241圆的有关性质 第5课时Word格式.docx

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（3）直径：

经过圆心的弦叫做直径．

（4）圆弧、弧、半圆：

圆上任意两点间的部分叫做圆弧，简称弧．以A，B为端点的弧记作

，读作“圆弧AB”或“弧AB”．圆的任意一条直径的两个端点把圆分成两条弧，每一条弧都叫做半圆．

（5）等圆：

能够重合的两个圆叫做等圆．

（6）等弧：

在同圆或等圆中，能够互相重合的弧叫做等弧．

（7）优弧、劣弧：

大于半圆的弧叫做优弧；

小于半圆的弧叫做劣弧．

2．小组交流、师生对话．

问题1：

一个圆有多少条弦？

最长的弦是什么？

问题2：

弧分为哪几种？

怎样表示？

问题3：

在等圆、等弧中，“互相重合”是什么含义？

通过问题，使学生与学生，学生与老师进行交流、学习，加深对概念的理解，排除疑难．

3．概念辨析.

判断题目：

（1）直径是弦（）

（2）弦是直径（）

（3）半圆是弧（）

（4）弧是半圆（）

（5）长度相等的两段弧是等弧（）

（6）等弧的长度相等（）

（7）半径相等的两个半圆是等弧（）

主要理解以下概念：

弦与直径；

弧与半圆、同心圆；

等圆指两个图形；

等圆、等弧是互相重合得到及等弧的条件作用．

4．实例探究．

例矩形ABCD的对角线AC，BD相交于点O．求证：

A，B，C，D四个点在以点O为圆心的同一个圆上．

证明：

∵四边形ABCD为矩形，

∴OA＝OC＝

AC，OB＝OD＝

BD，AC＝BD．

∴OA＝OC＝OB＝OD．

∴A，B，C，D四个点在以点O为圆心，OA为半径的圆上．

三、巩固练习

教材第81页练习．

四、课堂小结

本节应掌握以下内容：

1．圆、弦、圆弧、等圆、等孤的概念．

2．弧的表示方法．

五、布置作业

习题24.1第1题．

第2课时

24.1.2垂直于弦的直径．

1．理解圆的轴对称性及垂径定理的推证过程；

能初步应用垂径定理进行计算和证明．

2．进一步培养学生观察问题、分析问题和解决问题的能力．

3．通过圆的对称性，培养学生对数学的审美观，并激发学生对数学的热爱．

垂径定理及其应用．

垂径定理的证明．

1．实验：

让学生用自己的方法探究圆的对称性，教师引导学生努力发现圆具有轴对称、中心对称、旋转不变性等特征．

2．探究：

剪一个圆形纸片，沿着它的任意一条直径对折，重复做几次，你发现了什么？

由此你能得到什么结论？

你能证明你的结论吗？

1．垂径定理及证明．

请同学们回答下面两个问题：

（1）圆是轴对称图形吗？

如果是，它的对称轴是什么？

你能找到多少条对称轴？

（2）你是用什么方法解决上述问题的？

与同伴进行交流．

分析：

（1）圆是轴对称图形，它的对称轴是直径，我能找到无数多条直径．

（2）我是利用沿着圆的任意一条直径折叠的方法解决圆的对称轴问题的．

因此，我们可以得到：

圆是轴对称图形，其对称轴是任意一条过圆心的直线．

如右图，AA′是⊙O的一条弦，作直径CD，使CD⊥AA′，垂足为M．

（1）右图是轴对称图形吗？

如果是，其对称轴是什么？

（2）你能发现图中有哪些等量关系？

说一说你理由．

点评：

（1）是轴对称图形，其对称轴是CD．

（2）AM＝A′M，

＝

，

．即直径CD平分弦AA′，并且平分

．

这样，我们就得到下面的定理：

垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧．

下面我们用逻辑思维来证明它．

已知：

直径CD、弦AA′且CD⊥AA′垂足为M．

求证：

AM＝A′M，

要证AM＝A′M，，只要证AM、A′M构成的两个三角形全等．因此，只要连结OA、OA′或AD、A′D或AC、A′C即可．

如图，连结OA、OA′，则OA＝OA′，

在Rt△OAM和Rt△OA′M中，OA＝OA′，OM＝OM，

∴Rt△OAM≌Rt△OA′M．

∴AM＝A′M．

∴点A和点A′关于CD对称．

∵⊙O关于直径CD对称，

∴当圆沿着直线CD对折时，点A与点A′重合，

与

重合，

重合．

∴

．.

