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2.“相等”关系(5≥5,且5≤5,则5=5)
实例:
设A={x|x2-1=0}B={-1,1}“元素相同”
结论:
对于两个集合A与B,如果集合A的任何一个元素都是集合B的元素,同时,集合B的任何一个元素都是集合A的元素,我们就说集合A等于集合B,即:
A=B
①任何一个集合是它本身的子集。
②真子集:
如果A
B,且A
B那就说集合A是集合B的真子集,记作A⊊B(或B⊋A)。
③如果A
B,B
C,那么A
C
④如果A
B同时B
A那么A=B
3.不含任何元素的集合叫做空集,记为Φ
规定:
空集是任何集合的子集,空集是任何非空集合的真子集。
三、集合的运算
1.交集的定义:
一般地,由所有属于A且属于B的元素所组成的集合,叫做A,B的交集.
记作A∩B(读作”A交B”),即A∩B={x|x∈A,且x∈B}.
2、并集的定义:
一般地,由所有属于集合A或属于集合B的元素所组成的集合,叫做A,B的并集。
记作:
A∪B(读作”A并B”),即A∪B={x|x∈A,或x∈B}.
3、交集与并集的性质:
A∩A=A,A∩φ=φ,A∩B=B∩A,A∪A=A,A∪φ=A,A∪B=B∪A.
4、全集与补集
①全集:
如果集合S含有我们所要研究的各个集合的全部元素,这个集合就可以看作一个全集。
通常用U来表示。
②补集:
设S是一个集合,A是S的一个子集(即A
S),由S中所有不属于A的元素组成的集合,叫做S中子集A的补集(或余集)。
CSA,即CSA={x|x
S且x
A}
③性质:
⑴CU(CUA)=A⑵(CUA)∩A=Φ⑶(CUA)∪A=U
(4)(CUA)∩(CUB)=CU(A∪B)(5)(CUA)∪(CUB)=CU(A∩B)
二、函数的有关概念
1.函数的概念:
设A、B是非空的数集,如果按照某个确定的对应关系f,使对于集合A中的任意一个数x,在集合B中都有唯一确定的数f(x)和它对应,那么就称f:
A→B为从集合A到集合B的一个函数.记作:
y=f(x),x∈A.其中,x叫做自变量,x的取值范围A叫做函数的定义域;
与x的值相对应的y值叫做函数值,函数值的集合{f(x)|x∈A}叫做函数的值域.
1、如果只给出解析式y=f(x),而没有指明它的定义域,则函数的定义域即是指能使这个式子有意义的实数的集合;
2、函数的定义域、值域要写成集合或区间的形式.
定义域补充:
能使函数式有意义的实数x的集合称为函数的定义域,求函数的定义域时列不等式组的主要依据是:
(1)分式的分母不等于零;
(2)偶次方根的被开方数不小于零;
(3)对数式的真数必须大于零;
(4)指数、对数式的底必须大于零且不等于1.(5)如果函数是由一些基本函数通过四则运算结合而成的.那么,它的定义域是使各部分都有意义的x的值组成的集合.(6)指数为零底不可以等于零(7)实际问题中的函数的定义域还要保证实际问题有意义.
(注意:
求出不等式组的解集即为函数的定义域。
)
2、构成函数的三要素:
定义域、对应关系和值域
(1)构成函数三个要素是定义域、对应关系和值域.由于值域是由定义域和对应关系决定的,所以,如果两个函数的定义域和对应关系完全一致,即称这两个函数相等(或为同一函数)。
(2)两个函数相等当且仅当它们的定义域和对应关系完全一致,而与表示自变量和函数值的字母无关。
相同函数的判断方法:
①定义域一致;
②表达式相同(两点必须同时具备)
值域补充
(1)、函数的值域取决于定义域和对应法则,不论采取什么方法求函数的值域都应先考虑其定义域.
(2)、应熟悉掌握一次函数、二次函数、指数、对数函数及各三角函数的值域,它是求解复杂函数值域的基础。
3.函数图象知识归纳
(1)定义:
在平面直角坐标系中,以函数y=f(x),(x∈A)中的x为横坐标,函数值y为纵坐标的点P(x,y)的集合C,叫做函数y=f(x),(x∈A)的图象.
