初中数学竞赛专题复习第一篇代数第5章不等式试题1人教版Word格式文档下载.docx
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(a7
a)x
21
2aa
0,
即5
ax
5
5a,解得
1
x.
所求的不等式解为x
4*
x
5.1.4★★如杲关于x的不等式
9,求不等式(a4b)x2a3b0的解.
(2ab)xa5b0
的解集为x10,求关于x的不等式axb的解集.
解析由已知得
(2ab)x5ba,①
7x10.②
由已知①和②的解集相同,所以
2ab7,
5ba
10,
解得
5,
3.
从而ax
b的解集是
5.1.5★求不等式
111
(x1)(x1)>
(x2)
326
的正整数解.
一177
解析由原不等式可得-X<
-,所以x<
-是原不等式的解.因为要求正整数解,所以原不等式的正
362
整数解为x1,2,3.
5.1.6★★如果不等式组9xa》0,的整数解仅为1、2、3,那么适合这个不等式组的整数a、b的有
8xb0
序数对(a,b)共有多少对?
解析由原不等式组可解得-<
x-.
98
如图所示,在数轴上画出这个不等式组解集的可能范围,可得
0-<
1,
9
3b<
4.
24bw32.
所以,a1,2,…,9共9个,b25,26,…,32共8个,于是有序数对(a,b)共有9872个.
5.1.7★★★设a、b是正整数,求满足8旦?
,且b最小的分数-.
9b10b
解析欲求b的最小值,只需将b放入一个不等式,然后估计出b的下界,这里要用到整数的离散性,
即若整数x、y满足xy,则x>
y1.
原不等式等价于
10
8b9a,
10a9b.
8b1w9a,
10a1w9b.
8b
c9b11w9-
b>
19.
又分数
H满足8
199
17917
17—,故b最小且满足题意的分数是17
191019
5.1.8★已知5wmw20,25wnw30,求—的最大值和最小值.
n
25wnw30,所以m的最大值为20,最小值为5;
n的最大值为30,最小
解析因为5wmW20,值为25.
故m的最大值为m
nn
5.1.9★★求同时满足
解析由a
20
25
bc6和2a
-的最小值为--1.
nn306
6,2abc3和b>
c>
0的a的最大值及最小值.
c3,得
93ac
再由b>
0得,>
>
0,解此不等式,得-waw3.
所以a的最大值为3,最小值为
5.1.10★求适合2xyxy,
且y满足方程3y
52y3x的x取值范围.
解析3y52y3x,所以y3x
2x(3x5)x
故x的取值范围是
5.1.11★★当
最小值.
3x
5,x2.
2.
z为非负数时,
5.于是
3y2z
x,3yz43x,求w3x3y4z的最大值和
3y
解析由
2z
'
3x,
4x,
7x
3.
因为x、y、z均为非负数.所以,
从上面可得
w3x
26x
3y4z3x57x416x
67
所以w的最大值是67,
w的最小值是
5.2
含绝对值的不等式(组)
5.2.1
★
(1)解不等式
|3x2|
(2)解析5.2.2
解不等式|3x2|
根据绝对值的非负性,易知
★★解不等式|x5|12x
3|
1)无解,
(2)的解集为全体实数.
1.
解析原不等式的零点为5、-.根据零点的情况分类讨论•
(1)当x5时,原不等式化为
(x5)(2x3)1,
解之,得x3.
所以,此时不等式的解为x5.
(2)当x-时,原不等式化为
解之,得x1.
所以,此时不等式的解为x1.
(3)当一<
x<
5时,原不等式化为
(x5)(2x3)1,
解之,得x7.
所以,此时不等式的解为7x<
5.
综上,原不等式的解为x1或x7.
评注解与绝对值有关的不等式的关键一点是根据绝对值的定义,去掉不等式中的绝对值符号.分类讨
论是去绝对值符号的另一种重要方法.
5.2.3★解不等式|x7||x2|3.
解析1如图,分别用A、B两点代表7和2.
|x7||x2|表示某点C(x所对应的点)至UA点和B点的距离差.又当x1时,C点到A、B两点的距离差恰好为3.
