江苏省常州市武进区九年级数学上册 12 一元二次方程的解法专项练习三 苏科版Word文档格式.docx
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(3)3x2+5(2x+1)=0(公式法)(4)x2﹣2x﹣8=0.
8.请写出一个你喜欢的,仅含有二次项、一次项得一元二次方程,并求出它的解.
9.解下列一元二次方程.
(1)x2+6x+5=0;
(2)x2+x﹣1=0.(用配方法解)
10.一元二次方程有一个根为2,写出这样的一个一元二次方程
11.解一元二次方程:
2x2+4x+1=0.
12.解下列一元二次方程.
13.解一元二次方程:
(x-2)2=x-2.14.解一元二次方程:
x2﹣4x﹣1=0.
15.解一元二次方程:
3x2+2x﹣5=0.
16.阅读新知:
移项且合并同类项之后,只含有偶次项的四次方程称作双二次方程.其一般形式为ax4+bx2+c=0(a≠0),一般通过换元法解之,具体解法是设x2=y,则原四次方程化为一元二次方程:
ay2+by+c=0,解出y之后代入x2=y,从而求出x的值.例如解:
4x4﹣8y2+3=0
设x2=y,则原方程可化为:
4y2﹣8y+3=0
∵a=4,b=﹣8,c=3
∴b2﹣4ac=﹣(﹣8)2﹣4×
4×
3=16>0
∴y=
=
∴y1=
,
∴y2=
∴当y1=
时,x2=
∴x1=
,x2=﹣
;
当y1=
∴x3=
,x4=﹣
小试牛刀:
请你解双二次方程:
x4﹣2x2﹣8=0
归纳提高:
思考以上解题方法,试判断双二次方程的根的情况,下列说法正确的是(选出所有的正确答案)
①当b2﹣4ac≥0时,原方程一定有实数根;
②当b2﹣4ac<0时,原方程一定没有实数根;
③当b2﹣4ac≥0,并且换元之后的一元二次方程有两个正实数根时,原方程有4个实数根,换元之后的一元二次方程有一个正实数根一个负实数根时,原方程有2个实数根;
④原方程无实数根时,一定有b2﹣4ac<0.
17.用适当的方法解一元二次方程
(1)x2+3x+1=0
(2)x2﹣10x+9=0
(3)(2x﹣1)2=(3x+2)2(4)(x﹣1)(x+2)=2(x+2)
18.用适当的方法解下列关于x的一元二次方程:
(1)x2-6x
+8=0;
(2)x2-4ax-12a2=0;
(3)(x-3)2+2x(x-3)=0;
(4)(2x+3)2=x2
19.已知下列n(n为正整数)
个关于x的一元二次方程:
(1)请解上述一元二次方程;
(2)请你指出这n个方程的根具有什么共同特点,写出一条即可
答案详解:
1.
(1)x1=﹣5,x2=3;
(2)x1=,x2=﹣2.
试题
分析:
(1)利用因式分解法解方程;
(2)先把方程变形得到2(2x﹣3)+x(2x﹣3)=0,然后利用因式分解法解方程.
试题解析:
(1)(x+5)(x﹣3)=0,
x+5=0或x﹣3=0,
所以x1=﹣5,x2=3;
(2)2(2x﹣3)+x(2x﹣3)=0,
(2x﹣3)(2+x)=0,
2x﹣3=0或2+x=0,
所以x1=,x2=﹣2.
2.
(1)x1=9或x2=1;
(2)x1=2或x2=-1.
试题分析:
1)首先将常数项移到等号的右侧,再将等号左右两边同时加上一次项系数一半的平方,即可将等号左边的代数式写成完全平方形式.
(2)方程左边分解因式后,利用两数相乘积为0,两因式中至少有一个为0转化为两个一元一次方程来求解.
(1)x2-10x+9=0(配方法)
(x-5)2=16
x-5=4或x-5=-4
x1=9或x2=1.
(2)x(x-2)+x-2=0(因式分解法)
(x-2)(x+1)=0
x-2=0或x+1=0
x1=2或x2=-1.
3.
(1)y2﹣2y﹣1=0;
(2)所求方程为a+by+cy2=0(c≠0).
(1)、互为相反数的两个数的和为原两数和的相反数,积不变,从而得出方程;
(2)、设所求方程的根为y,则y=
(x≠0),于是x=
(y≠0),然后将x=
代入方程,从而得出所求的方程.