进一步，我们还可以得到推论：

平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧．

2．实例探究．

例赵州桥（下左图）是我国隋代建造的石拱桥，距今约有1400年的历史，是我国古代人民勤劳与智慧的结晶．它的主桥拱是圆弧形，它的跨度（弧所对的弦的长）为37m，拱高（弧的中点到弦的距离）为7.23m，求赵州桥主桥拱的半径（结果保留小数点后一位）．

解决此问题的关键是根据赵州桥的实物图画出几何图形．

解：

如上右图，用

表示主桥拱，设

所在圆的圆心为O，半径为R．

经过圆心O作弦AB的垂线OC，D为垂足，OC与

相交于点C，连接OA，根据垂径定理，D是AB的中点，C是

的中点，CD就是拱高．

由题设可知

AB＝37m，CD＝7.23m，

所以

AD＝

AB＝

×

37＝18.5（m），

OD＝OC－CD＝R－7.23．

在Rt△OAD中，由勾股定理，得

OA2＝AD2＋OD2，

即

R2＝18.52＋（R－7.23）2．

解得

R≈27.3m．

因此，赵州桥的主桥拱半径约为27.3m．

教材第83页练习．

今天学习了什么，还有哪些问题？

习题24.1第2、3题．

第3课时

24.1.3弧、弦、圆心角．

1．了解圆的旋转对称性，掌握圆心角的概念．

2．掌握弧、弦、圆心角之间的关系，并能运用这些关系解决有关证明和计算的问题．

弧、弦、圆心角之间的关系．

探索定理和推导及其应用．

学生活动：

请同学们完成下题．

已知△OAB，如图所示，作出绕O点旋转30°

、45°

、60°

的图形．

绕O点旋转，O点就是固定点，旋转30°

，就是旋转角∠BOB′＝30°

探究：

剪一个圆形纸片，把它绕圆心旋转180°

，所得的图形与原图形重合吗？

把圆绕圆心旋转任意一个角度呢？

实际上，圆是中心对称图形，圆心就是它的对称中心．不仅如此，把圆绕圆心旋转任意一个角度，所得的图形都与原图形重合．利用这个性质，我们还可以得到圆的其他性质．

我们把顶点在圆心的角叫做圆心角．现在利用上面的性质来研究在同一个圆中，圆心角及其所对的弧、弦之间的关系．

思考：

如下图，⊙O中，当圆心角∠AOB＝∠A′OB′时，它们所对的弧

和

、弦AB和A′B′相等吗？

为什么？

我们把∠AOB连同

绕圆心O旋转，使射线OA与OA′重合．

∵∠AOB＝∠A′OB′，

∴射线OB与OB′重合．

又OA＝OA′、OB＝OB′，

∴点A与A′重合，点B与B′重合．

因此，

重合，AB与A′B′重合．即

，AB＝A′B′．

在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等．

同样，还可以得到：

在同圆或等圆中，如果两条弧相等，那么它们所对的圆心角相等，所对的弦相等；

在同圆或等圆中，如果两条弦相等，那么它们所对的圆心角相等，所对的弧相等．

三、实例探究

例如图，在⊙O中，

，∠ACB＝60°

∠AOB＝∠BOC＝∠AOC．

∵

∴AB＝AC，△ABC是等腰三角形．

又∠ACB＝60°

∴△ABC是等边三角形，AB＝BC＝CA．

∴∠AOB＝∠BOC＝∠AOC．

四、巩固练习

教材第85页练习1、2．

五、归纳总结

本节课应掌握：

1．圆心角概念．

2．在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都部分相等，及其它们的应用．

六、布置作业

习题24.1第4题．

第4课时

24.1.4圆周角

（1）．

1．了解圆周角的概念．

2．理解圆周角的定理：

在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．

3．理解圆周角定理的推论：

半圆（或直径）所对的圆周角是直角，90°

的圆周角所对的弦是直径．

4．熟练掌握圆周角的定理及其推理的灵活运用．

圆周角的定理、圆周角的定理的推导及运用它们解题．

运用数学分类思想证明圆周角的定理．

请同学们口答下面两个问题．

1．什么叫圆心角？

2．圆心角、弦、弧之间有什么内在联系呢？

1．我们把顶点在圆心的角叫圆心角．