ACB
IIIIIIII1^I
-7-1O2x
当点C靠近点A时,C到A、B两点的距离差变小,所以原不等式的解为
x1.
解析2因为7、2分别是|x7|和|x2|的零点,于是分三种情况讨论:
(1)当x7时,原不等式变为
(x7)(x2)3,
此式恒成立,故x7是原不等式的解.
(2)当7<
x2时,原不等式变为
解得x1.
所以,7<
x1是原不等式的解.
(3)若x>
2,原不等式变为
即53,此不等式无解.
综上所述,原不等式的解为x1.
5.2.4★★解不等式||x3||x3||3.
解析原不等式等价于
|x3||x3|3,①
或
|x3||x3|
②
①的解为x
一;
②的解为x
所以,原不等式的解为x—或x3.
22
525★解不等式:
x25|x|60.
解析注意X2(|x|)2,整体分解.
由题意得
(|x|2)(|x|3)0,
即|x|3或|x|2,
而由|x|3得
x3或x3,
由|x|2得
2x2.
所以,原不等式的解为
x3或2x2或x3.
5.2.6★★解不等式组:
x22x350,
|x2|10.
解析由x2x350得x7或x5.
由|x2|10得8x12.
于是原不等式组的解就是
x7或x5,
8x12,
即
8x7或5x12.
5.2.7★★a取何值时,不等式
12x5||42x|a
无实数解?
解法1欲使不等式|2x5||42x|a无实数解,关键是求出12x5||42x|的最小值.
因|2x5|、|42x|的零点分别是5、2.
55
当x<
3时,|2x5||42x|(2x5)42x14x.当x?
时,|2x5||42x|有最小值
9;
当—x<
2时,|2x5||42x|2x542x9,最小值及最大值都是9;
当x2时,|2x5||42x|2x52x44x1,无最小值.
故|2x5||42x|的最小值为9.
欲使不等式|2x5||42x|a无实数解,则a<
9.
解法2由|a||b|》|ab|,得
|2x5||42xp|2x5
42x|9,
2x|a无实数解,只需
故欲使不等式|2x5||4
解析1利用不等式性质:
|x1||x3|>
|x1(x3)|4,
又|x1||x3|<
a,
可得a>
解析2根据绝对值的几何意义,因为|x1|、|x3|分别表示数轴上点x到点1和3的距离,所以
|x1||x3|表示数轴上某点到A:
1和B:
3的距离和.从图可见,不论x在A点左边或者B点右
边时,x到A、B点距离和至少为4;
当x在AB两点之间时,x到A、B点距离和为4.所以a>
评注解绝对值不等式常用分类讨论方法
(1)当x<
1时,原不等式化为a>
22x>
4;
(2)当1x3时,原不等式化为a>
(3)当x>
3时,原不等式化为a>
2x2>
综上所述,a>
本题中,两个绝对值符号中未知数的系数相同,所以我们利用了绝对值的几何意义
5.2.9★已知n0且|m|m一_n,求m的取值范围
mn
解析整理可得n
m(1|m|)
1|m|
因为n0,所以
m(1|m|)0
1|m|'
即m(1|m|)0.
(1)当m0时,1|m|0,解之得1m0.
(2)当m0时,1|m|0,解之得m1.
综上,m的取值范围为1m0或者m1.
5.2.10★解不等式x24|x|30.
解析1因为
x24|x|3(|x|1)(|x|3)0,
|x|1或|x|3,
即1x1或者x3或者x3.
解析2考虑函数f(x)x24|x|3.注意到对任意实数x,有f(x)f(x).从函数图象来看,这个函
数的图象关于y轴对称,即只需作出x0时的图象,再把函数图象关于y轴作对称即可
如图,可知,原不等式的解为使得图象在x轴上方的x的取值集合:
1x1或者x3或者x3.
