高考数学一轮复习第四章三角函数与解三角形47正弦定理和余弦定理学案理Word文档格式.docx
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A.90°
B.120°
C.135°
D.150°
B
(2)[教材习题改编]在△ABC中,已知∠A=60°
,∠B=75°
,c=20,则a=________.
10
解三角形的一般类型:
已知两边及一角;
已知两角及一边;
已知三边.
(1)在△ABC中,已知a=5,b=2,C=30°
,则c=________.
解析:
由余弦定理,得c2=a2+b2-2abcosC=52+
(2)2-2×
5×
2cos30°
=7,所以c=.
(2)在△ABC中,内角A,B,C的对边分别为a,b,c,若B=,sinA=,b=,则a=________.
由正弦定理=,得a==.
(3)在△ABC中,已知a∶b∶c=2∶4∶3,则cosC=________.
设a=2k,b=4k,c=3k(k>
0),
则cosC==.
[典题1] [2017·
山师大附中一模]设△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,且bsinA=acosB.
(1)求角B的大小;
(2)若b=3,sinC=2sinA,求a,c的值.
[解]
(1)∵bsinA=acosB,
由正弦定理得sinBsinA=sinAcosB.
在△ABC中,sinA≠0,
即得tanB=,∴B=.
(2)∵sinC=2sinA,由正弦定理得c=2a,
由余弦定理b2=a2+c2-2accosB,
即9=a2+4a2-2a·
2acos,
解得a=,∴c=2a=2.
[点石成金] 1.解三角形时,如果式子中含有角的余弦或边的二次式,要考虑用余弦定理;
如果式子中含有角的正弦或边的一次式时,则考虑用正弦定理;
以上特征都不明显时,则要考虑两个定理都有可能用到.
2.三角形解的个数的判断:
已知两角和一边,该三角形是确定的,其解是唯一的;
已知两边和一边的对角,该三角形具有不唯一性,通常根据三角函数值的有界性和大边对大角定理进行判断.
设△ABC的内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,且a+c=6,b=2,cosB=.
(1)求a,c的值;
(2)求sin(A-B)的值.
解:
(1)由余弦定理,得
cosB===,
即a2+c2-4=ac.
∴(a+c)2-2ac-4=ac,∴ac=9.
由得a=c=3.
(2)在△ABC中,cosB=,
∴sinB===.
由正弦定理,得=,
∴sinA===.
又A=C,∴0<A<,
∴cosA==,
∴sin(A-B)=sinAcosB-cosAsinB
=×
-×
=.
考点2 利用正弦、余弦定理判定三角形的形状
三角形中的角的关系判断误区:
角的大小比较的误区;
角的个数的误区.
(1)在△ABC中,若sinA>
sinB,则A与B的大小关系是________.
A>
由正弦定理,得sinA=,sinB=.
若sinA>
sinB,则>
,即a>
b,故A>
B.
(2)在△ABC中,若A=60°
,a=4,b=4,则B等于________.
45°
由正弦定理,有=,则sinB===.又a>
b,所以A>
B,故B=45°
.
注意挖掘题中隐含条件,以便确定满足条件的角的情况.
判断三角形的形状.
利用正、余弦定理判断三角形的形状,一般都可以通过两种途径实现:
(1)把角的条件转化为边,通过边的关系判断;
(2)把边的条件转化为角,通过计算角的大小进行判断.
[典题2]
(1)在△ABC中,内角A,B,C的对边分别为a,b,c,且2c2=2a2+2b2+ab,则△ABC是( )
A.钝角三角形B.直角三角形
C.锐角三角形D.等边三角形
[答案] A
[解析]由2c2=2a2+2b2+ab,得
a2+b2-c2=-ab,
所以cosC===-<0,
所以90°
<C<180°
,即△ABC为钝角三角形.
(2)设△ABC的内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,若bcosC+ccosB=asinA,则△ABC的形状为( )
A.锐角三角形B.直角三角形
C.钝角三角形D.不确定
[答案] B
[解析] 依据题设条件的特点,由正弦定理,
得sinBcosC+cosBsinC=sin2A,
有sin(B+C)=sin2A,
∵A∈(0,π),∴sinA≠0.
从而sin(B+C)=sinA=sin2A,解得sinA=1,
∴A=,故选B.
[题点发散1] 若将本例条件改为“若2sinAcosB=sinC”,那么△ABC一定是( )
A.直角三角形B.等腰三角形
C.等腰直角三角形D.等边三角形
解法一:
由已知得2sinAcosB=sinC=sin(A+B)=sinAcosB+cosAsinB,即sin(A-B)=0,因为-π<
A-B<
π,所以A=B.
解法二:
由正弦定理,得2acosB=c,再由余弦定理得
2a·
=c⇒a2=b2⇒a=b.
[题点发散2] 若将本例条件改为“若a2+b2-c2=ab,且2cosAsinB=sinC”,确定△ABC的形状.
