
即y-_r=2sin(4^+)
例6求函数3)Vl+x2的导数
y可看成两个函数的乘积,2#—3可求导,JlTx7是复合函数,可以先算出J1+/对x的导数.
令y=UV,尸2#—3,厂J1+兀$,令V=y[a),Q二1+#
卩;
=卩:
・血二(巫):
(1+,)'
*
1_|/n\2兀X
=—69_(2兀)=—=.
22J1+无2J1+F
尸(“说‘Rxv^uvx
=(2—)5吋+(2一)•灰
=4%V1+X2
2x3-3x_6x3+x
J1+/71+X2
6x+x
Vl+X2
四、课堂练习
1.求下列函数的导数(先设中间变量,再求导).
(1)7=(5^—3)1
(2)尸(2+3/)'
(3)7=(2—/)3(4)7=(2/+"
2.求下列函数的导数(先设屮间变量,再求导)(刀丘10
(4)y=c,otnx
⑴尸sin/LY
(2)y=cosnx(3)y=^x\nx
(1)令尸sin”,u=nx
(2)令尸cosstrnx
尸—sinz/・rp—nsinnx
(3)
令j^tan仏u=nx
n2
H—-n•secnx
COS^IIX
(4)令y=colu,u=nx
y\.=y\^u\=(cotu)fu•(nx)fx=()'
•n
sinu
一sinu•sinu一cosu•cosu1n2
;
•n=■—―—;
—•rp—=—ncscnx.
(sinsin-usin-nx
五、课堂小结
这节课你学到了什么?
把它写下来!
(1)明确了什么是复合函数
(2)学会了分解复合函数
(3)复合函数的求导法则:
(4)开阔思路,恰当选用求导数方法.
(5)计算要认真,要学会循序渐进。
(6)复合函数的求导,要注意分析复合函数的结构,引入中间变量,将复合函数分解成为较简单的函数,然后再用复合函数的求导法则求导;
(7)复合函数求导的基本步骤是:
分解一一求导一一相乘一一冋代.
六、课后作业
1.课本第18页习题1」A组:
4、6
2.求y=\lax2+bx+c的导数.
12
A=—u3•(2日卅方)
令y=^/u,iRax^bx^c
2ax+b
y\.=y'
u-u\=(\l~uYu*(/+亦c)'
=—(ax+bx^c)3(2日x+力)二
3
3^/(ox2+bx+c)2
3.求尸sin匚的导数.
(卩
令y=u,u=sinx,再令沪sin【G
y\x-y'
u'
x*v,尸(/)'
u•(sinr)z『
=2u•cosy•
0-111
——=2sin兀•cosx
设计意图:
对一般学牛布置第1题,而对学有余力的学生布置2、3题,体现
了分层、有梯度的教学,及时巩I古I新知识。
七.板书设计
1.2.2基本初等函数的导数及导数的运算法则
(2)
1.基本函数求导公式
2.求导法则
1.复合函数概念
2.复合函数求导的两种方法与思路
3.复合函数的求导法则
4.基本步骤
三、讲解范例
4.课堂练习
八.课后反思
- 配套讲稿:
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- 122 基本 初等 函数 导数 公式 运算 法则 docx
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