第4讲 直线平面平行的判定及其性质.docx
- 文档编号:19111899
- 上传时间:2023-04-24
- 格式:DOCX
- 页数:15
- 大小:105.10KB
第4讲 直线平面平行的判定及其性质.docx
《第4讲 直线平面平行的判定及其性质.docx》由会员分享,可在线阅读,更多相关《第4讲 直线平面平行的判定及其性质.docx(15页珍藏版)》请在冰豆网上搜索。
第4讲直线平面平行的判定及其性质
第4讲 直线、平面平行的判定及其性质
1.下面命题中正确的是( ).
①若一个平面内有两条直线与另一个平面平行,则这两个平面平行;
②若一个平面内有无数条直线与另一个平面平行,则这两个平面平行;
③若一个平面内任何一条直线都平行于另一个平面,则这两个平面平行;
④若一个平面内的两条相交直线分别与另一个平面平行,则这两个平面平行.
A.①③B.②④C.②③④D.③④
2.平面α∥平面β,a⊂α,b⊂β,则直线a,b的位置关系是( ).
A.平行B.相交C.异面D.平行或异面
3.在空间中,下列命题正确的是( ).
A.若a∥α,b∥a,则b∥αB.若a∥α,b∥α,a⊂β,b⊂β,则β∥α
C.若α∥β,b∥α,则b∥βD.若α∥β,a⊂α,则a∥β
4.已知m、n为两条不同的直线,α、β为两个不同的平面,则下列命题中正确的是( ).
A.m∥n,m⊥α⇒n⊥αB.α∥β,m⊂α,n⊂β⇒m∥n
C.m⊥α,m⊥n⇒n∥αD.m⊂α,n⊂α,m∥β,n∥β⇒α∥β
5.在正方体ABCDA1B1C1D1中,E是DD1的中点,则BD1与平面ACE的位置关系为________.
考向一 直线与平面平行的判定与性质
【例1】►如图,
在四棱锥PABCD中,底面ABCD为平行四边形,O为AC的中点,M为PD的中点.
求证:
PB∥平面ACM.
【训练1】如图,若
PA⊥平面ABCD,四边形ABCD是矩形,E、F分别是AB、PD的中点,求证:
AF∥平面PCE.
考向二 平面与平面平行的判定与性质
【例2】►如图,
在正方体ABCDA1B1C1D1中,M、N、P分别为所在边的中点.
求证:
平面MNP∥平面A1C1B;
【训练2】如图,
在三棱柱ABCA1B1C1中,E,F,G,H分别是AB,AC,A1B1,A1C1的中点,求证:
(1)B,C,H,G四点共面;
(2)平面EFA1∥平面BCHG.
考向三 线面平行中的探索问题
【例3】►如图所示,
在三棱柱ABCA1B1C1中,A1A⊥平面ABC,若D是棱CC1的中点,问在棱AB上是否存在一点E,使DE∥平面AB1C1?
若存在,请确定点E的位置;若不存在,请说明理由.
【训练3】如图,
在四棱锥PABCD中,底面是平行四边形,PA⊥平面ABCD,点M、N分别为BC、PA的中点.在线段PD上是否存在一点E,使NM∥平面ACE?
若存在,请确定点E的位置;若不存在,请说明理由.
【示例】►如图,
在四棱台ABCDA1B1C1D1中,D1D⊥平面ABCD,底面ABCD是平行四边形,AB=2AD,AD=A1B1,∠BAD=60°.
(1)证明:
AA1⊥BD;
(2)证明:
CC1∥平面A1BD.
【试一试】
如图,在多面体ABCDEF中,四边形ABCD是正方形,AB=2EF=2,EF∥AB,EF⊥FB,∠BFC=90°,BF=FC,H为BC的中点.
(1)求证:
FH∥平面EDB;
(2)求证:
AC⊥平面EDB;
(3)求四面体BDEF的体积.
第4讲 直线、平面平行的判定及其性质
【2013年高考会这样考】
1.考查空间直线与平面平行,面面平行的判定及其性质.
2.以解答题的形式考查线面的平行关系.
3.考查空间中平行关系的探索性问题.
【复习指导】
1.熟练掌握线面平行、面面平行的判定定理和性质,会把空间问题转化为平面问题,解答过程中叙述的步骤要完整,避免因条件书写不全而失分.
