高考数学理科一轮复习数列的通项与求和学案附答案.docx
- 文档编号:19128844
- 上传时间:2023-04-24
- 格式:DOCX
- 页数:12
- 大小:21.39KB
高考数学理科一轮复习数列的通项与求和学案附答案.docx
《高考数学理科一轮复习数列的通项与求和学案附答案.docx》由会员分享,可在线阅读,更多相关《高考数学理科一轮复习数列的通项与求和学案附答案.docx(12页珍藏版)》请在冰豆网上搜索。
高考数学理科一轮复习数列的通项与求和学案附答案
高考数学(理科)一轮复习数列的通项与求和学案附答案
本资料为woRD文档,请点击下载地址下载全文下载地址
www.5y
kj.co
m 学案31 数列的通项与求和
导学目标:
1.能利用等差、等比数列前n项和公式及其性质求一些特殊数列的和.2.能在具体的问题情境中,识别数列的等差关系或等比关系,并能用有关知识解决相应的问题.
自主梳理
.求数列的通项
数列前n项和Sn与通项an的关系:
an=S1, n=1,Sn-Sn-1,
n≥2.
当已知数列{an}中,满足an+1-an=f,且f+f+…+f可求,则可用________求数列的通项an,常利用恒等式an=a1+++…+.
当已知数列{an}中,满足an+1an=f,且f•f•…•f可求,则可用__________求数列的通项an,常利用恒等式an=a1•a2a1•a3a2•…•anan-1.
作新数列法:
对由递推公式给出的数列,经过变形后化归成等差数列或等比数列来求通项.
归纳、猜想、证明法.
2.求数列的前n项的和
公式法
①等差数列前n项和Sn=____________=________________,推导方法:
____________;
②等比数列前n项和Sn= ,q=1, = ,q≠1.
推导方法:
乘公比,错位相减法.
③常见数列的前n项和:
a.1+2+3+…+n=__________;
b.2+4+6+…+2n=__________;
c.1+3+5+…+=______;
d.12+22+32+…+n2=__________;
e.13+23+33+…+n3=__________________.
分组求和:
把一个数列分成几个可以直接求和的数列.
裂项法:
有时把一个数列的通项公式分成两项差的形式,相加过程消去中间项,只剩有限项再求和.
常见的裂项公式有:
①1nn+1=1n-1n+1;
②12n-12n+1=1212n-1-12n+1;
③1n+n+1=n+1-n.
错位相减:
适用于一个等差数列和一个等比数列对应项相乘构成的数列求和.
倒序相加:
例如,等差数列前n项和公式的推导.
自我检测
.已知数列{an}的前n项的乘积为Tn=3n2,则数列{an}的前n项的
A.32
B.92
c.38
D.98
2.设{an}是公比为q的等比数列,Sn是其前n项和,若{Sn}是等差数列,则q为
A.-1
B.1
c.±1
D.0
3.已知等比数列{an}的公比为4,且a1+a2=20,设bn=log2an,则b2+b4+b6+…+b2n等于
A.n2+n
B.2
c.2n2+n
D.4
4.已知数列{an}的通项公式an=log2n+1n+2,设{an}的前n项的和为Sn,则使Sn<-5成立的自然数n
A.有最大值63
B.有最小值63
c.有最大值31
D.有最小值31
5.设关于x的不等式x2-x<2nx的解集中整数的个数为an,数列{an}的前n项和为Sn,则S100的值为________.
6.数列1,412,714,1018,…前10项的和为________.
探究点一 求通项公式
例1 已知数列{an}满足an+1=2n+1•anan+2n+1,a1=2,求数列{an}的通项公式.
变式迁移1 设数列{an}的前n项和为Sn,已知a1=1,Sn+1=4an+2.
设bn=an+1-2an,证明数列{bn}是等比数列;
求数列{an}的通项公式.
探究点二 裂项相消法求和
例2 已知数列{an},Sn是其前n项和,且an=7Sn-1+2,a1=2.
求数列{an}的通项公式;
设bn=1log2an•log2an+1,Tn是数列{bn}的前n项和,求使得Tn<m20对所有n∈N*都成立的最小正整数m.
变式迁移2 求数列1,11+2,11+2+3,…,11+2+3+…+n,…的前n项和.
