考研数学中值定理证明题技巧以及结论汇总文档格式.docx

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f（ξ）=C（a<

ξ<

b）.

Ps:

c是介于A、B之间的，结论中的ξ取开区间。

介值定理的推论：

设函数f（x）在闭区间[a,b]上连续,则f（x）在[a,b]上有最大值M，最小值

（

m,若m≤C≤M,则必存在ξ∈[a,b],使得f（ξ）=C。

闭区间上的连续函数必取得介于最大

值M与最小值m之间的任何值。

此条推论运用较多）

Ps：

当题目中提到某个函数f（x）,或者是它的几阶导函数在某个闭区间上连续，那么该函数

或者其几阶导函数必可以在该闭区间上取最大值和最小值，那么就对于在最大值和最小

值之间的任何一个值，必存在一个变量使得该值等于变量处函数值。

2、零点定理

设函数f（x）在闭区间[a,b]上连续,且f（a）与f（b）异号，即f（a）.f（b）<

0,那么在开区间内

至少存在一点ξ使得f（ξ）=0.

注意条件是闭区间连续，端点函数值异号，结论是开区间存在点使函数值为0.

3、罗尔定理

如果函数f（x）满足：

（1）、在闭区间[a,b]上连续；

（2）、在开区间（a,b）内可导;

（3）、在区间端点处函数值相等，即f（a）=f（b）.

那么在（a,b）内至少有一点ξ（<

aξ<

b）,使得f`（x）=0;

4、拉格朗日中值定理

b）,使得

f（b）-f（a）=f`（ξ）.（b-a）.

5、柯西中值定理

如果函数f（x）及g（x）满足

（3）、对任一x（a<

x<

b）,g`（x）≠0,

那么在（a,b）内至少存在一点ξ,使得

f（b）f（a）

g（b）g（a）

f`（）

g`（）

对于罗尔定理、拉格朗日中值定理、柯西中值定理结论都是开开区间内取值。

6、积分中值定理

若函数f（x）在[a,b]上连续，则至少存在一点[a,b]使得

b

a

f（x）dxf（）（ba）

该定理课本中给的结论是在闭区间上成立。

但是在开区间上也是满足的，下面

我们来证明下其在开区间内也成立，即定理变为：

若函数f（x）在[a,b]上连续，则至

少存在一点（a,b）使得

证明：

设F（x）

x

f（x）dx，x[a,b]

因为f（x）在闭区间上连续，则F（x）在闭区间上连续且在开区间上可导（导函数即

为f（x））。

则对F（x）由拉格朗日中值定理有：

（a,b）使得F`（）

F（b）F（a）

ba

f（x）dx

而F`（）f（）

所以（a,b）使得

f（x）dxf（）（ba）。

在每次使用积分中值定理的时候，如果想在开区间内使用，我们便构造该函数，运

用拉格朗日中值定理来证明下使其在开区间内成立即可。

千万不可直接运用，因为

课本给的定理是闭区间。

定理运用

1、设f（x）在[0,3]上连续，在（0,3）内存在二阶导函数，且2f（0）

2

f（x）dxf

（2）f（3）.

（1）（0,2）使f（）f（0）

（2）（0,3）使f``（）0

先看第一小问题：

如果用积分中指定理似乎一下子就出来了，但有个问题就是积分中

值定理是针对闭区间的。

有的人明知这样还硬是这样做，最后只能是0分。

具体证明方法

在上面已经说到，如果要在开区间内用积分中指定理，必须来构造函数用拉格朗日中值定理

证明其在开区间内符合。

（1）、令

（0

f（t）dtF（x）,x[0,2]则由题意可知F（x）在[0,2]上连续，,2）内可导.

（0,2）使F`（）

F

（2）F（0）

f（）

f（t）dt

f（0）,（0,2）

从而，m

M，那么由介值定理就有：

c[2,3],使f（c）

f（0）

（2）、对于证明题而言，特别是真题第一问证明出来的结论，往往在第二问中都会有运用，

在做第二问的时候我们不要忘记了第一问证明出来的东西，我们要时刻注意下如何将第一问

的东西在第二问中进行运用：

第二问是要证明存在点使得函数二阶倒数为0，这个很容易想到罗尔定理来证明零点问题，

如果有三个函数值相等，运用两次罗尔定理那不就解决问题啦，并且第一问证明出来了一个

等式，如果有f（a）=f（b）=f（c），那么问题就解决了。

第一问中已经在（0,2）内找到一点，那么能否在（2,3）内也找一点满足结论一的形式呢，有了

这样想法，就得往下寻找了，

2f（0）f

（2）f（3），看到这个很多人会觉得熟悉的，和介值定理很像，下面就来证明：

f（x）在[0,3]上连续，则在[2,3]上也连续，由闭区间上连续函数必存在最大值和最小值，

分别设为M,m;