2.学会应用“化归思想”进行“线线问题、线面问题、面面问题”的互相转化,牢记解决问题的根源在“定理”.
基础梳理
1.平面与平面的位置关系有相交、平行两种情况.
2.直线和平面平行的判定
(1)定义:
直线和平面没有公共点,则称直线平行于平面;
(2)判定定理:
a⊄α,b⊂α,且a∥b⇒a∥α;
(3)其他判定方法:
α∥β;a⊂α⇒a∥β.
3.直线和平面平行的性质定理:
a∥α,a⊂β,α∩β=l⇒a∥l.
4.两个平面平行的判定
(1)定义:
两个平面没有公共点,称这两个平面平行;
(2)判定定理:
a⊂α,b⊂α,a∩b=M,a∥β,b∥β⇒α∥β;
(3)推论:
a∩b=M,a,b⊂α,a′∩b′=M′,a′,b′⊂β,a∥a′,b∥b′⇒α∥β.
5.两个平面平行的性质定理
(1)α∥β,a⊂α⇒a∥β;
(2)α∥β,γ∩α=a,γ∩β=b⇒a∥b.
6.与垂直相关的平行的判定
(1)a⊥α,b⊥α⇒a∥b;
(2)a⊥α,a⊥β⇒α∥β.
一个关系
平行问题的转化关系:
两个防范
(1)在推证线面平行时,一定要强调直线不在平面内,否则,会出现错误.
(2)把线面平行转化为线线平行时,必须说清经过已知直线的平面与已知平面相交,则直线与交线平行.
双基自测
1.下面命题中正确的是( ).
①若一个平面内有两条直线与另一个平面平行,则这两个平面平行;
②若一个平面内有无数条直线与另一个平面平行,则这两个平面平行;
③若一个平面内任何一条直线都平行于另一个平面,则这两个平面平行;
④若一个平面内的两条相交直线分别与另一个平面平行,则这两个平面平行.
A.①③B.②④C.②③④D.③④
解析 ①②中两个平面可以相交,③是两个平面平行的定义,④是两个平面平行的判定定理.答案 D
2.平面α∥平面β,a⊂α,b⊂β,则直线a,b的位置关系是( ).
A.平行B.相交C.异面D.平行或异面
答案 D
3.在空间中,下列命题正确的是( ).
A.若a∥α,b∥a,则b∥αB.若a∥α,b∥α,a⊂β,b⊂β,则β∥α
C.若α∥β,b∥α,则b∥βD.若α∥β,a⊂α,则a∥β
解析 若a∥α,b∥a,则b∥α或b⊂α,故A错误;由面面平行的判定定理知,B错误;若α∥β,b∥α,则b∥β或b⊂β,故C错误.答案 D
4.已知m、n为两条不同的直线,α、β为两个不同的平面,则下列命题中正确的是( ).
A.m∥n,m⊥α⇒n⊥αB.α∥β,m⊂α,n⊂β⇒m∥n
C.m⊥α,m⊥n⇒n∥αD.m⊂α,n⊂α,m∥β,n∥β⇒α∥β
解析 选项A中,如图①,n∥m,m⊥α⇒n⊥α一定成立,A正确;选项B中,如图②,α∥β,m⊂α,n⊂β⇒m与n互为异面直线,∴B不正确;选项C中,如图③,m⊥α,m⊥n⇒n⊂α,∴C不正确;选项D中,如图④,m⊂α,n⊂α,m∥β,n∥β⇒α与β相交,∴D不正确.
答案 A
5.在正方体ABCDA1B1C1D1中,E是DD1的中点,则BD1与平面ACE的位置关系为________.
解析 如图.
连接AC、BD交于O点,连结OE,因为OE∥BD1,而OE⊂平面ACE,BD1⊄平面ACE,所以BD1∥平面ACE.答案 平行
考向一 直线与平面平行的判定与性质
【例1】►如图,
在四棱锥PABCD中,底面ABCD为平行四边形,O为AC的中点,M为PD的中点.
求证:
PB∥平面ACM.
[审题视点]连接MO,证明PB∥MO即可.