C上每一点的坐标(x,y)均满足函数关系y=f(x),反过来,以满足y=f(x)的每一组有序实数对x、y为坐标的点(x,y),均在C上.即记为C={P(x,y)|y=f(x),x∈A}
图象C一般的是一条光滑的连续曲线(或直线),也可能是由与任意平行于Y轴的直线最多只有一个交点的若干条曲线或离散点组成。
(2)画法:
A、描点法:
根据函数解析式和定义域,求出x,y的一些对应值并列表,以(x,y)为坐标在坐标系内描出相应的点P(x,y),最后用平滑的曲线将这些点连接起来.
B、图象变换法:
常用变换方法有三种,即平移变换、对称变换和伸缩变换
Ⅰ、对称变换:
(1)将y=f(x)在x轴下方的图象向上翻得到y=∣f(x)∣的图象如:
书上P21例5
(2)y=f(x)和y=f(-x)的图象关于y轴对称。
如
(3)y=f(x)和y=-f(x)的图象关于x轴对称。
Ⅱ、平移变换:
由f(x)得到f(x
a)左加右减;
由f(x)得到f(x)
a上加下减
(3)作用:
A、直观的看出函数的性质;
B、利用数形结合的方法分析解题的思路;
C、提高解题的速度;
发现解题中的错误。
4.区间的概念
(1)区间的分类:
开区间、闭区间、半开半闭区间;
(2)无穷区间;
(3)区间的数轴表示.
5.映射
定义:
一般地,设A、B是两个非空的集合,如果按某一个确定的对应法则f,使对于集合A中的任意一个元素x,在集合B中都有唯一确定的元素y与之对应,那么就称对应f:
B为从集合A到集合B的一个映射。
记作“f:
B”
给定一个集合A到B的映射,如果a∈A,b∈B.且元素a和元素b对应,那么,我们把元素b叫做元素a的象,元素a叫做元素b的原象
说明:
函数是一种特殊的映射,映射是一种特殊的对应,①集合A、B及对应法则f是确定的;
②对应法则有“方向性”,即强调从集合A到集合B的对应,它与从B到A的对应关系一般是不同的;
③对于映射f:
A→B来说,则应满足:
(Ⅰ)集合A中的每一个元素,在集合B中都有象,并且象是唯一的;
(Ⅱ)集合A中不同的元素,在集合B中对应的象可以是同一个;
(Ⅲ)不要求集合B中的每一个元素在集合A中都有原象。
6、函数的表示法:
常用的函数表示法及各自的优点:
1函数图象既可以是连续的曲线,也可以是直线、折线、离散的点等等,注意判断一个图形是否是函数图象的依据:
作垂直于x轴的直线与曲线最多有一个交点。
2解析法:
必须注明函数的定义域;
3图象法:
描点法作图要注意:
确定函数的定义域;
化简函数的解析式;
观察函数的特征;
4列表法:
选取的自变量要有代表性,应能反映定义域的特征.
解析法:
便于算出函数值。
列表法:
便于查出函数值。
图象法:
便于量出函数值
补充一:
分段函数
在定义域的不同部分上有不同的解析表达式的函数。
在不同的范围里求函数值时必须把自变量代入相应的表达式。
分段函数的解析式不能写成几个不同的方程,而应写成函数值几种不同的表达式并用一个左大括号括起来,并分别注明各部分的自变量的取值情况.注意:
(1)分段函数是一个函数,不要把它误认为是几个函数;
(2)分段函数的定义域是各段定义域的并集,值域是各段值域的并集.
补充二:
复合函数
如果y=f(u),(u∈M),u=g(x),(x∈A),则y=f[g(x)]=F(x),(x∈A)称为f是g的复合函数。
7.函数单调性
(1).增函数
设函数y=f(x)的定义域为I,
如果对于定义域I内的某个区间D内的任意两个自变量x1,x2,当x1<
x2时,都有f(x1)<
f(x2),那么就说f(x)在区间D上是增函数。
区间D称为y=f(x)的单调增区间;
如果对于区间D上的任意两个自变量的值x1,x2,当x1<
x2时,都有f(x1)>f(x2),那么就说f(x)在这个区间上是减函数.区间D称为y=f(x)的单调减区间.