利用边的关系来判断:
由2cosAsinB=sinC,有cosA==.
又由余弦定理,得cosA=,
∴=,
即c2=b2+c2-a2,∴a2=b2,∴a=b.
又∵a2+b2-c2=ab.
∴2b2-c2=b2,∴b2=c2,
∴b=c,∴a=b=c.
∴△ABC为等边三角形.
利用角的关系来判断:
∵A+B+C=180°
,
∴sinC=sin(A+B),
又∵2cosAsinB=sinC,
∴2cosAsinB=sinAcosB+cosAsinB,
∴sin(A-B)=0.
又∵A与B均为△ABC的内角,所以A=B,
又由a2+b2-c2=ab,
由余弦定理,得cosC===,
又0°
<
C<
180°
,所以C=60°
[题点发散3] 若将本例条件改为“若△ABC的三个内角满足sinA∶sinB∶sinC=5∶11∶13”,则△ABC( )
A.一定是锐角三角形
B.一定是直角三角形
C.一定是钝角三角形
D.可能是锐角三角形,也可能是钝角三角形
C
在△ABC中,sinA∶sinB∶sinC=5∶11∶13,
∴a∶b∶c=5∶11∶13,
故设a=5k,b=11k,c=13k(k>
由余弦定理可得
cosC===-<
0,
又∵C∈(0,π),∴C∈,
∴△ABC为钝角三角形.
[题点发散4] 若将本例条件改为“(a2+b2)sin(A-B)=(a2-b2)sin(A+B)”,试判断三角形的形状.
∵(a2+b2)sin(A-B)=(a2-b2)sin(A+B),
∴b2[sin(A+B)+sin(A-B)]=a2[sin(A+B)-sin(A-B)],
∴2sinAcosB·
b2=2cosAsinB·
a2,
即a2cosAsinB=b2sinAcosB.
由正弦定理知a=2RsinA,b=2RsinB,
∴sin2AcosAsinB=sin2BsinAcosB,
又sinA·
sinB≠0,
∴sinAcosA=sinBcosB,
∴sin2A=sin2B.
在△ABC中,0<2A<2π,0<2B<2π,
∴2A=2B或2A=π-2B,
∴A=B或A+B=.
∴△ABC为等腰三角形或直角三角形.
由正弦定理、余弦定理,得
a2b=b2a,
∴a2(b2+c2-a2)=b2(a2+c2-b2),
∴(a2-b2)(a2+b2-c2)=0,
∴a2-b2=0或a2+b2-c2=0.
即a=b或a2+b2=c2.
[题点发散5] 若将本例条件改为:
“2asinA=(2b+c)·
sinB+(2c+b)sinC,且sinB+sinC=1”,试判断△ABC的形状.
由已知,根据正弦定理,得
2a2=(2b+c)b+(2c+b)c,
即a2=b2+c2+bc,cosA=-,sinA=,
则sin2A=sin2B+sin2C+sinBsinC.
解得sinB=sinC=.
故B=C=,
所以△ABC是等腰钝角三角形.
[点石成金] 1.判断三角形的形状,应围绕三角形的边角关系进行思考,主要看其是不是正三角形、等腰三角形、直角三角形、钝角三角形或锐角三角形,要特别注意“等腰直角三角形”与“等腰三角形或直角三角形”的区别.
2.判断三角形形状主要有以下两种途径:
(1)通过正弦定理和余弦定理,化边为角,利用三角变换得出三角形内角之间的关系进行判断;
(2)利用正弦定理、余弦定理,化角为边,通过代数恒等变换,求出三条边之间的关系进行判断.
在△ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,若<
cosA,则△ABC为( )
A
依题意得<
cosA,
sinC<
sinBcosA,
所以sin(A+B)<
即sinBcosA+cosBsinA-sinBcosA<
所以cosBsinA<
0.
又sinA>
0,于是有cosB<
0,B为钝角,△ABC是钝角三角形.
考点3 与三角形面积有关的问题
三角形中常用的面积公式
(1)S=ah(h表示边a上的高);
(2)S=bcsinA=acsinB=absinC;
(3)S=r(a+b+c)(r为三角形的内切圆半径).
[教材习题改编]在△ABC中,内角A,B,C的对边分别为a,b,c,且a=2,b=3,S△ABC=,则角C的值为________.
60°
或120°
由S△ABC=absinC=×
2×
3sinC=,得sinC=,因为C为三角形ABC的内角,所以C=60°
或C=120°
三角形面积公式.
利用正余弦定理三角形的面积还可以写成:
S=2R2sinAsinBsinC,
S=.
[典题3] [2017·
河北衡水模拟]如图,在△ABC中,sin∠ABC=,AB=2,点D在线段AC上,且AD=2DC,BD=.
(1)求BC的长;
(2)求△DBC的面积.
