搞定空间几何体的外接球与内切球.docx
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搞定空间几何体的外接球与内切球
八个有趣模型——搞定空间几何体的外接球与内切球
类型一、墙角模型(三条线两个垂直,不找球心的位置即可求出球半径)
图1
(2R)2a2b2c2,即2R
O2
图4
a2b2c2,求出R
方法:
找三条两两垂直的线段,直接用公式
(1)已知各顶点都在同一球面上的正四棱柱的高为4,体积为16,则这个球的表面积是)
16B.20C.24若三棱锥的三个侧面两垂直,且侧棱长均为
例1
(
A.
(2)
(3)在正三棱锥SABC中,M、N分别是棱SC、则正三棱锥SABC外接球的表面积是(4)在四面体SABC中,SA平面ABC,BAC
外接球的表面积为()A.11
D.323,则其外接球的表面积是BC的中点,且AM
B.7
(5)如果三棱锥的三个侧面两两垂直,它们的面积分别为积是
(6)已知某几何体的三视图如图所示,三视图是腰长为形,则该几何体外接球的体积为
类型二、垂面模型(一条直线垂直于一个平面)1.题设:
如图5,PA平面ABC解题步骤:
第一步:
将ABC画在小圆面上,A为小圆直径的一个端点,作小圆的直
第二步:
半
径AD,连接PD,则PD必过球心O;O1为
径O1DasinA
MN,若侧棱SA23,
2,AB1,则该四面体的
D.40
3
120,SAAC
C.10
3
6、4、3,那么它的外接球的表面
1的等腰直角三角形和边长为1的正方
ABC的外心,所以OO1平面ABC,算出小圆O1
r(三角形的外接圆直径算法:
利用正弦定理,得
bc1
bc2r),OO11PA;
sinBsinC12第三步:
利用勾股定理求三棱锥的外接球半径:
①(2R)2PA2(2r)2
2RPA2(2r)2;
②R2r2OO12Rr2OO12
2.题设:
如图6,7,8,P的射影是ABC的外心三棱锥PABC的三条侧棱相等三棱锥PABC的底面ABC在圆锥的底上,顶点P点也是圆锥的顶点
P
P
图8-1
图8-2
P
图8-3
解题步骤:
第一步:
确定球心O的位置,取ABC的外心O1,则P,O,O1三点共线;第二步:
先算出小圆O1的半径AO1r,再算出棱锥的高PO1h(也是圆锥的高);第三步:
勾股定理:
OA2O1A2O1O2R2(hR)2r2,解出R方法二:
小圆直径参与构造大圆。
例2一个几何体的三视图如右图所示,则该几何体外接球的表面积为(
A.3B.2C.16D.以上都不对
3
类型三、切瓜模型(两个平面互相垂直)
1.题设:
如图9-1,平面PAC平面ABC,且ABBC(即AC为小圆的直径)
第一步:
易知球心O必是PAC的外心,即PAC的外接圆是大圆,先求出小圆的直径AC2r;
2.如图9-2,平面PAC平面ABC,且ABBC(即AC为小圆的直径)
OC2O1C2O1O2R2r2O1O2AC2R2O1O2
3.如图9-3,平面PAC平面ABC,且ABBC(即AC为小圆的直径),且P的射影是ABC的外心三棱锥PABC的三条侧棱相等三棱PABC的底面ABC在圆锥的底上,顶点P点也是圆锥的顶点
解题步骤:
第一步:
确定球心O的位置,取ABC的外心O1,则P,O,O1三点共线;
第二步:
先算出小圆O1的半径AO1r,再算出棱锥的高PO1h(也是圆锥的高);第三步:
勾股定理:
OA2O1A2O1O2R2(hR)2r2,解出R
4.如图9-3,平面PAC平面ABC,且ABBC(即AC为小圆的直径),且PAAC,则利用勾股定理求三棱锥的外接球半径:
①(2R)2PA2(2r)22RPA2(2r)2;
题设:
如图10-1,图10-2,图10-3,直三棱柱内接于球(同时直棱柱也内接于圆柱,棱柱的上下底面可以是任意三角形)
第一步:
确定球心O的位置,O1是ABC的外心,则OO1平面ABC;
11
第二步:
算出小圆O1的半径AO1r,OO11AA11h(AA1h也是圆柱的高);22
第三步:
勾股定理:
OA2O1A2O1O2R2(h)2r2Rr2(h)2,解出R
例4
(1)一个正六棱柱的底面上正六边形,其侧棱垂直于底面,已知该六棱柱的顶点都在同一个球面上,且该六棱柱的体积为9,底面周长为3,则这个球的体积为
8
(2)直三棱柱ABCA1B1C1的各顶点都在同一球面上,若ABACAA12,BAC120,则此球的表面积等于。
(3)已知EAB所在的平面与矩形ABCD所在的平面互相垂直,
EAEB3,AD2,AEB60,则多面体EABCD的外接球的表面积为
(4)在直三棱柱ABCA1B1C1中,AB4,AC6,A,AA14则直三棱柱ABCA1B1C1的外
11131111接球的表面积为。
类型五、折叠模型
题设:
两个全等三角形或等腰三角形拼在一起,或菱形折叠(如图11)
第一步:
先画出如图所示的图形,将BCD画在小圆上,找出BCD和ABD的外心H1和H2;第二步:
过H1和H2分别作平面BCD和平面ABD的垂线,两垂线的交点即为球心O,连接
OE,OC;
第三步:
解OEH1,算出OH1,在RtOCH1中,勾股定理:
OH12CH12OC2
例5三棱锥PABC中,平面PAC平面ABC,△PAC和△ABC均为边长为2的正三角形,则三棱锥PABC外接球的半径为.
类型六、对棱相等模型(补形为长方体)
题设:
三棱锥(即四面体)中,已知三组对棱分别相等,求外接球半径(ABCD,ADBC,ACBD)第一步:
画出一个长方体,标出三组互为异面直线的对棱;第二步:
设出长方体的长宽高分别为AB
2ab2
2
c
CD
b2
2
c
2
a
y,
2
x
2
y
2z
a,b,c,
ACBDz,列方程组,
ADBCx,
x
D
yy
zz
y
c
C
补充:
VA
BCD
22
(2R)2a2
22
2xy
c
2
b
abc1abc
6
1abc
3
第三步:
根据墙角模型,
2R
222abc
222
2,
222
2xyzR2,R
8
222
x2y2z2,求出8例如,正四面体的外接球半径可用此法。
R,
例6
1)棱长为2的正四面体的四个顶点都在同一个球面上,若过该球球心的一个截面如图,则图中三角形(正四面体的截面)的面积是.
一个正三棱锥的四个顶点都在半径为1的球面上,其中底面的三个
(2)
顶点
在该球的一个大圆上,则该正三棱锥的体积是(.3
42,AD
(1)题解答图
A.33B.3
43(3)在三棱锥ABCD中,AB的表面积为
CD
BC
3,AC
3
12
BD4,则三棱锥ABCD外接球
(4)如图所示三棱锥ABCD,其中ABCD5,ACBD6,ADBC球的表面积为.
