高中数学 第三章《 导数应用》教案 北师大版选修22.docx
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高中数学 第三章《 导数应用》教案 北师大版选修22.docx
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高中数学第三章《导数应用》教案北师大版选修22
2019-2020年高中数学第三章《导数应用》教案北师大版选修2-2
一、教学目标:
1、知识与技能:
⑴理解函数单调性的概念;⑵会判断函数的单调性,会求函数的单调区间。
2、过程与方法:
⑴通过具体实例的分析,经历对函数平均变化率和瞬时变化率的探索过程;⑵通过分析具体实例,经历由平均变化率及渡到瞬时变化率的过程。
3、情感、态度与价值观:
让学生感悟由具体到抽象,由特殊到一般的思想方法。
二、教学重点:
函数单调性的判定教学难点:
函数单调区间的求法
三、教学方法:
探究归纳,讲练结合
四、教学过程
(一).创设情景
函数是客观描述世界变化规律的重要数学模型,研究函数时,了解函数的赠与减、增减的快与慢以及函数的最大值或最小值等性质是非常重要的.通过研究函数的这些性质,我们可以对数量的变化规律有一个基本的了解.下面,我们运用导数研究函数的性质,从中体会导数在研究函数中的作用.
(二).新课探究
1.问题:
图3.3-1
(1),它表示跳水运动
中高度随时间变化的函数的图像,图3.3-1
(2)表示高台跳水运动员的速度随时间
变化的函数的图
像.
运动员从起跳到最高点,以及从最高点到入
水这两段时间的运动状态有什么区别?
通过观察图像,我们可以发现:
(1)运动员从起点到最高点,离水面的高度随时间的增加而增加,即是增函数.相应地,.
(2)从最高点到入水,运动员离水面的高度随时间的增加而减少,即是减函数.相应地,.
2.函数的单调性与导数的关系
观察下面函数的图像,探讨函数的单调性与其导数正负的关系.
如图3.3-3,导数表示函数在点处的切线的斜率.
在处,,切线是“左下右上”式的,这时,函数在附近单调递增;
在处,,切线是“左上右下”式的,这时,函数在附近单调递减.
结论:
函数的单调性与导数的关系
在某个区间内,如果,那么函数在这个区间内单调递增;如果,那么函数在这个区间内单调递减.
说明:
(1)特别的,如果,那么函数在这个区间内是常函数.
3.求解函数单调区间的步骤:
(1)确定函数的定义域;
(2)求导数;(3)解不等式,解集在定义域内的部分为增区间;(4)解不等式,解集在定义域内的部分为减区间.
(三).典例探析
例1、已知导函数的下列信息:
当时,;
当,或时,;
当,或时,
试画出函数图像的大致形状.
解:
当时,,可知在此区间内单调递增;
当,或时,;可知在此区间内单调递减;
当,或时,,这两点比较特殊,我们把它称为“临界点”.
综上,函数图像的大致形状如图3.3-4所示.
例2、判断下列函数的单调性,并求出单调区间.
(1);
(2)
(3);(4)
解:
(1)因为,所以,
因此,在R上单调递增,如图3.3-5
(1)所示.
(2)因为,所以,
当,即时,函数单调递增;
当,即时,函数单调递减;
函数的图像如图3.3-5
(2)所示.
(3)因为,所以,
因此,函数在单调递减,如图3.3-5(3)所示.
(4)因为,所以.
当,即时,函数;
当,即时,函数;
函数的图像如图3.3-5(4)所示.
注:
(3)、(4)生练
例3.如图3.3-6,水以常速(即单位时间内注入水的体积相同)注入下面四种底面积相同的容器中,请分别找出与各容器对应的水的高度与时间的函数关系图像.
分析:
以容器
(2)为例,由于容器上细下粗,所以水以常速注入时,开始阶段高度增加得慢,以后高度增加得越来越快.反映在图像上,(A)符合上述变化情况.同理可知其它三种容器的情况.
解:
思考:
例3表明,通过函数图像,不仅可以看出函数的增减,还可以看出其变化的快慢.结合图像,你能从导数的角度解释变化快慢的情况吗?
一般的,如果一个函数在某一范围内导数的绝对值较大,那么函数在这个范围内变化的快,这时,函数的图像就比较“陡峭”;反之,函数的图像就“平缓”一些.如图3.3-7所示,函数在或内的图像“陡峭”,在或内的图像“平缓”.