2．在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么它们所对的其余各组量都分别相等．

刚才讲的，顶点在圆心上的角，有一组等量的关系，如果顶点不在圆心上，它在其它的位置上？

如在圆周上，是否还存在一些等量关系呢？

这就是我们今天要探讨，要研究，要解决的问题．

1．圆周角．

在圆中，除圆心角外，还有一类角（如图中的∠ACB），它的顶点在圆上．并且两边都与圆相交，我们把这样的角叫做圆周角．

如图，连接AO，BO，得到圆心角∠AOB．可以发现，∠ACB与∠AOB对着同一条弧

，它们之间存在什么关系呢？

下面我们就来研究这个问题．

2．探究

（1）分别测量图中

所对的圆周角∠ACB和圆心角∠AOB的度数，它们之间有什么关系？

（2）在⊙O上任取一条弧，作出这条弧所对的圆周角和圆心角，测量它们的度数，你能得出同样的结论吗？

由此你能发现什么规律？

教师引导学生思考、讨论、探究，最后发现，同弧所对的圆周角的度数等于这条弧所对的圆心角的度数的一半．

得出结论后，教师可让学生尝试证明这个结论．

如下图，在⊙O任取一个圆周角∠BAC，沿AO所在直线将圆对折，由于点A的位置不同，折痕会：

（1）在圆周角的一条边上；

（2）在圆周角的内部；

（3）在圆周角的外部．

我们来分析第

（1）种情况，如图

（1），圆心O在∠BAC的一条边上．

对于第

（2）（3）种情况，可以通过添加辅助线，如图

（2）（3），将它们转化为第

（1）种情况，从而得到相同的结论（请你自己证明）．

这样，我们就得到圆周角定理：

一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半．

进一步，我们还可以得到下面的推论：

同弧或等弧所对的圆周角相等．半圆（或直径）所对的圆周角是直角，90°

教材第88页练习第1、3题．

四、课堂小结

1．圆周角的概念．

2．圆周角的定理：

在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都相等这条弧所对的圆心角的一半．

3．半圆（或直径）所对的圆周角是直角，90°

的圆周角所对的弦是直径．

习题24.1第7、8题．

第5课时

24.1.4圆周角

（2）．

1．了解圆内接多边形和多边形的外接圆．

2．通过实例，深化对圆周角的认识，熟练掌握圆周角定理及其推导解决一些具体问题．

1．什么叫圆周角？

2．你能说说圆周角定理吗？

复习上节内容，导入新课的教学

1．实例探究

例如下左图，⊙O的直径AB为10cm，弦AC为6cm，∠ACB的平分线交⊙O于点D，求BC，AD，BD的长．

如上右图，连接OD．

∵AB是直径，

∴∠ACB＝∠ADB＝90°

在Rt△ABC中，BC＝

＝8（cm）．

∵CD平分∠ACB，

∴∠ACD＝∠BCD．

∴∠AOD＝∠BOD．

∴AD＝BD．

又在Rt△ABD中，AD2＝BD2＝AB2，

∴AD＝BD＝

10＝5

（cm）．

2．内接多边形和外接圆．

如果一个多边形的所有顶点都在同一个圆上，这个多边形叫做圆内接多边形，这个圆叫做这个多边形的外接圆．如下图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，⊙O是四边形ABCD的外接圆．

圆内接四边形的四个角之间有什么关系？

因为圆内接四边形的每一个角都是圆周角，所以我们可以利用圆周角定理，来研究圆内接四边形的角之间的关系．

如右图，连接OB，OD．

∵∠A所对的弧为

，∠C所对的弧为

又

所对的圆心角的和是周角．

∴∠A＋∠C＝

＝180°

同理∠B＋∠D＝180°

这样，利用圆周角定理，我们得到圆内接四边形的一个性质：

教材第88页练习第2、4、5题．

1．圆周角的概念和定理．

2．圆内接多边形和多边形的外接圆．

3．应用圆周角的定理及其推导解决一些具体问题．

习题24.1第9、12、13题．

教案B

1．使学生理解圆、弦、圆弧、等圆、等弧的概念；

圆是常见的图形，生活中的许多物体都给我们以圆的形象，你能举出一些例子吗？

从生活中的情景着手，导入新课的教学．

1．圆及其相关概念．

（1）圆的画法．

如下图，观察画圆的过程，你能说出圆是如何画出来的吗?