(5)正四面体的各条棱长都为2,则该正面体外接球的体积为类型七、两直角三角形拼接在一起(斜边相同,也可看作矩形沿对角线折起所得三棱锥)模型
题设:
APBACB90,求三棱锥PABC外接球半径(分析:
取公共的斜边的中点O,连接
1
OP,OC,则OAOBOCOP1AB,O为三棱锥PABC外接球球心,然后在OCP中
2求出半径),当看作矩形沿对角线折起所得三棱锥时与折起成的二面角大小无关,只要不是平角球半径都为定值。
例7
(1)在矩形ABCD中,AB4,BC3,沿AC将矩形ABCD折成一个直二面角BACD,则四面体ABCD的外接球的体积为()
A.125
12
2)在矩形
ABCD的外接球的表面积为类型八、锥体的内切球问题
1.题设:
如图14,三棱锥PABC上正三棱锥,求其外接球的半径第一步:
先现出内切球的截面图,E,H分别是两个三角形的外心;1
第二步:
求DHBD,POPHr,PD是侧面ABP的高;
3
第三步:
由POE相似于PDH,建立等式:
OEPO,解出r
DHPD
2.题设:
如图15,四棱锥PABC上正四棱锥,求其外接球的半径第一步:
先现出内切球的截面图,P,O,H三点共线;
1
第二步:
求FH1BC,POPHr,PF是侧面PCD的高;
2
第三步:
由POG相似于PFH,建立等式:
OGPO,解出r
HFPF
3.题设:
三棱锥PABC是任意三棱锥,求其的内切球半径方法:
等体积法,即内切球球心与四个面构成的四个三棱锥的体积之和相等第一步:
先画出四个表面的面积和整个锥体体积;第二步:
设内切球的半径为r,建立等式
:
VPABCVOABCVOPABVOPACVOPBC
1
1
1
1
1
VPABCSABCr
SPABr
SPACr
SPBCr
(SABC
PABC3ABC
3PAB
3PAC
3PBC
3ABC
第三步:
解出r
3VP
ABC
SOABCSOPABSOPACSOPBC
SPABSPAC
SPBC)r
习题:
1.若三棱锥SABC的三条侧棱两两垂直,且SA2,SBSC4,则该三棱锥的外接球半径为()
2.三棱锥SABC中,侧棱SA平面ABC,底面ABC是边长为3的正三角形,SA23,
则该三棱锥的外接球体积等于
3.正三棱锥SABC中,底面ABC是边长为3的正三角形,侧棱长为2,则该三棱锥的外接球体积等于.
4.三棱锥PABC中,平面PAC平面ABC,△PAC边长为2的正三角形,ABBC,则三棱锥PABC外接球的半径为.
5.三棱锥PABC中,平面PAC平面ABC,AC2,PAPC3,ABBC,则三棱锥PABC外接球的半径为.
6.三棱锥PABC中,平面PAC平面ABC,AC2,PAPC,ABBC,则三棱锥PABC外接球的半径为.
立体几何大题训练
1.
如图,在直三棱柱中,,D为上一点,E为AC
上一点,且,.
Ⅰ求证:
;
Ⅱ求证:
平面;
Ⅲ求四棱锥的体积.
2.如图,三棱柱,底面ABC,且为正三角形,,D为AC中点.
求三棱锥的体积;求证:
平面平面;求证:
直线平面D.
3.如图,已知矩形ABCD中,,,M为DC的中点,将沿AM折起,使得平面平面
ABCM,连接BM
求证:
;若点E是线段DB上的一动点,问点E在何位置时,三棱锥的体积为;
求二面角
的正弦值.
4.如图所示,在四棱锥
中,,,,M是棱PB上一点.
Ⅰ若,求证:
平面MAC;
Ⅱ若平面平面ABCD,平面平面ABCD,求证:
平面
ABCD;
Ⅲ在Ⅱ的条件下,若二面角的余弦值为,求的值.
5.如图,等腰梯形ABCD,,,,E、F分别是CD的两个三等分点,若把等腰梯形沿虚
线AF、BE折起,使得点C和点D重合,记为点P如图.
Ⅰ求证:
平面平面ABEF;
Ⅱ求平面PAE与平面PAB所成锐二面角的余弦值.
6.如图,四棱锥的底面是直角梯形,,,和是
两个边长为2的正三角形,,O为AC的中点,E为PB的中点.
Ⅰ求证:
平面PCD;
Ⅱ在线段DP上是否存在一点Q,使直线BQ与平面PCD所成角的正弦值为?
若存在,求出点Q的位置;若不存在,说明理由.
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- 搞定 空间 几何体 外接 内切球