则mf

（2）M,mf（3）M.

f

（2）f（3）

f（0）f（）f（c）,（0,2）,c[2,3]

则有罗尔定理可知：

1（0,）,f`

（1）0，2（,c）,f`

（2）0

（1,2）（0,3）,f``（）0

本题记得好像是数三一道真题，考察的知识点蛮多，涉及到积分中值定理，介值定理，

最值定理，罗而定理，思路清楚就会很容易做出来。

2、设f（x）在[0,1]上连续，在（0,1）内可导,且f（0）=0,f

（1）=1.

证明:

（1）、（0,1）使得f（）1

（2）、两个不同点、（0,1）,使得f`（）f`（）1

本题第一问较简单，用零点定理证明即可。

（1）、首先构造函数：

F（x）f（x）x1,x[0,1]

F（0）f（0）11

F

（1）f

（1）1

F（0）F

（1）10

由零点定理知：

（0,1）使得F（）0,即f（）1

（2）、初看本问貌似无从下手，但是我们始终要注意，对于真题这么严谨的题目，他的设问

是一问紧接一问，第一问中的结论或多或少总会在第二问中起到作用。

在想想高数定理中的

就这么些定理，第一问用到的零点定理，从第二问的结论来看，也更本不涉及什么积分问题，

证明此问题也只可能从三大中值定理出发，具体是哪个定理，得看自己的情况，做题有时候

就是慢慢试，一种方法行不通，就换令一种方法，有想法才是最重要的，对于一道题，你没

想法，便无从下手。

另外在说一点，在历年证明题中，柯西中值定理考的最少。

本题结论都涉及一阶倒数，乘积之后为常数，很可能是消去了变为1（你题目做多了，肯定

就知道事实就是这样）.并且第一问中0与1之间夹了个，如果我们在0与，与1上

对f（x）运用拉格朗日中值定理似乎有些线索。

写一些简单步骤，具体详细步骤就不多写了：

将第一问中f（）代入即可。

f（）f（0）

f

（1）f（）

1

（0,）

（,1）

（0,）,（,1）,使得：

f`（）f`（）22

f`（）f`（）1,（0,）（0,1）,（,1）（0,1）

本题是05年数一的一道真题，第一问是基本问题，送分的，第二问有一定区分度，对

定理熟练的会容易想到拉格朗日定理，不熟练的可能难以想到方法。

做任何题，最重要的不

是你一下子就能把题目搞出来，而是你得有想法，有想法才是最重要的，有了想法你才能一

步步的去做，如果行不通了，在改变思路，寻求新的解法，如果你没想法，你就根本无从下

手。

3、设函数f（x）在闭区间[0,1]上连续，在开区间（0,1）内可导，且f（0）=0,f

（1）=1/3.

11

22

对于这道题的结论比较有意思，比较对称，另外一个就是结论的条件，为何要把、放在

两个范围内，不像上一题中直接来个、（0,1），这个分界点1/2的作用是干吗的。

很

可能也是把1/2当做某一个点就像上一题中的，是否要用到拉格朗日中值定理呢，这是

我们的一个想法。

那具体的函数如何来构造呢，这个得从结论出发，f`（）f`（）

我们把等式变一下：

f`（）f`（）0，f`（）这个不就是f（）3关

2221

3

于的导数（而且题目中f

（1）=1/3,貌似这样有点想法了），本题会不会也像上一题那样，运

用拉格朗日中值定理后相互消掉变为0呢，有了这些想法我们就要开始往下走了：

先来构造一个函数：

F（x）f（x）x3,F（0）0,F

（1）0,F`（）

F（）F（0）

2F（）

F

（1）F（）

F`（）

12

22F

（1）

F`（）F`（）0刚好证明出来。

本题是近几年数二的一道真题，只有一问，有比较大区分度的，得从条件结论互相出

发，如何构造出函数是关键。

做出来之后我们反过来看这个1/2的作用就知道了，如果只

给、（0,1），那就更难了得自己找这个点，既然题中给了这个点，并且把两个变量分

开在两个区间内，我们就对这两个变量在对应区间用相应定理。

说明真题出的还是很有技巧

的。

一般设计难一点的中值定理证明，往往得用拉格朗日定理来证明，两个变量，都涉及到

导数问题，这是因为拉格朗日中值定理条件要少些，只需连续，可导即可，不像罗尔定理得

有式子相等才可进一步运用。

4.设f（x）在区间[-a,a]（a>

0）上具有二阶连续导数，f（0）=0

（1）、写出f（x）的带拉格朗日余项的一阶麦克劳林公式

（2）、证明在[-a,a]上至少存在一点使得af``（）3

第一问课本上记住了写出来就行，考的很基础

f``（）2

（1）、f（x）f（0）

f`（0）

1!