重温圆的画法，深化对圆的理解和认识．

（2）圆及其相关概念．

如下图，在一个平面内，线段OA绕它固定的一个端点O旋转一周，另一个端点A所形成的图形叫做圆．其固定的端点O叫做圆心，线段OA叫做半径．以点O为圆心的圆，记作⊙O，读作“圆O”．

从上图画圆的过程可以看出：

（1）圆上各点到定点（圆心O）的距离都等于定长（半径r）；

（2）到定点的距离等于定长的点都在同一个圆上．

因此，圆心为O、半径为r的圆可以看成是所有到定点O的距离等于定长r的点的集合．

3．弦、弧及其相关概念．

连接圆上任意两点的线段叫做弦，经过圆心的弦叫做直径．如下图中，AB，AC是弦，AB是直径．

能够重合的两个圆叫做等圆．容易看出：

半径相等的两个圆是等圆；

反过来，同圆或等圆的半径相等．在同圆或等圆中，能够互相重合的弧叫做等弧．

∴A，B，C，D四个点在以点O为圆心，OA为半径的圆上（下图）．

1．圆的轴对称性质．

通过探究可以发现，圆是轴对称图形，任何一条直径所在的直线都是圆的对称轴．下面我们来证明这个结论．

要证明圆是轴对称图形，只需证明圆上任意一点关于直径所在直线（对称轴）的对称点也在圆上．如右图，设CD是⊙O的任意一条直经，A为⊙O上点C，D以外的任意一点．过点A作AA′⊥CD，交⊙O于点A′，垂足为M，连接OA，OA′．

在△OAA′中，

∵OA＝OA′，

∴△OAA′是等腰三角形．

又AA′⊥CD，

∴AM＝MA′．

即CD是AA′的垂直平分线．这就是说，对于圆上任意一点A，在圆上都有关于直线CD的对称点A′，因此关于直线CD对称，即

圆是轴对称图形，任何一条直径所在直线都是圆的对称轴．

2．垂径定理．

从上面的证明我们知道，如果⊙O的直径CD垂直于弦AA'

，垂足为M，那么点A和点A′是对称点．把圆沿着直径CD折叠时，点A与点A′重合，AM与A′M重合，

分别与

因此，AM＝A′M，

即直径CD平分弦AA′，并且平分

这样，我们就得到垂径定理：

3．实例探究．

例1赵州桥（下左图）是我国隋代建造的石拱桥，距今约有1400年的历史，是我国古代人民勤劳与智慧的结晶．它的主桥拱是圆弧形，它的跨度（弧所对的弦的长）为37m，拱高（弧的中点到弦的距离）为7.23m，求赵州桥主桥拱的半径（结果保留小数点后一位）．

解题过程见教材第82、83页，

例2如图，已知在⊙O中，弦AB的长为8cm，圆心O到AB的距离为3cm，求⊙O的半径．

要求⊙O的半径，连结OA，只要求出OA的长就可以了，因为已知条件点O到AB的距离为3cm，所以作OE⊥AB于E，而AE＝EB＝

AB=4cm．此时解Rt△AOE即可．

连结OA，作OE⊥AB于E．则AE＝EB．

∵AB＝8cm，

∴AE＝4cm．

又∵OE＝3cm，

在Rt△AOE中，

∴⊙O的半径为5cm．

说明：

学生独立完成，老师指导解题步骤；

应用垂径定理计算．

习题24.1第2、3题．

1．圆心角的认识．

教师引导学生思考、分析、讨论，让学生知道：

圆是中心对称图形，圆心就是它的对称中心．不仅如此，把圆绕圆心旋转任意一个角度，所得的图形都与原图形重合．利用这个性质，我们还可以得到圆的其他性质．

2．定理的推导和证明．

例如下图，MN是⊙O的直径，弦AB、CD相交于MN上的一点P，∠APM＝∠CPM．

（1）由以上条件，你认为AB和CD大小关系是什么，请说明理由．

（2）若交点P在⊙O的外部（右图），上述结论是否成立？

若成立，加以证明；

若不成立，请说明理由．

分析：

（1）要说明AB＝CD，只要证明AB、CD所对的圆心角相等，只要说明它们的一半相等．

上述结论仍然成立，它的证明思路与上面的题目是一模一样的．

解：

（1）AB＝CD．

理由：

过O作OE、OF分别垂直于AB、CD，垂足分别为E、F．

∵∠APM＝∠CPM，

∴∠1＝∠2，OE＝OF．

连结OD、OB，则OB＝OD，

∴Rt△OFD≌Rt△OEB．

∴DF＝BE．

根据垂径定理可得：

AB＝CD．

（2）作OE⊥AB，OF⊥CD，垂足为E、F．

∵∠APM＝∠CPN且OP＝OP，∠PEO＝∠PFO＝90°

∴Rt△OPE≌Rt△OPF．

∴OE＝OF．

连接OA、OB、OC、OD，易证Rt△OBE≌Rt△ODF，Rt△OAE≌Rt△OCF．

∴AB＝CD．

四、归纳总结

1．圆心角概念．

2．在同圆或