评注当我们从函数图象的角度去解不等式时,有两点需要引起读者注意:
f(|x|)表示的函数图象是
f(x)在x轴正向部分图象及其与关于y轴翻折;
|f(x)|的图象是把f(x)在x轴下方的图象关于x轴翻
折后的图象•由这两点,利用数形结合的方法,是比较巧的
5.2.11★★解不等式|x4x1|3x.
解析
(1)当x24x1>
0,即x>
2,3或x<
2,3时,原不等式变形为
x4x13x.
解不等式组,得
73、5亠73.5x或x
(2)当x24x10,即23x23时,原不等式变形为
(x4x1)3x.
此时,不等式组无解•综上,原不等式的解为
73、5卡73.5
x或x.
(本题从几何解释为使
5.2.12★★已知|x|w1,|y|w1,且
k|xy||y1||2yx4|,
求k的最小值和最大值.
解析解题的关键是把绝对值符号去掉,必要时可以分类讨论因为|x|w1,|y$1,所以
1<
1,1<
y<
1.
所以y1>
0.
又2$2y$2,故3$2y3x$3,从而2yx40.
当xy0时,有k(xy)(y1)(2yx4)2y5.
因为1$y$1,所以3$2y5$7,此时3$k$7.
当xy>
0时,有k(xy)(y1)(2yx4)2x5.
同样,当1$x$1时,3$2x5$7,即3$k$7.
综上所述,3$k$7.
又当x1时,k7,当x1时,k3,所以,k的最值是3,最大值是7.
5.2.13★★实数a、b、c满足不等式|a|>
|bc|,|b|>
|ca|,|c|>
|ab|.求证:
abc0.
解析1若a、b、c中有一个为零时,设a0,则|bc|0,所以,bc0,故abc0.下面
0,于是由|bc|$a,得a$bc,所
(4)当a、b、c全为负数时,于是由条件得
bc$2(abc),所以abc>
0,矛
a$bc$a,b$ca$b,c$ab$c,所以a
盾.
综上所述,得abc0.
解析2把题设的3个不等式两边平方后相加,得
222222
abc>
2(abc)2ab2bc2ca,
故(abc)$0,
从而abc0.
5.2.14★★★★实数a、b、c满足a$b$c,abbcca0,abc1.求最大的实数k,使得不等式|ab|>
k|c|恒成立.
解析当ab迈,c——时,则实数a、b、c满足题设条件,此时k$4.
下面证明:
不等式|ab|>
4|c|对满足题设条件的实数a、b、c恒成立.由已知条件知,a、b、c都不等于0,且c0.因为
2xcc
的两个实数根,于是
故
c3<
1
|ab|(ab)2>
4c41c|.c
5.2.15★★★已知
(1)a0;
(2)当1<
1时,满足|ax2bcc|<
1;
(3)当1<
1时,axb有最大值2.
求常数a、b、c.
1)、(3)知
解析由
(1)知yax2bxc为开口向上的抛物线,由(
—0,b0.
由①得a2.
故a2,b0,c1.
5.2.16★★★证明
A||xy|xy2z||xy|xy2z4max{x,y,z},
其中max{x,y,z}表示x、y、z这三个数中的最大者.
解析欲证的等式中含有三个绝对值符号,且其中一个在另一个内,要把绝对值去掉似乎较为困难,
但等式的另一边对我们有所提示,如果x为x、y、z中的最大者,即证A4x,依次再考虑y、z是
它们中的最大值便可证得.
(1)当x>
y,x>
z时,
A|
yx
y2z|x
y2z
2x
4x
(2)
当
y>
z
y>
x时,
y
xx
y2z|y
2y
4y
(3)
z>
x
z>
y时,
因为
|x
y|
xy
2max{x,
y}<
2z,
A2z|xy|xy|xy|xy2z4z.从而A4max{x,y,z}.
5.3一元二次不等式
5.3.1★设a为参数,解关于x的一元二次不等式
x(a3)x3a0.
(x3)(xa)0.
(1)
右a
3,解为3xa;
若a
3,解为ax3;
无解.
3,原不等式变成(x3)2
5.3.2
★★设
a为参数,解关于x的一兀二次不等式
ax2
(a1)x10.
a0时,原不等式为x
0,解为
a0时,分解因式得
ax
-(xa
1)0.