(1)、y2-2y-1=0
(y≠0)
把x=
带入方程ax2+bx+c=0,得a(
)2+b(
)+c=0
去分母,得a+by+cy2=0
若c=0,有ax2+bx="
0"
于是,方程ax2+bx+c=0有一个根为0,不合题意
∴c≠0,故所求方程为:
a+by+cy2=0(c≠0).
4.方程
(1)用公式法解:
x1=,x2=.
方程
(2)用直接开平方法解:
x1=-+1,x2
=+1.
方程(3)用因式分解法解:
x1=0,x2=3.
方程(4)用配方法解:
x1=-+1,x2=+1.
(1)利用公式法即可解决问题;
(2)直接开方法即可解决问题;
(3)利用因式分解法即可解决问题;
(4)利用配方法即可解决问题;
(1)x2-3x+1=0,
∴a=1,b=-3,c=1,
∵△=9-4=5,
∴x1=,x2=.
(2)(x-1)2=3,
∴x-1=±
∴x1=1+,x2=1-.
(3)∵x2-3x=0,
∴x(x-3)=0,
∴x=0或x-3=0,
∴x1=,0,x2=3.
(4)∵x2-2x=4,
∴x2-2x+1=4+1,
∴(x-1)2=5,
∴∴x1=1+,x2=1-.
5.试题分析:
移项,配方,开方,即可得出两个一元一次方程,求出方程的解即可.
x2−6x=−3,
x2−6x+9=−3+9,
(x−3)2=6,
x−3=±
x1=3+x2=3−.
6.试题分析:
找出a,b,c的值,计算出根的判别式的值大于0,代入求根公式即可求出解.试题解析:
这里a=1,b=3,c=-1,
∵△=9+4=13,
∴
则,.
7.
(1)x1=1+,x2=1﹣.
(2)x1=﹣,x2=;
(3)x1=,x2=;
(4)x1=﹣4,x2=2.
(1)利用配方法解方程.
(2)利用因式分解法(提取公因式)解方程.(3)利用公式法解方程.
(4)利用因式分解法(十字相乘)解方程.
(1)4x2﹣8x+1=0(配方法)
移项得,x2﹣2x=,
配方得,x2﹣2x+1=+1,
(x﹣1)2=,
∴x﹣1=±
∴x1=1+,x2=1﹣.
(2)7x(5x+2)=6(5x+2)(因式分解法)
7x(5x+2)﹣6(5x+2)=0,
(5x+2)(7x﹣6)=0,
∴5x+2=0,7x﹣6=0,
∴x1=﹣,x2=;
(3)3x2+5(2x+1)=0(公式法)
整理得,3x2+10x+5=0
∵a=3,b=10,c=5,b2﹣4ac=100﹣60=40,
∴x==,
∴x1=,x2=.
(4)x2﹣2x﹣8=0.
(x+4)(x﹣2)=0,
∴x+4=0,x﹣2=0,
∴x1=﹣4,x2=2.
点拨:
一元二次方程的解法
(1)直接开平方法,没有一次项的方程适用
(2)配方法,所有方程适用(3)公式法,所有方程适用,公式法需要先求判别式,根据判别式的正负,求方程的解(4)因式分解法,可因式分解的方程适用,其中因式分解的方法有提取公因式,公式法
(平方差公式,完全平方公式),十字相乘法.
8.见解析
按要求写出符合条件的方程,然后进行求解即可.
如:
x2-3x=0,
x(x-3)=0,
x=0或x-3=0,
x1
=0或x2=3.
9.
(1)x=﹣1或x=﹣5;
(2)x1=,x2=.
(1)因式分解法求解可得;
(2)配方法求解可得.
(1)(x+1)(x+5)=0,
∴x+1=0或x+5=0,
解得:
x=−1或x=−5;
(2)x2+x=1,
x2+x+=1+
(x+)2=
x+=,
x1=,x2=
10.答案不唯一
答案不唯一,如;
等等.
11.试题分析:
找出a,b,c的值,计算出根的判别式的值大于0,代入求根公式即可求出解.
这里a=2,b=4,c=1,
∵△=16﹣8=8,
∴.
12.
(1)x=﹣1或x=﹣5;
13.x1=2,x2=3.
