高中数学最全数列通项公式求法详解Word下载.docx
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二、递推数列:
类型一、累加法形如%=%+/(%)的递推式
条件:
f
(1)+f
(2)+…f(n・1)的和要可以求出才可用
在{%}中,己知〃i=1,%=%.i+n(论2),求通项%.
解:
、:
%=%-1+”与-1=a—+'
2-1
^n-2=%—3+〃—2an_.=+n-3
%=%+3
%=QI+2
以上各式相加得
aR=%+(2+3+4+--•+〃)
(u十2)(n-1)
—ll
练:
已知{%}中,/=1,才=3"
t十与t(〃之2)证明:
3n一1
a=
n2
类型二、累乘法形如4+1=/(〃)・为的递推式
条件:
f
(1)f
(2)...f(n-1)的积要可以求出才可用
例4:
已知{心}中,〃]=2皿向=3"
・0,求通项心.
.……%=3、e=3
%%
以上各式相乘得(=%•3.32-33…3^.3-
21+2+3dF{rt-1)
n(n-l)
=2-3~^~
一(止1)
%=2.3k
(2
练:
已知{%}中,%=2,%+1=2+—・%,求通项〃「
类型三、形如"
+1=+/S)的递推式通用方法:
待定系数法
1、形如以计产
例5;
数列{〃/满足Q]=1,Q41=2%+1,求”.
分析:
构造等比数列{a「*x},若可.以观察X值更好解,由4=2%+1得二4+1二2(%十1)
•・.{an+1}是以4+1=2为首项,2为公比的等比数列
故q+1=2・2片=2”
=2"
-1
2、形如。
肝尸内,十如十3
例6.已知数列&
}满足a计]=次+(%—1),且%二2,求通项%分析:
构造等比数列{a/kn+b},
设%+1+左5+1)+6=2(凡2+奶+与,
(
k二2
T:
解得左=24=1
b—k--1
故%,=5・2"
i-2"
—1
3、形如依计i二?
%+//+Bn+C
例7,已知数列{丽}满足%=1,且%=24+,?
?
—刁+1,求通项4
分析:
构造等比数列{an+xM+yn+z},
设可-1+尤5+1)2+〉'
。
2+1)42=2(44文/+y%+z),
X=1
歹=1
2=3
对比系数得
y-2x=-l解得v
2—x—y=1
故{q?
+1+〃+3}以2为公比,q+F+1+3=6为首项的等比数列。
故*+/+〃+3=6-2"
一1=3・2”即%=3・2”—小―孔―3
4、形如明尸网+匈+3
例8.已知数列{/}满足日7=4+2・3)+卜q=3,求数列{4}的通项公式
构造等比数列(an+xqn+y},
设Q注+无・3粕1+y=2(4+x-3"
+y),
{
—Y=2fV———2
,解得「I
v=lIV=1
故{4—2,3应+1}以2为公比,4-23+1=2为首项的等比数列。
故4—2・3%+1=・2・2
=—2〃BP^=2-3'
-2w-l
类型四、形如。
…二—P%—的递推式
夕口枕+r
取倒法构造辅助数列
例6:
数列{仁}满足:
*=1,3
求{%}通项公式
%=味2%+1
2a1+11
——=——+2
an-lan-l
[1]是以上为首项,IaJ为
以2为公差的等差数列
-=—+(n-l)2=2n-l=a=^—
”心2«
类型五、
(1)形如一=月心+外,父的递推式'
相除法
例7:
数列{%}满足叫=3,%十]=36+3”、求{册}通项公式.
=%=3%_]+3"
/.2=第+1
二{争}是以m为首项'
以1为公差的等差数列
—=—+(/?
-Dxl=//3"
3
类型五、
(2)形如%=小的递推式相除法
变式:
勺=3,%=31+5-2"
+1求%
解法1:
两边同除以3〃
解法2:
两边同除以T
解法3:
待定系数法,构造{氏十九2?
类型五、(3)形如。
用=P4+的扁4的递推器相除法两边同除以③什何「
例8:
已知q=24w0)且%+1—%=2%+1%,求%.