①若
a0,
则
(xa
(i)
1.a
,即0a1时,解为1x
1a
(ii
)11a
,即a1时,解为一x
(iii
)1
1,即a1时,不等式无解
解析分解因式
0,
②若a
x—
(x
1)
解为x
5.3.3★★若一元二次不等式解析1
2ax
因一元二次不等式
bx
c
0的解是1x2,求不等式cx2bxa
0的解是1x2,所以,不等式
0的解.
ax2bxc0与
1)(x
2)
0等价.即
0)与x23x20等价.所以
3,
2,即
0,
3a,
2a,
0.
故不等式cx2bxa0,即2ax23axa0,且a0.1
化为2x23x10,解得x1,或x.
解析2因一兀二次不等式ax2bxc0的解是1
x2,所以ax2bxc0的根是1,2,且a0.
由韦达定理,得
2.
21故不等式cxbxa0的解是x1,或x-.
534★★★欲使不等式(m1)x2(3m)x20与不等式x23x20无公共解,求m的取值范围.
解析不等式x23x20的解是1x2.
不等式
(m1)x(3m)x20,
即[(m1)x2](x1)0.①
(1)当m1时,不等式为2x20,即x1,符合题意;
(2)当m10,即m1时,不等式①之解为—x1,符合题意;
1m
(3)当m10,即m1时,我们分两种情况讨论:
若_J1,即m1时,不等式①之解为x1,或x—,不合题意;
1m1m
若—J1,即1m1时,不等式①之解为x—,或x1,欲使不等式(m1)x2(3m)x20
1m1m
22
与不等式x3x20无公共解,则须>
2,从而0<
m1.
综上所述,欲使不等式(m1)x2(3m)x20与不等式x23x20无公共解,m的取值范围是
m>
0
5.3.5★★对一切实数x,不等式
ax(a6)x20
恒成立,求a的值.
解析由于不等式对一切x恒成立,故a应该满足
a0,
a624a20,
a220a360,
所以2a18.
5.3.6★★设有不等式
1222
(2tt)wx3x2w3t,
试求对于满足0wxw2的一切x成立的t的取值范围.
解析令yx23x2,0wxw2,则在0wxw2上y能取到的最小值为-,最大值为2,从而总
1(2tt2)w-,
84
2t2>
2,
t2t2>
0,
t21w0,
于是t的取值范围为1wtw1,3.
537★解不等式
2x1x3
x1x1
解析原不等式可化为
0•
①
因为x2
2x
27
0,所以①式等价于
(x1)(x
1或
5.3.8★★解不等式
.3x.x1
解析首先,由
3x>
x1>
得1wxw3•将原不等式变形为
2.^x2.C1.
由于上式两边均非负,故两边平方后,整理得
78x4x1,
所以78x0,即x-,并且
(78x)216(x1),
所以64x2128x330,
8耳亠831
88
539★求不等式x1(x1)23x7的整数解的个数
x1
(x1)3x
7等价于不等式组
1)2
1,
7,
5x
6
解x2
0得
x2或x1;
解x5x60得1x6
故原不等式组的解为1x1或2x6.x的整数解为x0,3,4,5共四个.
5.3.10★★实数a、b、c满足
(ac)(abc)0.
证明:
(bc)24a(abc).
解析要证(bc)4a(abc),即证
(bc)4a(abc)0,
联想到一元二次方程根的判别式,进而构造符合条件的二次函数,通过对函数图象与性质的研究使问题得以解决.
设辅助函数yax2(bc)x(abc),令为0,得函数值%abc;
令他1,得函数值
Y22(ac).
因为(ac)(abc)0,所以y1y20.
这说明,辅助函数yax(bc)x(abc)上两点(为小)、区以)分布在x轴的两侧,由此可见抛物线与x轴有两个交点,也就是说方程ax2(bc)x(abc)0有两个不相等的实数根.
因此(bc)24a(abc)0,故
(bc)4a(abc).
评注有些数学问题,可以借助函数,利用对函数图象与性质的研究
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