[解]
(1)因为sin∠ABC=,
所以cos∠ABC=1-2×
在△ABC中,设BC=a,AC=3b,
则由余弦定理可得,9b2=a2+4-a,①
在△ABD和△DBC中,由余弦定理可得,
cos∠ADB=,cos∠BDC
因为cos∠ADB=-cos∠BDC,
所以有=-,
所以3b2-a2=-6.②
由①②可得,a=3,b=1,即BC=3.
(2)由
(1)得△ABC的面积为
S=×
3×
=2,所以△DBC的面积为.
[点石成金] 三角形面积公式的应用原则
(1)对于面积公式S=absinC=acsinB=bcsinA,一般是已知哪一个角就使用哪一个公式.
(2)与面积有关的问题,一般要用正弦定理或余弦定理进行边和角的转化.
[2017·
湖北武汉质量预测]在△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,且满足a2-b2-c2+bc=0,2bsinA=a,BC边上中线AM的长为.
(1)求角A和角B的大小;
(2)求△ABC的面积.
(1)由a2-b2-c2+bc=0,得
b2+c2-a2=bc,
∴cosA==,∴A=,
由2bsinA=a,得b=a,∴B=A=.
(2)设AC=BC=x,由余弦定理,
得AM2=x2+-2x·
·
=()2,
解得x=2,故S△ABC=×
=2.
真题演练集训
1.[2014·
新课标全国卷Ⅱ]钝角三角形ABC的面积是,AB=1,BC=,则AC=( )
A.5B.
C.2D.1
由题意可得AB·
BC·
sinB=,
又AB=1,BC=,所以sinB=,
所以B=45°
或B=135°
当B=45°
时,由余弦定理可得
AC==1,
此时AC=AB=1,BC=,易得A=90°
,与“钝角三角形”条件矛盾,舍去.所以B=135°
AC==.
2.[2014·
新课标全国卷Ⅰ]已知a,b,c分别为△ABC三个内角A,B,C的对边,a=2,且(2+b)(sinA-sinB)=(c-b)sinC,则△ABC面积的最大值为________.
∵===2R,a=2,又(2+b)(sinA-sinB)=(c-b)sinC可化为(a+b)(a-b)=(c-b)c,∴a2-b2=c2-bc,∴b2+c2-a2=bc.
∴===cosA,∴A=60°
∵△ABC中,4=a2=b2+c2-2bc·
cos60°
=b2+c2-bc≥2bc-bc=bc(当且仅当b=c时等号成立),
∴S△ABC=·
bc·
sinA≤×
4×
3.[2016·
新课标全国卷Ⅱ]△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,若cosA=,cosC=,a=1,则b=________.
因为cosA=,cosC=,
所以sinA=,sinC=,
从而sinB=sin(A+C)=sinAcosC+cosAsinC
+×
由正弦定理=,得b==.
从而cosB=-cos(A+C)=-cosAcosC+sinAsinC=-×
由正弦定理=,得c==.
由余弦定理b2=a2+c2-2accosB,得b=.
解法三:
因为cosA=,cosC=,所以sinA=,sinC=,
从而b=acosC+ccosA=.
解法四:
如图,作BD⊥AC于点D,
由cosC=,a=BC=1,知CD=,BD=.
又cosA=,所以tanA=,从而AD=.
故b=AD+DC=.
4.[2016·
新课标全国卷Ⅰ]△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知2cosC(acosB+bcosA)=c.
(1)求C;
(2)若c=,△ABC的面积为,求△ABC的周长.
(1)由已知及正弦定理,得
2cosC(sinAcosB+sinBcosA)=sinC,
2cosCsin(A+B)=sinC,
故2sinCcosC=sinC,C∈(0,π).
可得cosC=,所以C=.
(2)由已知,absinC=.
又C=,所以ab=6.
由已知及余弦定理,得a2+b2-2abcosC=7,
故a2+b2=13,从而(a+b)2=25.
所以△ABC的周长为5+.
课外拓展阅读
转化与化归思想在解三角形中的应用
[典例] [2016·
[审题视角]
(1)利用正弦定理进行边角互化求解;
(2)利用三角形的面积公式得出ab,再结合余弦定理联立方程求出a+b,进而求得△ABC的面积.
[解]
(1)由已知及正弦定理得,
①
2cosCsin(A+B)=sinC.故2sinCcosC=sinC.
(2)由已知,得absinC=.
由已知及余弦定理得,a2+b2-2abcosC=7.
故②
满分心得
1.
(1)题中①处不能利用正弦定理将边化为角,使已知条件中的式子转化为同类.
(2)题中②处不能结合余弦定理将(a+b)视为整体进行求解而走入误区.
2.转化与化归思想在解三角形中的应用主要体现在边角之间利用正、余弦定理统一的转化化简上,使关系式中的量达到统一性.
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