2!

xf`（0）x

（2）、第二问先将第一问的式子f（x）代入看看有什么结果出来

xdx，f``（）此处不能直接拿到积分号外面，因为他不是与x无

f``（）

关的数。

做到这儿，我们想办法把他弄到积分号外面似乎就能出来，有了这样想法就得寻求

办法。

题目中说道f（x）有二阶连续导数，为何要这样说呢，我们知道连续函数有最大值，最

小值，往往会接着和介值定理一起运用。

所以有：

因为f（x）有二阶连续导数，所以存在最大值和最小值，设为M,m则对于区间[-a,a]，

mf``（x）M,mx2f``（）x2Mx2

ma3mxdxxdx

f``（）xdxMMa3

aaa

m3f（x）dxM

所以由介值定理有结论成立。

本题是以前的一道真题，具体哪年也记不得了，主要就是考到介值定理的运用。

题目

中说的很明白的，有二阶连续导数，往往当题目中提及到什么连续啊，特别是对于导函数连

续的，我们总得注意下他有最大值，最小值，进而与介值定理联合运用。

f（x）dx0,f（x）cosxdx0.

5、设f（x）在[0,]上连续，且

在（0,）内至少存在两个不同点1、2使得f

（1）f

（2）0

本题看似很简洁，但做起来去不容易。

结论是证明等式成立且为0，很容易让我们想到罗尔定理，我们如果能找到三个点处函数值

相等，那么是不是就能有些思路了呢。

令：

F（x）

f（t）dt,x[0,]，F（0）F（）0

f（x）cosxdxcosxdF（x）cosxF（x）0sinxF（x）dx0

sinxF（x）dx0

拉格朗日中值定理来证明其在开区间内成立。

构造函数G（x）sintF（t）dt,x[0,]