1、函数的单调性是在定义域内的某个区间上的性质,是函数的局部性质;
2、必须是对于区间D内的任意两个自变量x1,x2;
当x1<
x2时,总有f(x1)<
f(x2)(或f(x1)>f(x2))。
3、增减函数定义式的变型。
(2)图象的特点
如果函数y=f(x)在某个区间是增函数或减函数,那么说函数y=f(x)在这一区间上具有(严格的)单调性,在单调区间上增函数的图象从左到右是上升的,减函数的图象从左到右是下降的.
(3).函数单调区间与单调性的判定方法
(A)定义法:
1任取x1,x2∈D,且x1<
x2;
2作差f(x1)-f(x2);
3变形(通常是因式分解和配方);
4定号(即判断差f(x1)-f(x2)的正负);
5下结论(指出函数f(x)在给定的区间D上的单调性).
(B)图象法(从图象上看升降)
(C)复合函数的单调性:
复合函数f[g(x)]的单调性与构成它的函数u=g(x),y=f(u)的单调性密切相关,其规律如下:
u=g(x)
y=f(u)
y=f[g(x)]
增
减
复合函数单调性:
口诀:
同增异减
1、函数的单调区间只能是其定义域的子区间,不能把单调性相同的区间和在
一起写成其并集.
(4)判断函数的单调性常用的结论
①函数与的单调性相反;
②当函数恒为正或恒有负时,与函数的单调性相反;
③函数与函数(C为常数)的单调性相同;
④当C>
0(C为常数)时,与的单调性相同;
当C<
0(C为常数)时,与的单调性相反;
⑤函数、都是增(减)函数,则仍是增(减)函数;
⑥若且与都是增(减)函数,则也是增(减)函数;
若且与都是增(减)函数,则也是减(增)函数;
⑦设,若在定义域上是增函数,则、、都是增函数,而是减函数.
8.函数的奇偶性
(1)偶函数
一般地,对于函数f(x)的定义域内的任意一个x,都有f(-x)=f(x),那么f(x)就叫做偶函数.
(2)奇函数
一般地,对于函数f(x)的定义域内的任意一个x,都有f(-x)=—f(x),那么f(x)就叫做奇函数.
1、函数是奇函数或是偶函数称为函数的奇偶性,函数的奇偶性是函数的整体性质;
函数可能没有奇偶性,也可能既是奇函数又是偶函数。
2、由函数的奇偶性定义可知,函数具有奇偶性的一个必要条件是,对于定义域内的任意一个x,则-x也一定是定义域内的一个自变量(即定义域关于原点对称).
(3)具有奇偶性的函数的图象的特征
偶函数的图象关于y轴对称;
奇函数的图象关于原点对称.
总结:
利用定义判断函数奇偶性的格式步骤:
1首先确定函数的定义域,并判断其定义域是否关于原点对称;
2确定f(-x)与f(x)的关系;
3作出相应结论:
若f(-x)=f(x)或f(-x)-f(x)=0,则f(x)是偶函数;
若f(-x)=-f(x)或f(-x)+f(x)=0,则f(x)是奇函数.
函数定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的必要条件.首先看函数的定义域是否关于原点对称,若不对称则函数是非奇非偶函数.若对称,
(1)再根据定义判定;
(2)有时判定f(-x)=±
f(x)比较困难,可考虑根据是否有f(-x)±
f(x)=0或f(x)/f(-x)=±
1来判定;
(3)利用定理,或借助函数的图象判定.
函数奇偶性的性质
1奇函数在关于原点对称的区间上若有单调性,则其单调性完全相同;
偶函数在关于原点对称的区间上若有单调性,则其单调性恰恰相反.
②奇函数的图象关于原点对称,偶函数的图象关于
轴对称.
③若
为偶函数,则
.
④若奇函数
定义域中含有0,则必有
⑤定义在关于原点对称区间上的任意一个函数,都可表示成“一个奇函数
与一个偶函数
的和(或差)”.如设
是定义域为R的任一函数,则
,
⑥复合函数的奇偶性特点是:
“内偶则偶,内奇同外”.
⑦既奇又偶函数有无穷多个(
,定义域是关于原点对称的任意一个数集).
9、函数的解析表达式
(1)函数的解析式是函数的一种表示方法,要求两个变量之间的函数关系时,一是要求出它们之间的对应法则,二是要求出函数的定义域.
