列主元高斯消去法和列主元三角分解法解线性方程Word格式.docx
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关于k=1,2,…,n-1
(1)按列选主元:
即确定t使
(2)假如t≠k,则交换[A,b]第t行与第k行元素。
(3)消元计算
消元乘数mik满足:
(4)回代求解
对方程组的增广矩阵 经过k-1步分解后,可变成如下形式:
第k步分解,为了幸免用绝对值特别小的数作除数,引进量
因此有=。
假如 ,则将矩阵的第t行与第k行元素互换,将(i,j)位置的新元素仍记为或,然后再做第k步分解,这时
【列主元高斯消去法程序流程图】
【列主元高斯消去法Matlab主程序】
functionx=gauss1(A,b,c) %列主元法高斯消去法解线性方程Ax=b
if(length(A)~=length(b)) %判断输入的方程组是否有误
disp(’输入方程有误!
’)
return;
end
disp('
原方程为AX=b:
’) %显示方程组
A
b
disp(’----—-----——-—--—----—--')
n=length(A);
fork=1:
n—1 %找列主元
[p,q]=max(abs(A(k:
n,k)));
%找出第k列中的最大值,其下标为[p,q]
q=q+k-1;
%q在A(k:
n,k)中的行号转换为在A中的行号
ifabs(p)〈c
disp('列元素太小,det(A)≈0'
);
break;
elseifq〉k
temp1=A(k,:
%列主元所在行不是当前行,将当前行与列主
A(k,:
)=A(q,:
元所在行交换(包括b)
A(q,:
)=temp1;
temp2=b(k,:
b(k,:
)=b(q,:
b(q,:
)=temp2;
%消元
fori=k+1:
n
m(i,k)=A(i,k)/A(k,k);
%A(k,k)将A(i,k)消为0所乘系数
A(i,k:
n)=A(i,k:
n)-m(i,k)*A(k,k:
n);
%第i行消元处理
b(i)=b(i)—m(i,k)*b(k);
%b消元处理
end
end
disp(’消元后所得到的上三角阵是')
A %显示消元后的系数矩阵
b(n)=b(n)/A(n,n);
%回代求解
fori=n-1:
-1:
1
b(i)=(b(i)—sum(A(i,i+1:
n)*b(i+1:
n)))/A(i,i);
end
clear x;
disp(’AX=b的解x是')
x=b;
【调用函数解题】
【列主元三角分解法程序流程图】
【列主元三角分解法Matlab主程序】
①自己编的程序:
functionx=PLU(A,b,eps) %定义函数列主元三角分解法函数
if(length(A)~=length(b)) %判断输入的方程组是否有误
disp('输入方程有误!
'
)
return;
disp(’原方程为AX=b:
) %显示方程组
A
b
disp(’—--—--——--—--------—-—-—’)
n=length(A);
A=[Ab];
%将A与b合并,得到增广矩阵
forr=1:
ifr==1
fori=1:
[cd]=max(abs(A(:
1)));
%选取最大列向量,并做行交换
ifc<=eps %最大值小于e,主元太小,程序结束
break;
else
end
d=d+1—1;
p=A(1,:
A(1,:
)=A(d,:
A(d,:
)=p;
A(1,i)=A(1,i);
end
A(1,2:
n)=A(1,2:
n);
A(2:
n,1)=A(2:
n,1)/A(1,1);
%求u(1,i)
else
u(r,r)=A(r,r)-A(r,1:
r—1)*A(1:
r-1,r);
%依照方程求取u(r,i)
ifabs(u(r,r))<
=eps %假如u(r,r)小于e,则交换行
p=A(r,:
A(r,:
)=A(r+1,:
A(r+1,:
else
end
for i=r:
A(r,i)=A(r,i)—A(r,1:
r-1)*A(1:
r—1,i);
%依照公式求解,并把结果存在矩阵A中
end
fori=r+1:
n
A(i,r)=(A(i,r)-A(i,1:
r—1)*A(1:
r-1,r))/A(r,r);
%依照公式求解,并把结果存在矩阵A中
end
end
end
y
(1)=A(1,n+1);
for i=2:
h=0;
for k=1:
i—1
h=h+A(i,k)*y(k);
end
y(i)=A(i,n+1)-h;
%依照公式求解y(i)
end
x(n)=y(n)/A(n,n);
fori=n—1:
—1:
h=0;
fork=i+1:
h=h+A(i,k)*x(k);
end
x(i)=(y(i)-h)/A(i,i);
%依照公式求解x(i)
end
A
disp('AX=b的解x是'
x=x'
;
%输出方程的解
②可直截了当得到P,L,U并解出方程解的的程序(查阅资料得子函数PLU1,其作用是将矩阵A分解成L乘以U的形式、PLU2为调用PLU1解题的程序,是自己编的)
(Ⅰ)、
function[l,u,p]=PLU1(A) %定义子函数,其功能为列主元三角分解系数矩阵A
[m,n]=size(A);
%判断系数矩阵是否为方阵
ifm~=n
error('
矩阵不是方阵'
return
end
ifdet(A)==0 %判断系数矩阵能否被三角分解
error('
矩阵不能被三角分解'
end
u=A;
p=eye(m);
l=eye(m);
%将系数矩阵三角分解,分别求出P,L,U
for i=1:
m
for j=i:
t(j)=u(j,i);
fork=1:
i—1
t(j)=t(j)-u(j,k)*u(k,i);
end
end
a=i;
b=abs(t(i));
forj=i+1:
m
ifb<
abs(t(j))
b=abs(t(j));
a=j;
end
if a~=i
for j=1:
c=u(i,j);
u(i,j)=u(a,j);
u(a,j)=c;
end
for j=1:
c=p(i,j);
p(i,j)=p(a,j);
p(a,j)=c;
end
c=t(a);
t(a)=t(i);
t(i)=c;
end
u(i,i)=t(i);
for j=i+1:
u(j,i)=t(j)/t(i);
end
forj=i+1:
fork=1:
i-1
u(i,j)=u(i,j)—u(i,k)*u(k,j);
end
end
end
l=tril(u,-1)+eye(m);
u=triu(u,0)
(Ⅱ)、
functionx=PLU2(A,b) %定义列主元三角分解法的函数
[l,u,p]=PLU1(A) %调用PLU分解系数矩阵A
m=length(A);
%由于A左乘p,故b也要左乘p
v=b;
forq=1:
b(q)=sum(p(q,1:
m)*v(1:
m,1));
b
(1)=b(1) %求解方程Ly=b
fori=2:
1:
b(i)=(b(i)-sum(l(i,1:
i-1)*b(1:
i-1)));
b(m)=b(m)/u(m,m);
%求解方程Ux=y
fori=m-1:
-1:
1
b(i)=(b(i)—sum(u(i,i+1:
m)*b(i+1:
m)))/u(i,i);
end
clearx;
disp('
AX=b的解x是’)
x=b;
①
②
【编程疑难】
这是第一次用matlab编程,对matlab的语句还不是特别熟悉,因此在编程过程中,出现了许多错误提示。
同时此次编程的两种方法对矩阵的运算也比较复杂。
问题主要集中在循环控制中,循环次数多了一次或者缺少了一次,导致数据错误,一些基本的编程语句在语法上也会由于生疏而产生许多问题,然而语句的错误由于系统会提示,比较容易进行修改,数据计算过程中的一些逻辑错误,比如循环变量的控制,这些系统可不能提示错误,需要我们细心去发现错误,不断修正,调试。
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- 列主元高斯 消去 列主元 三角 解法 线性方程