首先移项后提取公因式(x-2)得到(x-2)(x-3)=0,然后解两个一元一次方程即可.
(x-2)2-(x-2)=0,
∴(x-2)(x-3)=0,
∴x-2=0或x-3=0,
解得x1=2,x2=3.
14.x1=2+
,x2=2﹣
.
根据配方法解一元二次方程的步骤:
移项、配方、开平方,即可得出方程的解.
移项得:
x2﹣4x=1.
配方得:
x2﹣4x+4=1+4.
即(x﹣2)2=5,
开平方得:
x﹣2=±
解得x1=2+
15.x1=﹣,x2=1
试题分析
:
先分解因式,即可得出两个一元一次方程,求出方程的解即可.
3x2+2x﹣5=0,
(3x+5)(x﹣1)=0,
3x+5=0,x﹣1=0,
x1=﹣,x2=1.
考点:
解一元二次方程-因式分解法
16.①②③④
先设y=x2,则原方程变形为y2﹣2y﹣8=0,运用因式分解法解得y1=﹣2,y2=4,再把y=﹣2和4分别代入y=x2得到关于x的一元二次方程,然后解两个一元二次方程,最后确定原方程的解.
根据阅读新知和小试牛刀即可判断①②③④.
设y=x2,则原方程变为:
y2﹣2y﹣8=0.
分解因式,得(y+2
)(y﹣4)=0,
解得,y1=﹣2,y2=4,
当y=﹣2时,x2=﹣2,x2+2=0,△=0﹣4×
2<0,此方程无实数解;
当y=4时,x2=4,解得x1=﹣2,x2=2,
所以原方程的解为x1=﹣2,x2=2.
根据阅读新知和小试牛刀即可判断①②③④;
故答案为①②③④.
17.
(1)
(2)x1=1x2=9(3)x1=-3x2=-(4)x1=-2x2=3
(1)找出a,b,c的值,代入求根公式即可求出解;
(2)方程左边分解因式后,利用两数相乘积为0,两因式中至少有一个为0转化为两个一元一次方程来求解;
(3)利用平方根的定义开方转化为两个一元一次方程来求解;
(4)方程移项后,左边分解因式化为积的形式,利用两数相乘积为0,两因式中至少有一个为0转化为两个一元一次方程来求解.
(1)x2+3x+1=0,
这里a=1,b=3,c=1,
∵b2﹣4ac=9﹣4×
1×
1=5>0,
∴x=
,x2=
(2)分解因式得:
(x﹣1)(x﹣9)=0,
可得x﹣1=0或x﹣9=0,
x1=1x2=9;
(3)开方得:
2x﹣1=±
(3x+2),
即2x﹣1=3x+2或2x﹣1=﹣(3x+2),
∴x1=﹣3,x2=﹣
(4)分解因式得:
(x+2)(x﹣1﹣2)=0,
可得x+2=0或x﹣3=0,
x1=﹣2,x2=3.
18.解:
(1)x=2或x=4
(2)x=2ª
或x=6a(3)x=1或x=3(4)x=-1或x=-3
(2)利用因式分解法解方程;
(3)利用因式分解法解方程;
(4)利用因式分解法解方程;
(1)x2-6x+8=0
(x-2)(x-4)=0
x-2=0,x-4=0
∴x=2或x=4
(2)x2-4ax-12a2=0
(x+2a)(x-6a)=0
x+2a=0,x-6a=0
∴x=2ª
或x=6a
(3)(x-3)2+2x(x-3)=0
(x-3)(3x-3)=0
x-3=0,3x-3=0
∴x=1或x=3
(4)(2x+3)2=x2
(2x+3)2-x2=0
(3x+3)(x+3)=0
3x+3=0,x+3=0
∴x=-1或x=-3
19.答案见解析.
利用因式分解法分别解方程,求
出结果,分析方程的解与因式之间的关系,总结出共同特点.
(1)①(x+1)(x﹣1)=0,所以x1=﹣1,x2=1
②(x+2)(x﹣1)=0,所以x1=﹣2,x2=1;
③(x+3)(x﹣1)=0,所以x1=﹣3,x2=1;
(n)(x+n)(x﹣1)=0,所以x1=﹣n,x2=1
(2)共同特点是:
都有一个根为1;
都有一个根为负整数;
两个根都是整数根等.
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