证明 连接BD,MO.在平行四边形ABCD中,因为O为AC的中点,所以O为BD的中点.又M为PD的中点,所以PB∥MO.因为PB⊄平面ACM,MO⊂平面ACM,所以PB∥平面ACM.
利用判定定理时关键是找平面内与已知直线平行的直线.可先直观判断平面内是否已有,若没有,则需作出该直线,常考虑三角形的中位线、平行四边形的对边或过已知直线作一平面找其交线.
【训练1】如图,若
PA⊥平面ABCD,四边形ABCD是矩形,E、F分别是AB、PD的中点,求证:
AF∥平面PCE.
证明 取PC的中点M,连接ME、MF,则FM∥CD且FM=
CD.
又∵AE∥CD且AE=
CD,∴FM綉AE,即四边形AFME是平行四边形.
∴AF∥ME,又∵AF⊄平面PCE,EM⊂平面PCE,∴AF∥平面PCE.
考向二 平面与平面平行的判定与性质
【例2】►如图,
在正方体ABCDA1B1C1D1中,M、N、P分别为所在边的中点.
求证:
平面MNP∥平面A1C1B;
[审题视点]证明MN∥A1B,MP∥C1B.
证明 连接D1C,则MN为△DD1C的中位线,∴MN∥D1C.
又∵D1C∥A1B,∴MN∥A1B.同理,MP∥C1B.
而MN与MP相交,MN,MP在平面MNP内,A1B,C1B在平面A1C1B内.∴平面MNP∥平面A1C1B.
证明面面平行的方法有:
(1)面面平行的定义;
(2)面面平行的判定定理:
如果一个平面内有两条相交直线都平行于另一个平面,那么这两个平面平行;
(3)利用垂直于同一条直线的两个平面平行;
(4)两个平面同时平行于第三个平面,那么这两个平面平行;
(5)利用“线线平行”、“线面平行”、“面面平行”的相互转化.
【训练2】如图,
在三棱柱ABCA1B1C1中,E,F,G,H分别是AB,AC,A1B1,A1C1的中点,求证:
(1)B,C,H,G四点共面;
(2)平面EFA1∥平面BCHG.
证明
(1)∵GH是△A1B1C1的中位线,∴GH∥B1C1.
又∵B1C1∥BC,∴GH∥BC,∴B,C,H,G四点共面.
(2)∵E、F分别为AB、AC的中点,∴EF∥BC,
∵EF⊄平面BCHG,BC⊂平面BCHG,∴EF∥平面BCHG.
∵A1G綉EB,∴四边形A1EBG是平行四边形,
∴A1E∥GB.∵A1E⊄平面BCHG,GB⊂平面BCHG.∴A1E∥平面BCHG.
∵A1E∩EF=E,∴平面EFA1∥平面BCHG.
考向三 线面平行中的探索问题
【例3】►如图所示,
在三棱柱ABCA1B1C1中,A1A⊥平面ABC,若D是棱CC1的中点,问在棱AB上是否存在一点E,使DE∥平面AB1C1?
若存在,请确定点E的位置;若不存在,请说明理由.
[审题视点]取AB、BB1的中点分别为E、F,证明平面DEF∥平面AB1C1即可.
解 存在点E,且E为AB的中点.
下面给出证明:
如图,取BB1的中点F,连接DF,则DF∥B1C1.
∵AB的中点为E,连接EF,则EF∥AB1.B1C1与AB1是相交直线,
∴平面DEF∥平面AB1C1.而DE⊂平面DEF,∴DE∥平面AB1C1.
解决探究性问题一般要采用执果索因的方法,假设求解的结果存在,从这个结果出发,寻找使这个结论成立的充分条件,如果找到了符合题目结果要求的条件,则存在;如果找不到符合题目结果要求的条件(出现矛盾),则不存在.
【训练3】如图,
在四棱锥PABCD中,底面是平行四边形,PA⊥平面ABCD,点M、N分别为BC、PA的中点.在线段PD上是否存在一点E,使NM∥平面ACE?
若存在,请确定点E的位置;若不存在,请说明理由.
解 在PD上存在一点E,使得NM∥平面ACE.
证明如下:
如图,取PD的中点E,连接NE,EC,AE,
因为N,E分别为PA,PD的中点,所以NE綉
AD.