探究点三 错位相减法求和
例3 已知数列{an}是首项、公比都为q的等比数列,bn=anlog4an.
当q=5时,求数列{bn}的前n项和Sn;
当q=1415时,若bn<bn+1,求n的最小值.
变式迁移3 求和Sn=1a+2a2+3a3+…+nan.
分类讨论思想的应用
例 二次函数f=x2+x,当x∈[n,n+1]时,f的函数值中所有整数值的个数为g,an=2n3+3n2gn,则Sn=a1-a2+a3-a4+…+n-1an=
A.n-1nn+12
B.nnn+12
c.nn+12
D.-nn+12
【答题模板】
答案 A
解析 本题考查二次函数的性质以及并项转化法求和.
当x∈[n,n+1]时,函数f=x2+x的值随x的增大而增大,则f的值域为[n2+n,n2+3n+2],∴g=2n+3,于是an=2n3+3n2gn=n2.
方法一 当n为偶数时,Sn=a1-a2+a3-a4+…+an-1-an=++…+[2-n2]=-[3+7+…+]=-3+2n-12•n2=-nn+12;
当n为奇数时,Sn=++…++an
=Sn-1+an=-nn-12+n2=nn+12,
∴Sn=n-1nn+12.
方法二 a1=1,a2=4,S1=a1=1,
S2=a1-a2=-3,
检验选择项,可确定A正确.
【突破思维障碍】
在利用并项转化求和时,由于数列的各项是正负交替的,所以一般需要对项数n进行分类讨论,但最终的结果却往往可以用一个公式来表示.
.求数列的通项:
公式法:
例如等差数列、等比数列的通项;
观察法:
例如由数列的前几项来求通项;
可化归为使用累加法、累积法;
可化归为等差数列或等比数列,然后利用公式法;
求出数列的前几项,然后归纳、猜想、证明.
2.数列求和的方法:
一般的数列求和,应从通项入手,若无通项,先求通项,然后通过对通项变形,转化为与特殊数列有关或具备某种方法适用特点的形式,从而选择合适的方法求和.
3.求和时应注意的问题:
直接用公式求和时,注意公式的应用范围和公式的推导过程.
注意观察数列的特点和规律,在分析数列通项的基础上或分解为基本数列求和,或转化为基本数列求和.
一、选择题
.已知数列{an}为等比数列,Sn是它的前n项和,若a2•a3=2a1且a4与2a7的等差中项为54,则S5等于
A.35
B.33
c.31
D.29
2.有两个等差数列{an},{bn},其前n项和分别为Sn,Tn,若SnTn=7n+2n+3,则a5b5=
A.6512
B.378
c.7213
D.94
3.如果数列{an}满足a1=2,a2=1且an-1-ananan-1=an-an+1anan+1,则此数列的第10项
A.1210
B.129
c.110
D.15
4.数列{an}的前n项和为Sn,若an=1nn+1,则S5等于
A.1
B.56
c.16
D.130
5.数列1,1+2,1+2+4,…,1+2+22+…+2n-1,…的前n项和Sn>1020,那么n的最小值是
A.7
B.8
c.9
D.10
题号
2
3
4
5
答案
二、填空题
6.数列{an}的前n项和为Sn且a1=1,an+1=3Sn,则log4S10=__________.
7.已知数列{an}满足a1=1,a2=-2,an+2=-1an,则该数列前26项的和为________.
8.对于数列{an},定义数列{an+1-an}为数列{an}的“差数列”,若a1=2,{an}的“差数列”的通项为2n,则数列{an}的前n项和Sn=____________.
三、解答题
9.已知函数f=x2-2x+n2+5n-7.
若函数f的图象的顶点的横坐标构成数列{an},试证明数列{an}是等差数列;
设函数f的图象的顶点到x轴的距离构成数列{bn},试求数列{bn}的前n项和Sn.
0.设等差数列{an}的前n项和为Sn,且Sn=12nan+an-c,a2=6.
求c的值及数列{an}的通项公式;
证明1a1a2+1a2a3+…+1anan+1<18.
1.已知数列{an}的前n项和为Sn=3n,数列{bn}满足b1=-1,bn+1=bn+.