(2)求函数的解析式的主要方法有:
待定系数法、换元法、消参法等,A、如果已知函数解析式的构造时,可用待定系数法;
B、已知复合函数f[g(x)]的表达式时,可用换元法,这时要注意元的取值范围;
当已知表达式较简单时,也可用凑配法;
C、若已知抽象函数表达式,则常用解方程组消参的方法求出f(x)
10.函数最大(小)值(定义见课本p30页)
(1)利用二次函数的性质(配方法)求函数的最大(小)值;
(2)利用图象求函数的最大(小)值;
(3)利用函数单调性的判断函数的最大(小)值:
如果函数y=f(x)在区间[a,b]上单调递增,在区间[b,c]上单调递减则函数y=f(x)在x=b处有最大值f(b);
如果函数y=f(x)在区间[a,b]上单调递减,在区间[b,c]上单调递增则函数y=f(x)在x=b处有最小值f(b);
第二章基本初等函数
一、指数函数
(一)指数与指数幂的运算
1.根式的概念:
负数没有偶次方根;
0的任何次方根都是0,记作
=0。
(1)
(2)当n是奇数时,
,当n是偶数时,
2.分数指数幂
正数的正分数指数幂的意义,规定:
正数的正分数指数幂的意义:
0的正分数指数幂等于0,0的负分数指数幂没有意义
3.实数指数幂的运算性质
(2)
(3)
在化简过程中,偶数不能轻易约分;
(二)指数函数及其性质
1、指数函数的概念:
一般地,函数
叫做指数函数,其中x是自变量,函数的定义域为R.
指数函数的底数的取值范围,底数不能是负数、零和1.即a>
0且a≠1
2、指数函数的图象和性质
0<
a<
1
a>
图
像
性质
定义域R,值域(0,+∞)
(1)过定点(0,1),即x=0时,y=1
(2)在R上是减函数
(2)在R上是增函数
(3)当x>
0时,0<
y<
1;
当x<
0时,y>
图象特征
函数性质
共性
向x轴正负方向无限延伸
函数的定义域为R
函数图象都在x轴上方
函数的值域为R+
图象关于原点和y轴不对称
非奇非偶函数
函数图象都过定点(0,1)
过定点(0,1)
自左向右看,图象逐渐下降
减函数
在第一象限内的图象纵坐标都小于1
当x>
在第二象限内的图象纵坐标都大于1
图象上升趋势是越来越缓
函数值开始减小极快,
到了某一值后减小速度较慢;
自左向右看,图象逐渐上升
增函数
在第一象限内的图象纵坐标都大于1
在第二象限内的图象纵坐标都小于1
图象上升趋势是越来越陡
函数值开始增长较慢,
到了某一值后增长速度极快;
指数增长模型:
y=N(1+p)x指数型函数:
y=kax
3考点:
(1)ab=N,当b>
0时,a,N在1的同侧;
当b<
0时,a,N在1的异侧。
(2)指数函数的单调性由底数决定的,底数不明确的时候要进行讨论。
掌握利用单调性比较幂的大小,同底找对应的指数函数,底数不同指数也不同插进1(=a0)进行传递或者利用
(1)的知识。
(3)求指数型函数的定义域可将底数去掉只看指数的式子,值域求法用单调性。
(4)分辨不同底的指数函数图象利用a1=a,用x=1去截图象得到对应的底数。
(5)指数型函数:
y=N(1+p)x简写:
y=kax
二、对数函数
(一)对数
1.对数的概念:
一般地,如果
,那么数x叫做以a为底N的对数,记作:
(a—底数,N—真数,
—对数式)
1.注意底数的限制,a>
0且a≠1;
2.真数N>
03.注意对数的书写格式.
2、两个重要对数:
(1)常用对数:
以10为底的对数,
;
(2)自然对数:
以无理数e为底的对数的对数,
.
3、对数式与指数式的互化
对数式指数式
对数底数←a→幂底数
对数←x→指数
真数←N→幂
(1)负数和零没有对数
(2)logaa=1,loga1=0特别地,lg10=1,lg1=0,lne=1,ln1=0
(3)对数恒等式:
(二)对数的运算性质
如果a>
0,a1,M>
0,N>
0有:
1、
两个正数的积的对数等于这两个正数的对数和
2、
两个正数的商的对数等于这两个正数的对数差
3、
一个正数的n次方的对数等于这个正数的对数n倍
1)简易语言表达:
”积的对数=对数的和”……
2)有时可逆向运用公式
3)真数的取值必须是(0,+∞)
4)特别注意:
换底公式
利用换底公式推导下面的结论
①
②
③
(二)对数函数
1、对数函数的概念:
函数
(a>
0,且a≠1)叫做对数函数,其中x是自变量,函数的定义域是(0,+∞).
