届高考理科数学第一轮总复习教案62docWord文档格式.docx
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A<
1)到原来的____倍(横坐标不变).
3.当函数y=Asin(ωx+φ)(A>
0),x∈(-∞,+∞)表示一个振动量时,则____叫做振幅,T=________叫做周期,f=______叫做频率,________叫做相位,____叫做初相.
函数y=Acos(ωx+φ)的最小正周期为____________.y=Atan(ωx+φ)的最小正周期为________.
自我检测
1.(2011·
池州月考)要得到函数y=sin的图象,可以把函数y=sin2x的图象( )
A.向左平移个单位
B.向右平移个单位
C.向左平移个单位
D.向右平移个单位
2.已知函数f(x)=sin(x∈R,ω>
0)的最小正周期为π.将y=f(x)的图象向左平移|φ|个单位长度,所得图象关于y轴对称,则φ的一个值是( )
A.B.C.D.
3.已知函数f(x)=sin(ωx+)(x∈R,ω>
0)的最小正周期为π,为了得到函数g(x)=cosωx的图象,只要将y=f(x)的图象( )
A.向左平移个单位长度
B.向右平移个单位长度
C.向左平移个单位长度
D.向右平移个单位长度
4.(2011·
太原高三调研)函数y=sin的一条对称轴方程是( )
A.x=B.x=
C.x=D.x=
5.(2011·
六安月考)若动直线x=a与函数f(x)=sinx和g(x)=cosx的图象分别交于M、N两点,则|MN|的最大值为( )
A.1B.C.D.2
探究点一 三角函数的图象及变换
例1
已知函数y=2sin.
(1)求它的振幅、周期、初相;
(2)用“五点法”作出它在一个周期内的图象;
(3)说明y=2sin的图象可由y=sinx的图象经过怎样的变换而得到.
变式迁移1 设f(x)=cos2x+sinxcosx+sin2x(x∈R).
(1)画出f(x)在上的图象;
(2)求函数的单调增减区间;
(3)如何由y=sinx的图象变换得到f(x)的图象?
探究点二 求y=Asin(ωx+φ)的解析式
例2
已知函数f(x)=Asin(ωx+φ)(A>
0,|φ|<
,x∈R)的图象的一部分如图所示.求函数f(x)的解析式.
变式迁移2 (2011·
宁波模拟)已知函数f(x)=Asin(ωx+φ)(A>
)的图象与y轴的交点为(0,1),它在y轴右侧的第一个最高点和第一个最低点的坐标分别为(x0,2)和(x0+2π,-2).
(1)求f(x)的解析式及x0的值;
(2)若锐角θ满足cosθ=,求f(4θ)的值.
探究点三 三角函数模型的简单应用
例3
已知海湾内海浪的高度y(米)是时间t(0≤t≤24,单位:
小时)的函数,记作y=f(t).下表是某日各时刻记录的浪高数据:
t
3
6
9
12
15
18
21
24
y
1.5
1.0
0.5
0.99
经长期观测,y=f(t)的曲线可近似地看成是函数y=Acosωt+b.
(1)根据以上数据,求函数y=Acosωt+b的最小正周期T,振幅A及函数表达式;
(2)依据规定,当海浪高度高于1米时才对冲浪爱好者开放,请依据
(1)的结论,判断一天内的上午8∶00至晚上20∶00之间,有多少时间可供冲浪者进行运动?
变式迁移3 交流电的电压E(单位:
伏)与时间t(单位:
秒)的关系可用E=220sin表示,求:
(1)开始时的电压;
(2)最大电压值重复出现一次的时间间隔;
(3)电压的最大值和第一次取得最大值时的时间.
数形结合思想的应用
例
(12分)设关于θ的方程cosθ+sinθ+a=0在区间(0,2π)内有相异的两个实根α、β.
(1)求实数a的取值范围;
(2)求α+β的值.
【答题模板】
解
(1)原方程可化为sin(θ+)=-,
作出函数y=sin(x+)(x∈(0,2π))的图象.
[3分]
由图知,方程在(0,2π)内有相异实根α,β的充要条件是.
即-2<
a<
-或-<
2.[6分]
(2)由图知:
当-<
2,即-∈(-1,)时,直线y=-与三角函数y=sin(x+)的图象交于C、D两点,它们中点的横坐标为π,∴=,
∴α+β=.[8分]
当-2<
-,即-∈(,1)时,直线y=-与三角函数y=sin(x+)的图象有两交点A、B,
由对称性知,=,∴α+β=.[11分]
综上所述,α+β=或α+β=π.[12分]
【突破思维障碍】
在解决三角函数的有关问题时,若把三角函数的性质融于函数的图象之中,将数(量)与图形结合起来进行分析、研究,可使抽象复杂的数理关系通过几何图形直观地表现出来,这是解决三角函数问题的一种有效的解题策略.
图象的应用主要有以下几个方面:
①比较大小;
②求单调区间;
③解不等式;
④确定方程根的个数.如判断方程sinx=x的实根个数;
⑤对称问题等.