求数列{an}的通项公式an;
求数列{bn}的通项公式bn;
若cn=an•bnn,求数列{cn}的前n项和Tn.
答案
自主梳理
.累加法 累积法 2.①n2 na1+n2d 倒序相加法 ②na1 a11-q a1-anq1-q
③n2 n2+n n2 n6 n22
自我检测
.c 2.B 3.B 4.B
5.10100 6.145511512
课堂活动区
例1 解题导引 已知递推关系求通项公式这类问题要求不高,主要掌握由a1和递推关系先求出前几项,再归纳、猜想an的方法,以及累加:
an=++…++a1;累乘:
an=anan-1•an-1an-2•…•a2a1•a1等方法.
解 已知递推可化为
an+1-1an=12n+1,
∴1a2-1a1=122,1a3-1a2=123,1a4-1a3=124,…,1an-1an-1=12n.
将以上个式子相加得
an-1a1=122+123+124+…+12n,
∴1an=121-12n1-12=1-12n.
∴an=2n2n-1.
变式迁移1 证明 由已知有
a1+a2=4a1+2,
解得a2=3a1+2=5,故b1=a2-2a1=3.
又an+2=Sn+2-Sn+1=4an+1+2-
=4an+1-4an;
于是an+2-2an+1=2,
即bn+1=2bn.
因此数列{bn}是首项为3,公比为2的等比数列.
解 由知等比数列{bn}中,b1=3,公比q=2,
所以an+1-2an=3×2n-1,
于是an+12n+1-an2n=34,
因此数列an2n是首项为12,公差为34的等差数列,
an2n=12+×34=34n-14,
所以an=•2n-2.
例2 解题导引 1.利用裂项相消法求和时,应注意抵消后并不一定只剩下第一项和最后一项,也有可能前面剩两项,后面也剩两项.再就是将通项公式裂项后,有时候需要调整前面的系数,使裂开的两项之差和系数之积与原通项公式相等.
2.一般情况如下,若{an}是等差数列,
则1anan+1=1d1an-1an+1,1anan+2=12d1an-1an+2.
此外根式在分母上时可考虑利用有理化因式相消求和.
解 ∵n≥2时,an=7Sn-1+2,∴an+1=7Sn+2,
两式相减,得an+1-an=7an,∴an+1=8an.
又a1=2,∴a2=7a1+2=16=8a1,
∴an+1=8an.
∴{an}是一个以2为首项,8为公比的等比数列,
∴an=2•8n-1=23n-2.
∵bn=1log2an•log2an+1=1
=13,
∴Tn=13
=13<13.
∴m20≥13,∴最小正整数m=7.
变式迁移2 解 an=2n=21n-1n+1,
∴Sn=2•[1-12+12-13+…+1n-1n+1]=2•1-1n+1=2nn+1.
例3 解题导引 1.一般地,如果数列{an}是等差数列,{bn}是等比数列,求数列{an•bn}的前n项和时,可采用错位相减法.
2.用乘公比错位相减法求和时,应注意:
要善于识别题目类型,特别是等比数列公比为负数的情形;
在写出“Sn”与“qSn”的表达式时应特别注意将两式“错项对齐”以便下一步准确写出“Sn-qSn”的表达式.
解 由题意得an=qn,
∴bn=an•log4an=qn•log4qn
=n•5n•log45,
∴Sn=log45,
设Tn=1×5+2×52+…+n×5n,①
则5Tn=1×52+2×53+…+×5n+n×5n+1,②
①-②得-4Tn=5+52+53+…+5n-n×5n+1
=54-n×5n+1,
∴Tn=516,
Sn=516log45.
∵bn=anlog4an=n1415nlog41415,
∴bn+1-bn=1415n+1log41415-
n1415nlog41415
=1415n1415-n15log41415>0,
∵1415n>0,log41415<0,
∴1415-n15<0,∴n>14,
即n≥15时,bn<bn+1.
故所求的n的最小值是15.
变式迁移3 解 当a=1时,
Sn=1+2+3+…+n=n2,
当a≠1时,Sn=1a+2a2+3a3+…+nan,①
∴1aSn=1a2+2a3+3a4+…+nan+1,②
①-②,得1-1a•Sn
=1a+1a2+1a3+…+1an-nan+1,
-1aSn=1a1-1an1-1a-nan+1
=1-1ana-1-nan+1,
∴Sn=a1-1an2-n•an.