(1)对数函数的定义与指数函数类似,都是形式定义,注意辨别。
如:
都不是对数函数,而只能称其为对数型函数.
(2)对数函数对底数的限制:
0,且a≠1
2、对数函数的图像与性质:
对数函数
(a>
0,且a≠1)
0<a<1
a>1
图像
定义域:
(0,+∞)值域:
R
过点(1,0),即当x=1时,y=0
在(0,+∞)上是减函数
在(0,+∞)上是增函数
1时,y<
当x=1时,y=0
当0<
x<
1时,y>
0
重要结论:
在logab中,当a,b同在(0,1)或(1,+∞)内时,有logab>
0;
当a,b不同在(0,1)内,或不同在(1,+∞)内时,有logab<
0.
底真同大于0(底真不同小于0).
(其中,底指底数,真指真数,大于0指logab的值)3、如图,3底数a对函数
的影响。
规律:
底大枝头低,头低尾巴翘。
4考点:
Ⅰ、logab,当a,b在1的同侧时,logab>
0;
当a,b在1的异侧时,logab<
Ⅱ、对数函数的单调性由底数决定的,底数不明确的时候要进行讨论。
掌握利用单调性比较对数的大小,同底找对应的对数函数,底数不同真数也不同利用
(1)的知识不能解决的插进1(=logaa)进行传递。
Ⅲ、求指数型函数的定义域要求真数>
0,值域求法用单调性。
Ⅳ、分辨不同底的对数函数图象利用1=logaa,用y=1去截图象得到对应的底数。
Ⅴ、y=ax(a>
0且a≠1)与y=logax(a>
0且a≠1)互为反函数,图象关于y=x对称。
5比较两个幂的形式的数大小的方法:
(1)对于底数相同指数不同的两个幂的大小比较,可以利用指数函数的单调性来判断.
(2)对于底数不同指数相同的两个幂的大小比较,可以利用比商法来判断.
(3)对于底数不同也指数不同的两个幂的大小比较,则应通过中间值来判断.常用1和0.
6比较大小的方法
(1)利用函数单调性(同底数);
(2)利用中间值(如:
0,1.);
(3)变形后比较;
(4)作差比较
(三)幂函数
1、幂函数定义:
一般地,形如
的函数称为幂函数,其中x是自变量,α为常数.
2、幂函数性质归纳.
(1)所有的幂函数在(0,+∞)都有定义,并且图象都过点(1,1);
(2)α>
0时,幂函数的图象通过原点,并且在[0,+∞)上是增函数.特别地,当α>
1时,幂函数的图象下凸;
α<
1时,幂函数的图象上凸;
(3)α<
0时,幂函数的图象在(0,+∞)上是减函数.在第一象限内,当x从右边趋向原点时,图象在y轴右方无限地逼近y轴正半轴,当x趋于+∞时,图象在x轴上方无限地逼近x轴正半轴.
第三章函数的应用
一、方程的根与函数的零点
1、函数零点的概念:
对于函数y=f(x),使f(x)=0的实数x叫做函数的零点。
(实质上是函数y=f(x)与x轴交点的横坐标)
2、函数零点的意义:
方程f(x)=0有实数根⇔函数y=f(x)的图象与x轴有交点⇔函数y=f(x)有零点
3、零点定理:
函数y=f(x)在区间[a,b]上的图象是连续不断的,并且有f(a)f(b)<
0,那么函数y=f(x)在区间(a,b)至少有一个零点c,使得f(c)=0,此时c也是方程f(x)=0的根。
4、函数零点的求法:
求函数y=f(x)的零点:
(1)(代数法)求方程f(x)=0的实数根;
(2)(几何法)对于不能用求根公式的方程,可以将它与函数y=f(x)的图象联系起来,并利用函数的性质找出零点.
5、二次函数的零点:
二次函数f(x)=ax2+bx+c(a≠0).
1)△
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