二次函数动轴动区间问题.docx
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二次函数动轴动区间问题
二次函数在闭区间上的最值
一、知识要点:
二次函数的区间最值问题,核心是函数对称轴与给定区间的相对位置关系的讨论。
一般分为:
对称轴在区间的左边,中间,右边三种情况.
设f(x)
ax2
bxc(a
0
f(x)
在
x
[m
n]
上的最大值与最小值。
),求
,
分析:
将f(x)配方,得顶点为
b,4ac
b2
、对称轴为x
b
2a
4a
2a
当a
0时,它的图象是开口向上的抛物线,数形结合可得在
[m,n]上f(x)的最值:
(1)当
b
m,n
时,f(x)的最小值是f
b
4ac
b2
,f(x)的最大值是
2a
2a
4a
f(m)、f(n)中的较大者。
(2)当
b
m,n时
2a
若
b
m,由f(x)在m,n
2a
若n
b,由f(x)在m,n
2a
上是增函数则f(x)的最小值是f(m)
上是减函数则f(x)的最大值是f(m)
,最大值是f(n)
,最小值是f(n)
当a0时,可类比得结论。
二、例题分析归类:
(一)、正向型
是指已知二次函数和定义域区间,求其最值。
对称轴与定义域区间的相互位置关系的讨论往
往成为解决这类问题的关键。
此类问题包括以下四种情形:
(1)轴定,区间定;
(2)轴定,
区间变;(3)轴变,区间定;(4)轴变,区间变。
1.轴定区间定
二次函数是给定的,给出的定义域区间也是固定的,我们称这种情况是“定二次函数在定区间上的最值”。
例1.函数y
x2
4x2在区间[0,3]上的最大值是_________,最小值是_______。
。
图1
练习.已知2x23x,求函数f(x)x2x1的最值。
1/5
图2
2、轴定区间变
二次函数是确定的,但它的定义域区间是随参数而变化的,我们称这种情况是“定函数在
动区间上的最值”。
例2.如果函数f(x)(x1)21定义在区间t,t1上,求f(x)的最小值。
图1
图2
图8
例3.已知f(x)
x2
2x3,当x
[t,t1](t
R)时,求
f(x)的最大值.
。
二次函数的区间最值结合函数图象总结如下:
,b
如图
)
f(n)
n(
f(m),b
1(mn)(如图1)
2a
3
b
b
当a
0
2a
2
f(x)min
),m
n(如图4
)
时f(x)max
f(
,b
1
n)(
如图
)
2a
2a
f(n)
(m
2a
2
2
b
f(m),
m(如图5)
2a
2/5
,b
n(如图6)
f(n)
b
1
2a
,
如图
f(m)
(mn)(
)
b),m
b
2a
2
9
当a
0时f(x)max
f(
n(如图7)f(x)min
b
1
2a
2a
f(n),
,b
(mn)(如图10)
m(
如图
2a
2
f(m)
8)
2a
3、轴变区间定
二次函数随着参数的变化而变化,即其图象是运动的,但定义域区间是固定的,我们称这
种情况是“动二次函数在定区间上的最值”。
例4.已知x2
1,且a2
0,求函数f(x)
x2
ax3的最值。
解。
图3
例5.
(1)
求f(x)
x2
2ax1在区间[-1,2]上的最大值。
(2)
求函数y
x(xa)在x
[1,1]上的最大值。
4.轴变区间变
二次函数是含参数的函数,而定义域区间也是变化的,我们称这种情况是“动二次函数在
动区间上的最值”。
例6.已知y24a(xa)(a0),,求u(x3)2y2的最小值。
3/5
二)、逆向型
是指已知二次函数在某区间上的最值,求函数或区间中参数的取值。
例7.已知函数f(x)ax22ax1在区间[3,2]上的最大值为4,求实数a的值。
例8.已知函数f(x)
x2
3m最大值是
3n,求m,n的值。
x在区间[m,n]上的最小值是
2
例9.已知二次函数f(x)ax2(2a1)x1在区间3,2上的最大值为3,求实
2
数a的值。
三、巩固训练
1
y
x
2
x
1
在
[
1,1]
上的最小值和最大值分别是
(
)
.函数
(A)1,3
(B)3
3
(C)
1
3
(D)
1,3
4
2
4
2.函数y
x2
4x
2
在区间
[1,4]
上的最小值是
(
)
(A)
7
(B)
4
(C)
2
(D)2
3.函数y
8
的最值为
(
)
x2
4x
5
(A)最大值为
8,最小值为0
(B)不存在最小值,最大值为8
(C)最小值为
0,不存在最大值
(D)不存在最小值,也不存在最大值
4.若函数y
2
x2
4x,x
[0,4]
的取值范围是______________________
5.已知函数f(x)
ax2
(2a
1)x
3(a≠0)在区间[
3,2]上的最大值是
1,则实数a的
2
值为
6.如果实数x,y满足x2
y2
1,那么(1
xy)(1
xy)有
(
)
(A)最大值为
1,最小值为
1
(B)无最大值,最小值为
3
2
4
(C))最大值为
1,无最小值
(D)最大值为
1,最小值为
3
4
7.已知函数y
x2
2x
3在闭区间[0,m]上有最大值
3,最小值2,则m的取值范围是
4/5
()
(A)[1,
)
(B)
[0,2]
(C)
[1,2]
(D)(
2]
8.若x
0,y
0,x
2y
1
,那么
2x
3y2的最小值为__________________
9.设m
R,x1,x2是方程x2
2mx
1
m2
0的两个实根,则
x12
x22的最小值______
10.设f(x)
x2
4x4,x
[t,t
1](t
R),求函数f(x)的最小值
g(t)的解析式。
11.已知f(x)x2axa,在区间[0,1]上的最大值为g(a),求g(a)的最小值。
2
12.(2009江苏卷)设a为实数,函数f(x)2x2(xa)|xa|.
(1)若f(0)1,求a的取值范围;
(2)求f(x)的最小值;
(3)设函数h(x)f(x),x(a,
),直接写出(不需给出演算步骤
)不等式h(x)
1的解集.
....
5/5
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