【易错点剖析】
此题若不用数形结合法,用三角函数有界性求a的范围,不仅过程繁琐,而且很容易漏掉a≠-的限制,而从图象中可以清楚地看出当a=-时,方程只有一解.
1.从“整体换元”的思想认识、理解、运用“五点法作图”,尤其在求y=Asin(ωx+φ)的单调区间、解析式等相关问题中要充分理解基本函数y=sinx的作用.
2.三角函数自身综合问题:
要以课本为主,充分掌握公式之间的内在联系,从函数名称、角度、式子结构等方面观察,寻找联系,结合单位圆或函数图象等分析解决问题.
3.三角函数模型应用的解题步骤:
(1)根据图象建立解析式或根据解析式作出图象.
(2)将实际问题抽象为与三角函数有关的简单函数模型.
(3)利用收集到的数据作出散点图,并根据散点图进行函数拟合,从而得到函数模型.
(满分:
75分)
一、选择题(每小题5分,共25分)
1.将函数y=sin的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变),再将所得的图象向左平移个单位,得到的图象对应的解析式是( )
A.y=sinxB.y=sin
C.y=sinD.y=sin
2.(2011·
银川调研)如图所示的是某函数图象的一部分,则此函数是( )
A.y=sin
B.y=sin
C.y=cos
D.y=cos
3.为得到函数y=cos的图象,只需将函数y=sin2x的图象( )
4.(2009·
辽宁)已知函数f(x)=Acos(ωx+φ)(A>
0)的图象如图所示,f()=-,则f(0)等于( )
A.-B.-
C.D.
烟台月考)若函数y=Asin(ωx+φ)+m(A>
0)的最大值为4,最小值为0,最小正周期为,直线x=是其图象的一条对称轴,则它的解析式是( )
A.y=4sinB.y=2sin+2
C.y=2sin+2D.y=2sin+2
题号
1
2
4
5
答案
二、填空题(每小题4分,共12分)
6.已知函数y=sin(ωx+φ)(ω>
0,-π≤φ<
π)的图象如图所示,则φ=________.
7.(2010·
潍坊五校联考)函数f(x)=cos2x的图象向左平移个单位长度后得到g(x)的图象,则g(x)=______.
8.(2010·
福建)已知函数f(x)=3sin(ω>
0)和g(x)=2cos(2x+φ)+1的图象的对称轴完全相同.若x∈,则f(x)的取值范围是____________.
三、解答题(共38分)
9.(12分)已知函数f(x)=Asin(ωx+φ)(A>
,x∈R)的图象的一部分如下图所示.
(1)求函数f(x)的解析式;
(2)当x∈[-6,-]时,求函数y=f(x)+f(x+2)的最大值与最小值及相应的x的值.
10.(12分)已知函数f(x)=Asin(ωx+φ)(A>
0,0<
ω≤2且0≤φ≤π)是R上的偶函数,其图象过点M(0,2).又f(x)的图象关于点N对称且在区间[0,π]上是减函数,求f(x)的解析式.
11.(14分)(2010·
山东)已知函数f(x)=sin(π-ωx)·
cosωx+cos2ωx(ω>
0)的最小正周期为π,
(1)求ω的值;
(2)将函数y=f(x)的图象上各点的横坐标缩短到原来的,纵坐标不变,得到函数y=g(x)的图象,求函数y=g(x)在区间上的最小值.
答案自主梳理
1. 0 π 2π 2.
(1)左 右 |φ|
(2)伸长 缩短 (3)伸长 缩短 A 3.A ωx+φ φ
1.B 2.D 3.A 4.D 5.B
课堂活动区
解题导引
(1)作三角函数图象的基本方法就是五点法,此法注意在作出一个周期上的简图后,应向两边伸展一下,以示整个定义域上的图象;
(2)变换法作图象的关键是看x轴上是先平移后伸缩还是先伸缩后平移,对于后者可利用ωx+φ=ω来确定平移单位.
解
(1)y=2sin的振幅A=2,周期T==π,初相φ=.
(2)令X=2x+,则y=2sin=2sinX.
列表:
-
π
2π
y=sinX
-1
y=2sin
-2
描点连线,得图象如图所示:
(3)将y=sinx的图象上每一点的横坐标x缩短为原来的倍(纵坐标不变),得到y=sin2x的图象;
再将y=sin2x的图象向左平移个单位,得到y=sin2=sin的图象;
再将y=sin的图象上每一点的横坐标保持不变,纵坐标伸长为原来的2倍,得到y=2sin的图象.
变式迁移1 解 y=·
+sin2x+·
=1+sin2x-cos2x=1+sin.
(1)(五点法)设X=2x-,
则x=X+,令X=0,,π,,2π,
于是五点分别为,,,,,描点连线即可得图象,如下图.
(2)由-+2kπ≤2x-≤+2kπ,k∈Z,
得单调增区间为,k∈Z.
由+2kπ≤2x-≤+2kπ,k∈Z,
得单调减区间为,k∈Z.
(3)把y=sinx的图象向右平移个单位;
再把横坐标缩短到原来的倍(纵坐标不变);
最后把所得图象向上平移1个单位即得y=sin+1的图象.