.・.=—=2%+]%
11,二一-——=2
v%
是以上为首项,以・2为公差的等差数列%
/«
、/a、f3—472+3
+(72-1)(-2)=-2h+—=
22
-4/1+5
类型六、
(1)形如4+i=parn的递推式蜉
7
例(2002上海)若教列{4仲,国二3且44a(n是正整教),则它的通项公式是马二一
取对数后构造等比数列
由题意知g>
0,将=%一两边取对数得:
…2皿即梦=2,
所以数列{电%}是以坨勺二坨3为首项,公比为2的等比数列,
lg%=lg4-2小=lg3Al
类型六、
(2)形如%+1+%=0(%+工)'
递推曙瑞U.已知数列{%}中,&
=1,=%;
+124+10,求4
先转化后取对数再构造等比数列
a.=3%+12%+1。
变形为:
—+2=3(%+2『
两边取对数易求得:
・二①=31—2
类型七、特征根法、不动点法
(一)理论部分:
%十2=Pa讣i+QQ股
i.特征根法;
对于由递推公式%2=—i+㈣,q==/给出的数列揄},方程
W—/—q=0叫做数列的特征方程。
若%犬是特征方程的两个根,
(1)当可。
为时,数列懦}的通项为4=4铲+璘*其中A、B由q=a,q=夕决定
(即把44遇访和u=12,代入4=4卜+盘匕得到关于A、B的方程组);
(2)当西=与时,教列的通项为《=■十》源\其中A、B由4=名勾=/决定(BP
把44鸣,王和n=iz代入4=(,+“,,得到关于A、B的方程组)。
(-)理论部分:
=2当
.raYi+h
2.不动点法:
如果数列{3}满足下列条件:
已知q的值且对于“EN,都有
初=竺"
-±
'
(其中P、q、r、h均为常数,且phWqr"
#。
,0工一”),那么,阳力+―^r
可作特征方程工=上萼,
rr十。
(D,当特征方程有且仅有一根时两,则{」一是等差数列;
〔4fJ
(2),当特征方程有两个不等的根右、小时,则I%29,是等比数列。
[4F
(二)特征根法:
例.数列{4}满足q=L&
=3,分2=4「况(%eN*),求通项公式解;
设/2一⑼加=JJ(Qn一⑼J整理得:
/2=(X+y^l-对比系数可得解得:
厂;
或产;
国=2[y=2[y=l
fr=9
1)取「1则有:
限一2%=1,0「2%)
匕=1
则-24=%一2q=l①即。
*1十1=2(%十1)
故%十1=2-2/7=2"
即%=2"
一1
2)取[二则有:
%十2-%7=2・4「%)
[尸2
则4-1—4=201=2〃②叠加得:
4=2"
-1综合以上两种情况一起考虑
rr—I0=2
即'
c或.1两组解都取,由上述过程可知:
卜=2IJ=1
(a.-2a=1
①©
都成立,即「间"
解得:
6=2―1
[%一4=2'
特征根解法如下;
解;
特征方程为:
x2-3^+2=0
解得F二或[钎:
[%=2区=1
因为/W马故可设巴=Ax^+Bx:
二月+3・2”
将q—1乌—3带入得:
N+2方=1乙“口A=-l
解i
4+46=3回1
所以%二2,—1
试求斐波那契数列(兔子数列):
由々1=L,2=1得;
此数列的特征方程是;
7=
解该方程得两实根分别是和=f;
故通项公式可设为
1,1,2,3,5,8,13,21,34,55,89……的通项公式
丝:
其递挂关系式如下:
4=1
<
%=17
-%2=0游1+4
(三)不动点法:
例.设数列图满题二出口叫11+24+5小心1).,求包}的通项公式。
由己知,得4_1=之二
16-8an
其特征方程为一妾解之得,为=;
或£
=(
1
2-1
4
一―
4__
5'
4-4
,①
5
^-4
5124-》
②
・・・4
2叫5
2〃+4
例.设在数列{垢}中,4=2,
x2+2
蟀:
由缗往方程丁==—名:
U+2
2%
,求{“}的通项公式。
±
、5,将朦递推式变形为:
③式可化为上=2,则数列{瓦}是以
E=lg
舞=坨写=2出/一1)为首项‘
公比为2的等比数列,于是&
=2lg(72+1)X2=21g(J21),
①,②得:
——关二《二一关》
…一,2见-V2
代入④式©
:
--^==(V2-1),,
即lg
…季④
为所求。
不动点法理论纯字母推存比较难,看一个具体的例题,捎助理解
_54+4/入7*、
例.4=2,0日二万求数列的通项程
71
解,两边同时减k,得
…)(北+芸)
2%+7
74—7左
由一*=得:
2左)一5左二4—7左即2左?
+2左一4=0
_5x+4、
另一方面由五二甚有得:
2r+7x=5x+4gp2x-+2x-4=0
通过比较我们可以看出k刚好是对应方程的根,故此方程可以当做特征方程,
此例只是为了说明不动点法中的特征方程的正确性,后续解q的步骤略.
特征根法时两类待定系数的妙用:
4,=3%_]+2,可以由x=3x+2解得:
x=—1,故可以化为3+1=3(即+1)
类型八、其他方法F
(一)开方、平方法
例、若数列{“J中,q二2且%=、3+匕(n>
2),求它的通项公式解将《;
=3两边平方整理得a;
-=30数列是以4二4为首项,3为公差的等差数列。
a:
=可+(〃-1)x3=3〃+1。
因为%>
0,所以a〃=+1。
求递推数列的通项的主要思路是通过转化,构造新的熟知数列,使问题化曲生为熟悉.我们要根据不同的递推关系式,采取不同的变形手段,从而达到转化的目的.
(二)裂项叠加法
例.在数列{匕}中,4=3,741=(72+2)%+2用为+1)(/2+2),求通项公式3n
解£
对原递推式两边同除以M(M+D5+2)可得:
%+1_仅-।7个Wh_凤今、
(%+2)5+1)(月十X)n1n(几+1)片=
则①即为:
为2=^+2,
则数列{&
}为首项是久=--%-=|,公差是耳.]-4=2的等差数列,(1+1)x12
311
因而纭=-4-2(n-l)=2w--7代入②式中得%=三匕(%+1)(4H一1)。
故所求的通项公式是:
%:
抑5+1)(4孔-1)
(三)换元法1——r
eJI+OkJ-1,、
例.设。
o=Lan=^<
neX),求通项公式3n
由已知々*>
0,引入数列{%}使狐==tan6-%w(。
;
上)
・•・由已知有;
即=J1-二=1-3%丽江tan%_ism8_2
・•・tan力=tan&
即&
n二巴曰,然22
aq=1j%=-1=tsn-^-jR、m61=—
jr1
即数列(8—是以二为首项,公比为上的等比数列82
冗
tan—
数列通项公式的求法
类型
方法
1、己知前儿项
观察法
2、已知前〃项和4
前〃项和法
3、形如-=an+/5)的递推」弋
累加法
4、形如%=/(〃)•%的递推式
累乘法
5、形如%二取十/(及)的递推式
6、形如%十「仲:
〃的递推式
4%,十P
取倒法
7、形如k=的递推式
%1二。
七十卯1叱
8、形如Q3P4的递推式
对数法
9、形如「二叫「。
氏的递推式
特征根法
10形如/4丝一的递推式
U十〃
不动点法
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