例4、求证:
函数在区间内是减函数.
证明:
因为
当即时,,所以函数在区间内是减函数.
说明:
证明可导函数在内的单调性步骤:
(1)求导函数;
(2)判断在内的符号;(3)做出结论:
为增函数,为减函数.
(四).课堂练习:
课本P59页练习1
(1);2
(五).回顾总结:
(1)函数的单调性与导数的关系;
(2)求解函数单调区间;(3)证明可导函数在内的单调性
(六).布置作业:
课本P62页习题3-1A组1、2
五、教后反思:
第二课时导数与函数的单调性
(二)
一、教学目标:
1、知识与技能:
⑴理解函数单调性的概念;⑵会判断函数的单调性,会求函数的单调区间。
2、过程与方法:
⑴通过具体实例的分析,经历对函数平均变化率和瞬时变化率的探索过程;⑵通过分析具体实例,经历由平均变化率及渡到瞬时变化率的过程。
3、情感、态度与价值观:
让学生感悟由具体到抽象,由特殊到一般的思想方法。
二、教学重点:
函数单调性的判定教学难点:
函数单调区间的求法
三、教学方法:
探究归纳,讲练结合
四、教学过程
(一)、问题情境
1.情境:
作为函数变化率的导数刻画了函数变化的趋势(上升或下降的陡峭程度),而函数的单调性也是对函数变化的一种刻画.2.问题:
那么导数与函数的单调性有什么联系呢?
(二)、学生活动:
结合一个单调函数的图象,思考在函数单调递增的部分其切线的斜率的符号.
(三)、建构数学
如果函数在区间上是增函数,那么对任意,,当时,,即与同号,从而,即.
这表明,导数大于与函数单调递增密切相关.
一般地,我们有下面的结论:
设函数,如果在某区间上,那么为该区间上的增函数;如果在某区间上,那么为该区间上的减函数;如果在某区间上,那么为该区间上的常数函数.
上述结论可以用下图来直观理解.
思考:
试结合:
如果在某区间上单调递增,那么在该区间上必有吗?
说明:
若为某区间上的增(减)函数,则在该区间上()不一定成立.即如果在某区间上()是在该区间上是增(减)函数的充分不必要条件.
(四)、知识运用
1、例题探析:
例1、确定函数在哪个区间内是增函数,哪个区间内是减函数.
解:
.令,解得.因此,在区间内,是增函数.
同理可得,在区间内,是减函数(如左图).
例2、确定函数在哪些区间内是增函数.
解:
.令,解得或.
因此,在区间内,是增函数;在区间内,也是增函数.
例3、确定函数,的单调减区间.
解:
.令,即,又,所以.
故区间是函数,的单调减区间.注意:
所求的单调区间必须在函数的定义域内.
例4、已知曲线,
(1)用导数证明此函数在上单调递增;
(2)求曲线的切线的斜率的取值范围.
(1)证明:
恒成立.所以此函数在上递增.
(2)解:
由(1)可知,所以的斜率的范围是.
2、巩固练习:
练习册1,2,3.
(五).回顾小结:
函数单调性与导数的关系:
函数,如果在某区间上,那么为该区间上的增函数;如果在某区间上,那么为该区间上的减函数;如果在某区间上,那么为该区间上的常数函数。
用导数求函数单调区间的步骤:
①求函数f(x)的导数f′(x)。
②令f′(x)0解不等式,得x的范围就是递增区间。
③令f′(x)0解不等式,得x的范围,就是递减区间。
(六)、作业布置:
1、已知函数的图象过点P(0,2),且在点M处的切线方程为.(Ⅰ)求函数的解析式;(Ⅱ)求函数的单调区间。
解:
(Ⅰ)由的图象经过P(0,2),知d=2,所以
由在处的切线方程是,知
故所求的解析式是
(Ⅱ)
解得当
当故内是增函数,
在内是减函数,在内是增函数.
2、已知向量在区间(-1,1)上是增函数,求t的取值范围。
解:
依定义
的图象是开口向下的抛物线,
五、教后反思:
第三课时导数与函数的单调性(三)
一、教学目标:
1.正确理解利用导数判断函数的单调性的原理;2.掌握利用导数判断函数单调性的方法
二、教学重难点:
利用导数判断函数单调性.