∴Sn=n2,
a=1,a1-1an2-n•an,
a≠1.
课后练习区
.c 2.A 3.D 4.B 5.D
6.9
解析 ∵an+1=3Sn,∴an=3Sn-1.
两式相减得an+1-an=3=3an,
∴an+1=4an,即an+1an=4.
∴{an}为以a2为首项,公比为4的等比数列.
当n=1时,a2=3S1=3,
∴n≥2时,an=3•4n-2,
S10=a1+a2+…+a10
=1+3+3×4+3×42+…+3×48
=1+3×
=1+3×49-14-1=1+49-1=49.
∴log4S10=log449=9.
7.-10
解析 依题意得,a1=1,a2=-2,a3=-1,a4=12,a5=1,a6=-2,a7=-1,a8=12,所以数列周期为4,S26=6×+1-2=-10.
8.2n+1-2
解析 依题意,有a2-a1=2,a3-a2=22,a4-a3=23,…,an-an-1=2n-1,所有的代数式相加得an-a1=2n-2,即an=2n,所以Sn=2n+1-2.
9.解 f=x2-2x+n2+5n-7
=[x-]2+3n-8.…………………………………………………………………
由题意,an=n+1,
故an+1-an=+1-=1,
故数列{an}是以1为公差,2为首项的等差数列.……………………………………
由题意,bn=|3n-8|.……………………………………………………………………
当1≤n≤2时,bn=-3n+8,
数列{bn}为等差数列,b1=5,
∴Sn=n2=-3n2+13n2;………………………………………………………
当n≥3时,bn=3n-8,数列{bn}是等差数列,b3=1.
∴Sn=S2+2=3n2-13n+282.…………………………………………
∴Sn=-3n2+13n2, 1≤n≤2,3n2-13n+282,
n≥3.……………………………………………
0.解 因为Sn=12nan+an-c,
所以当n=1时,S1=12a1+a1-c,
解得a1=2c,………………………………………………………………………………
当n=2时,S2=a2+a2-c,
即a1+a2=2a2-c,解得a2=3c,………………………………………………………
所以3c=6,解得c=2;…………………………………………………………………
则a1=4,数列{an}的公差d=a2-a1=2,
所以an=a1+d=2n+2.……………………………………………………………
证明 因为1a1a2+1a2a3+…+1anan+1
=14×6+16×8+…+1
=12+12+…+12
=12[++…+]……………………………………………
=12=18-14.……………………………………………………………
因为n∈N*,所以1a1a2+1a2a3+…+1anan+1<18.…………………………………………
1.解 ∵Sn=3n,
∴Sn-1=3n-1.
∴an=Sn-Sn-1=3n-3n-1=2×3n-1.……………………………………………
当n=1时,2×31-1=2≠S1=a1=3,…………………………………………………
∴an=3, n=1,2×3n-1,n≥2,n∈N*……………………………………………………
∵bn+1=bn+,
∴b2-b1=1,b3-b2=3,b4-b3=5,…,
bn-bn-1=2n-3.
以上各式相加得
bn-b1=1+3+5+…+
=2=2.
∵b1=-1,∴bn=n2-2n.………………………………………………………………
由题意得
cn=-3,n=1,2×3n-1,n≥2,n∈N*.……………………………………………………
当n≥2时,Tn=-3+2×0×31+2×1×32+2×2×33+…+2×3n-1,
∴3Tn=-9+2×0×32+2×1×33+2×2×34+…+2×3n,
相减得-2Tn=6+2×32+2×33+…+2×3n-1-2×3n.
∴Tn=×3n-
=×3n-3n-32=3n+32.…………………………………………………
T1=-3也适合.
∴Tn=3n+32.…………………………………………………………
www.5y
kj.co
m
- 配套讲稿:
如PPT文件的首页显示word图标,表示该PPT已包含配套word讲稿。双击word图标可打开word文档。
- 特殊限制:
部分文档作品中含有的国旗、国徽等图片,仅作为作品整体效果示例展示,禁止商用。设计者仅对作品中独创性部分享有著作权。
- 关 键 词:
- 高考 数学 理科 一轮 复习 数列 求和 学案附 答案