又在平行四边形ABCD中,CM綉
AD.所以NE綉MC,即四边形MCEN是平行四边形.所以NM綉EC.
又EC⊂平面ACE,NM⊄平面ACE,所以MN∥平面ACE,
即在PD上存在一点E,使得NM∥平面ACE.
规范解答13——怎样证明线线、线面、面面平行与垂直的综合性问题
【问题研究】高考对平行、垂直关系的考查主要以线面平行、线面垂直为核心,以多面体为载体结合平面几何知识,考查判定定理、性质定理等内容,难度为中低档题目.
【解决方案】利用定理证明线面关系时要注意结合几何体的结构特征,尤其注意对正棱柱、正棱锥等特殊几何体性质的灵活运用,进行空间线面关系的相互转化.
【示例】►如图,
在四棱台ABCDA1B1C1D1中,D1D⊥平面ABCD,底面ABCD是平行四边形,AB=2AD,AD=A1B1,∠BAD=60°.
(1)证明:
AA1⊥BD;
(2)证明:
CC1∥平面A1BD.
第
(1)问转化为证明BD垂直A1A所在平面;第
(2)问在平面A1BD内寻找一条线与CC1平行.
[解答示范]证明
(1)因为D1D⊥平面ABCD,且BD⊂平面ABCD,
所以D1D⊥BD.(1分)又因为AB=2AD,∠BAD=60°,
在△ABD中,由余弦定理得BD2=AD2+AB2-2AD·ABcos60°=3AD2,所以AD2+BD2=AB2,因此AD⊥BD.(4分)又AD∩D1D=D,所以BD⊥平面ADD1A1.
又AA1⊂平面ADD1A1,故AA1⊥BD.(6分)
(2)如图,连结AC,A1C1,设AC∩BD=E,连结EA1,
因为四边形ABCD为平行四边形,所以EC=
AC.(8分)
由棱台定义及AB=2AD=2A1B1知A1C1∥EC且A1C1=EC,所以四边形A1ECC1为平行四边形,(10分)因此CC1∥EA1.又因为EA1⊂平面A1BD,
CC1⊄平面A1BD,所以CC1∥平面A1BD.(12分)
证明线面关系不能仅仅考虑线面关系的判定和性质,更要注意对几何体的几何特征的灵活应用.证明的依据是空间线面关系的判定定理和性质定理.另外根据几何体的数据,通过计算也可得到线线垂直的关系,所以要注意对几何体中的数据的正确利用.
【试一试】
如图,在多面体ABCDEF中,四边形ABCD是正方形,AB=2EF=2,EF∥AB,EF⊥FB,∠BFC=90°,BF=FC,H为BC的中点.
(1)求证:
FH∥平面EDB;
(2)求证:
AC⊥平面EDB;
(3)求四面体BDEF的体积.
[尝试解答]
(1)证明 设AC与BD交于点G,则G为AC的中点.连EG,GH,由于H为BC的中点,故GH綉
AB.又EF綉
AB,∴EF綉GH.
∴四边形EFHG为平行四边形.
∴EG∥FH,而EG⊂平面EDB,∴FH∥平面EDB.
(2)证明 由四边形ABCD为正方形,有AB⊥BC.又EF∥AB,∴EF⊥BC.
而EF⊥FB,∴EF⊥平面BFC,∴EF⊥FH.
∴AB⊥FH.又BF=FC,H为BC的中点,∴FH⊥BC.∴FH⊥平面ABCD.
∴FH⊥AC.又FH∥EG,∴AC⊥EG.又AC⊥BD,EG∩BD=G,∴AC⊥平面EDB.
(3)解 ∵EF⊥FB,∠BFC=90°,∴BF⊥平面CDEF.
∴BF为四面体BDEF的高.又BC=AB=2,∴BF=FC=
.
VB-DEF=
×
×1×
×
=
.
- 配套讲稿:
如PPT文件的首页显示word图标,表示该PPT已包含配套word讲稿。双击word图标可打开word文档。
- 特殊限制:
部分文档作品中含有的国旗、国徽等图片,仅作为作品整体效果示例展示,禁止商用。设计者仅对作品中独创性部分享有著作权。
- 关 键 词:
- 第4讲 直线平面平行的判定及其性质 直线 平面 平行 判定 及其 性质