似乎只需在找出一点F（c）=0即可。

，如果一切如我们所想，证明也就完成了。

000

似乎已经找到这个点了。

但是积分中值定理中，是取闭区间，如果要用的话得先构造函数用

具体的证明步骤和上面涉及到的一样，自己去证。

证完后就得到

c（0,）,使得G`（c）0,即sincF（c）0,所以F（c）0

F（0）F（c）F（）0,c（0,）

接下来的证明就和第一题中第二小问一样了，具体就不去证明了，自己证，关键掌握方法，

思路。

本题是02年左右的数一一道证明题，看看题目很简洁，但具体来做，如果对定理的运

用不熟练，还是不好弄出来。

本题中涉及到积分，而且又要证明等式成立且为0，容易想到

积分中值定理，以及罗尔定理。

但是积分中值定理是对于闭区间而言，而我们要用到开区间，

只能自己构造函数来证明其在开区间内成立，如果在实际做题的时候你不证明直接用，估计

一半的分都没了。

本题关键的就是寻找这个点C，找出来了其他的都不是问题，既然是关键

点，那得分点也肯定最多了，你不证明这个点，直接套用课本中定理（如果用的话，得分类

讨论了），硬是说C点就成立，那估计一半的分都没了。

一般都会构造出g（x）XXXe或者e或者x,n为任意常数

对于中值定理这章，就先给出上面一些经典的题目，大家好好体会下，多做些题，多思考。

下面来讲讲对于证明题中的，函数如何来构造：

基本上都是从结论出发，运用求导或是积分，

或是求微分方程，解出来也可。

本人自己总结了一些东西，与大家交流下：

构造函数基本方法

一、要证明的等式是一阶导数与原函数之间的关系：

xxn

1、如果只是单纯导函数和原函数之间关系，想想构造带有e或者e

f`（x）f（x）可以构造g（x）f（x）ex

f`（x）f（x）0可构造g（x）f（x）ex

f`（x）f（x）可构造g（x）f（x）exex

f（t）dtf（x）这个也是原函数与一阶导函数问题，构造函数g（x）exf（t）dt

f`（x）（f（x）x）1

先将其变形下：

f`（x）f（x）1x左边是导函数与原函数关系可构造：

f（x）e

右边可以看成是x`x也成了导函数和原函数之间关系，如是可以构造：

xex从而

要构造的函数就是：

g（x）（f（x）x）e

2、如果还涉及到变量X，想想构造xn

xf`（x）f（x）0可构造g（x）f（x）x

f（x）

2f（x）

可构造g（x）f（x）x

xf`（x）nf（x）0可构造g（x）f（x）xn

3、另外还可以解微分方程来构造函数：

如xf（x）f`（x）0

f`（x）

x,

lnf（x）x2c

lnf2（x）exc

f2（x）exC

所以构造函数g（x）f2（x）ex

二、二阶导数与原函数之间关系

构造带有e或者e

f``（x）f（x）

如何构造如下：

f``（x）f`（x）f`（x）f（x）对于此式子，你会不会有所想法呢，在上面讲到一阶导函数

与原函数之间的构造方法，等式前面也可以看成是一阶导函数与原函数（只不过原函数是

f`（x））之间关系，从而等式左边可以构造f`（x）ex等式右边可以构造f（x）ex总的构造

出来函数为：

g（x）（f`（x）f（x））e

另：

如果这样变形：

（f``（x）f`（x））（f`（x）f（x））0

构造函数如下：

，可以看上面原函数与导函数之间关系如何构

造的。

从而对于此函数构造有两种方法，具体用哪一种构造得看题目给的条件了。

如果题目给了

f`（x）f（x）为什么值可以考虑第一中构造函数，如果题目给了f`（x）f（x），则可以考

虑第二种构造方法。

f``（）3f`（）2f（）0

先变形：

变成一阶导函数和原函数之间关系

f``（）2f`（）f`（）2f（）

f`（x）e2xf（x）e2x

所以构造的函数为：

G（x）（f`（x）f（x））e2x

f``（x）f（x）0

这个函数确实不好构造，如果用微分方程来求会遇到复数根。

G（x）f2（x）（f`（x））2

G`（x）2f`（x）（f``（x）f（x））

实际做的时候还得看题目是否给了f`（x）的一些条件，如果在某个开区间内不为0，而构造

出来的函数在闭区间端点取值相等，便可用罗而定理来证明。

具体来看看题目：

（1）、存在（,1）,使得f（）

1、设f（x）在[0,1]上连续，在（0,1）内可导，且f（0）=f

（1）=0,f（1/2）=1证明：

（2）、存在（0,）,使得f`（）f（）1

（1）、对一问直接构造函数用零点定理：

F（x）f（x）x具体详细步骤就不写了。

（2）、该问主要问题是如何构造函数：

如果熟练的话用上面所讲方法来构造：

f`（）f（）1先变形

f`（）f（）1

f（x）exxex

构造函数为G（x）（f（x）x）ex

用微分方程求解法来求出要构造的函数

f`（）1f（）

（f（x）x）`f（x）x

ln（f（x）x）xc

f（x）xexcexC

（f（x）x）exC

把常数退换掉之后就是要构造的函数

G（x）（f（x）x）ex

函数构造出来了，具体步骤自己去做。

2、设f`（x）在[a,b]上连续，f（x）在（a,b）内二阶可导，f（a）=f（b）=0,

f（x）dx0

（1）存在1,2（a,b）使得f

（1）f`

（1）,f

（2）f`

（2）

（2）存在（a,b）,1,2使得f``（）f（）

（1）、第一问中的函数构造：

F（x）f（x）ex

（2）、第二问中函数构造有两种构造方法，上面讲解中说道了

我们在这用第一种

g（x）（f`（x）f（x））ex

原因在于第一问中f`（x）f（x）=0符合此题构造。

具体详细步骤自己去写写。

3、设奇函数f（x）在[1,1]上具有二阶导数，且f

（1）=1,证明：

（1）存在（0,1）,使得f`（）1

（2）存在（1,1）,使得f``（）f`（）1

第一问中证明等式，要么用罗尔定理，要么介值定理，要么零点

本题很容易想到用罗尔定理构造函数来求，因为涉及到了导函数

（1）、F（x）f（x）x，题目中提到奇函数，f（0）=0

有F（0）=F

（1）=0从而用罗尔定理就出来了。

（2）、第二问中的结论出发来构造函数，从上面讲的方法来看，直接就可以写出要构造的

函数

f``（）f`（）1

先变形下：

f`（x）exex

G（x）（f`（x）1）ex

函数构造出来，并且可以用到第一问的结论，我们只需要在（-1,0）之间在找一个点也满足

1的结论即可。

也即（1,0）,f`（）1

从而可以对（,）（1,1）运用罗尔定理即可。

本题为13年数一真题，第一问基础题，但要看清题目为奇函数，在0点处函数值为0.

第二问关键是构造函数，函数构造出来了就一步步往下做，缺什么条件就去找什么条件或者

证明出来，13年考研前我给我的几个考研小伙伴们讲过构造函数的一些方法，考场上都很

中值定理