三、教学方法:
探究归纳,讲练结合
四、教学过程
(一)、复习:
1.函数的单调性.对于任意的两个数x1,x2∈I,且当x1<x2时,都有f(x1)<f(x2),那么函数f(x)就是区间I上的增函数.对于任意的两个数x1,x2∈I,且当x1<x2时,都有f(x1)>f(x2),那么函数f(x)就是区间I上的减函数.2.导数的概念及其四则运算3、定义:
一般地,设函数y=f(x)在某个区间内有导数,如果在这个区间内0,那么函数y=f(x)在为这个区间内的增函数;如果在这个区间内0,那么函数y=f(x)在为这个区间内的减函数4、用导数求函数单调区间的步骤:
①求函数f(x)的导数f′(x).②令f′(x)0解不等式,得x的范围就是递增区间.③令f′(x)0解不等式,得x的范围,就是递减区间.
(二)、探究新课
例1、确定函数f(x)=x2-2x+4在哪个区间内是增函数,哪个区间内是减函数.
解:
f′(x)=(x2-2x+4)′=2x-2.令2x-2>0,解得x>1.
∴当x∈(1,+∞)时,f′(x)>0,f(x)是增函数.令2x-2<0,解得x<1.
∴当x∈(-∞,1)时,f′(x)<0,f(x)是减函数.
例2、确定函数f(x)=2x3-6x2+7在哪个区间内是增函数,哪个区间内是减函数.
解:
f′(x)=(2x3-6x2+7)′=6x2-12x,令6x2-12x>0,解得x>2或x<0
∴当x∈(-∞,0)时,f′(x)>0,f(x)是增函数.当x∈(2,+∞)时,f′(x)>0,f(x)是增函数.
令6x2-12x<0,解得0<x<2.∴当x∈(0,2)时,f′(x)<0,f(x)是减函数.
例3、证明函数f(x)=在(0,+∞)上是减函数.
证法一:
(用以前学的方法证)任取两个数x1,x2∈(0,+∞)设x1<x2.
f(x1)-f(x2)=∵x1>0,x2>0,∴x1x2>0
∵x1<x2,∴x2-x1>0,∴>0∴f(x1)-f(x2)>0,即f(x1)>f(x2)
∴f(x)=在(0,+∞)上是减函数.
证法二:
(用导数方法证)
∵f′(x)=()′=(-1)·x-2=-,x>0,∴x2>0,∴-<0.∴f′(x)<0,
∴f(x)=在(0,+∞)上是减函数.
例4、求函数y=x2(1-x)3的单调区间.
解:
y′=[x2(1-x)3]′=2x(1-x)3+x2·3(1-x)2·(-1)
=x(1-x)2[2(1-x)-3x]=x(1-x)2·(2-5x)
令x(1-x)2(2-5x)>0,解得0<x<.∴y=x2(1-x)3的单调增区间是(0,)
令x(1-x)2(2-5x)<0,解得x<0或x>且x≠1.∵为拐点,
∴y=x2(1-x)3的单调减区间是(-∞,0),(,+∞)
例5、已知函数在区间上是增函数,求实数的取值范围.
解:
,因为在区间上是增函数,所以对恒成立,即对恒成立,解之得:
;所以实数的取值范围为.
说明:
已知函数的单调性求参数的取值范围是一种常见的题型,常利用导数与函数单调性关系:
即“若函数单调递增,则;若函数单调递减,则”来求解,注意此时公式中的等号不能省略,否则漏解.
(三)、小结:
本节课学习了利用导数判断函数单调性.
(四)、课堂练习:
第62页练习4
(五)、课后作业:
1、求证:
函数在区间内是减函数.
证明:
因为
当即时,,所以函数在区间内是减函数.
2、已知函数在区间上是增函数,求实数的取值范围.
解:
,因为在区间上是增函数,所以对恒成立,即对恒成立,解之得:
所以实数的取值范围为。
五、教后反思:
第四课时函数的极值
一、教学目标:
1、知识与技能:
⑴理解函数极值的概念;
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- 导数应用 高中数学 第三章 导数应用教案 北师大版选修22 第三 导数 应用 教案 北师大 选修 22
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