解题导引 确定y=Asin(ωx+φ)+b的解析式的步骤:
(1)求A,b.确定函数的最大值M和最小值m,则A=,b=.
(2)求ω.确定函数的周期T,则ω=.(3)求参数φ是本题的关键,由特殊点求φ时,一定要分清特殊点是“五点法”的第几个点.
解 由图象可知A=2,T=8.
∴ω===.
方法一 由图象过点(1,2),
得2sin=2,
∴sin=1.∵|φ|<
,∴φ=,
∴f(x)=2sin.
方法二 ∵点(1,2)对应“五点”中的第二个点.
∴×
1+φ=,∴φ=,
变式迁移2 解
(1)由题意可得:
A=2,=2π,即=4π,∴ω=,
f(x)=2sin,f(0)=2sinφ=1,
由|φ|<
,∴φ=.∴f(x)=2sin(x+).
f(x0)=2sin=2,
所以x0+=2kπ+,x0=4kπ+(k∈Z),
又∵x0是最小的正数,∴x0=.
(2)f(4θ)=2sin
=sin2θ+cos2θ,
∵θ∈,cosθ=,∴sinθ=,
∴cos2θ=2cos2θ-1=-,
sin2θ=2sinθcosθ=,
∴f(4θ)=×
-=.
解题导引
(1)三角函数模型在实际中的应用体现在两个方面,一是已知函数模型,如本例,关键是准确理解自变量的意义及自变量与函数之间的对应法则,二是把实际问题抽象转化成数学问题,建立三角函数模型,再利用三角函数的有关知识解决问题,其关键是建模.
(2)如何从表格中得到A、ω、b的值是解题的关键也是易错点,同时第二问中解三角不等式也是易错点.(3)对于三角函数模型y=Asin(ωx+φ)+k(A>
0)中参数的确定有如下结论:
①A=;
②k=;
③ω=;
④φ由特殊点确定.
解
(1)由表中数据,知周期T=12,
∴ω===,
由t=0,y=1.5,得A+b=1.5;
由t=3,y=1.0,得b=1.0,
∴A=0.5,b=1,∴y=cost+1.
(2)由题知,当y>
1时才可对冲浪者开放,
∴cost+1>
1,∴cost>
0,
∴2kπ-<
t<
2kπ+,k∈Z,
即12k-3<
12k+3,k∈Z.①
∵0≤t≤24,故可令①中的k分别为0,1,2,
得0≤t<
3,或9<
15,或21<
t≤24.
∴在规定时间上午8∶00至晚上20∶00之间,有6个小时的时间可供冲浪者运动,即上午9∶00至下午3∶00.
变式迁移3 解
(1)t=0时,E=220sin=110(伏).
(2)T==0.02(秒).
(3)当100πt+=,t=秒时,第一次取得最大值,电压的最大值为220伏.
课后练习区
1.C 2.D 3.A 4.C 5.D
6.
7.-sin2x
8.
9.解
(1)由图象知A=2,
∵T==8,∴ω=.……………………………………………………………………(2分)
又图象经过点(-1,0),∴2sin(-+φ)=0.
∵|φ|<
,∴φ=.
∴f(x)=2sin(x+).………………………………………………………………………(5分)
(2)y=f(x)+f(x+2)
=2sin(x+)+2sin(x++)
=2sin(x+)=2cosx.……………………………………………………………(8分)
∵x∈[-6,-],∴-≤x≤-.
∴当x=-,即x=-时,y=f(x)+f(x+2)取得最大值;
当x=-π,即x=-4时,y=f(x)+f(x+2)取得最小值-2.………………………(12分)
10.解 根据f(x)是R上的偶函数,图象过点M(0,2),可得f(-x)=f(x)且A=2,
则有2sin(-ωx+φ)=2sin(ωx+φ),
即sinωxcosφ=0,
∴cosφ=0,即φ=kπ+(k∈Z).
而0≤φ≤π,∴φ=.………………………………………………………………………(4分)
再由f(x)=2sin(-ωx+)=2cosωx的图象关于点N对称,f()=2cos(π)=0
∴cosπ=0,……………………………………………………………………………(8分)
即π=kπ+(k∈Z),ω=(k∈Z).
又0<
ω≤2,∴ω=或ω=2.……………………………………………………………(10分)
最后根据f(x)在区间[0,π]上是减函数,
可知只有ω=满足条件.
所以f(x)=2cosx.………………………………………………………………………(12分)
11.解
(1)f(x)=sin(π-ωx)cosωx+cos2ωx
=sinωxcosωx+
=sin2ωx+cos2ωx+
=sin+.……………………………………………………………………(6分)
由于ω>
0,依题意得=π,所以ω=1.………………………………………………(8分)
(2)由
(1)知f(x)=sin+,
所以g(x)=f(2x)
=sin+.……………………………………………………………………(10分)
当0≤x≤时,≤4x+≤.
所以≤sin≤1.
因此1≤g(x)≤,…………………………………………………………………(13分)
所以g(x)在此区间内的最小值为1.…………………………………………………(14分)
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